RL直列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説！

この記事ではRL直列回路の『合成インピーダンス』について

RL直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RL直列回路の『合成インピーダンス』

RL直列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコイル\(L\)を直列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)とコイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_L&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}
\end{eqnarray}

(2)式において、\(X_L\left(={\omega}L\right)\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

RL直列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R+j{\omega}L{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(4)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(4)式において、『実部\(R\)の2乗』と『虚部\({\omega}L\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

なお、抵抗\(R\)のインピーダンスの大きさ\(Z_R\)、コイル\(L\)のインピーダンスの大きさ\(Z_L\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z_R&=&|{\dot{Z}}_R|=\sqrt{R^2}=R\tag{6}\\
\\
Z_L&=&|{\dot{Z}}_L|=\sqrt{({\omega}L)^2}={\omega}L\tag{7}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス(Z)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 【交流回路とベクトル】インピーダンスなどにつく「・(ドット)」の意味！
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RL直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

RL直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く
コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルを描く
各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R=R\tag{8}
\end{eqnarray}

そのため、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの向きは実数軸の向きとなります。式に虚数単位\(j\)が付かない場合はベクトルは回転せず、実数軸の向きとなります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_R\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_R=|{\dot{Z}}_R|=R\tag{9}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルを描く

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_L=j{\omega}L\tag{10}
\end{eqnarray}

そのため、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルの向きは実数軸を反時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(+j\)』が付くとベクトルが反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_L=|{\dot{Z}}_L|={\omega}L\tag{11}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)』と『コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)』のベクトルの合成がRL直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

RL直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}\tag{12}
\end{eqnarray}

RL直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z=\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時
- ベクトルは反時計周りに90°回転します。
『\(-j\)』が付いている時
- ベクトルは時計周りに90°回転します。

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_L=j{\omega}L\tag{13}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)の式には『\(+j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}}_L\)の向きは実数軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

RL直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角

ベクトル図よりRL直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角を求めることができます。

インピーダンス角\({\theta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{{\omega}L}{R}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\frac{{\omega}L}{R}\tag{14}
\end{eqnarray}

以上より、RL直列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は次式となります。

RL直列回路のインピーダンス角

\begin{eqnarray}
{\theta}&=&{\tan}^{-1}\frac{{\omega}L}{R}\tag{15}
\end{eqnarray}

このインピーダンス角\({\theta}\)は「RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。

もう少し具体的に言うと、「RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」に対する「RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」の位相となります。

また、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}=R+j{\omega}L\tag{16}
\end{eqnarray}

したがって、「RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=(R+j{\omega}L){\dot{I}}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\frac{{\dot{V}}}{R+j{\omega}L}
\end{eqnarray}

また、インピーダンスの大きさ\(Z\)は「電圧の大きさ\(V\)と電流の大きさ\(I\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}\tag{19}
\end{eqnarray}

したがって、「RL直列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)」と「RL直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V&=&ZI=\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}I\tag{20}\\
\\
I&=&\frac{V}{Z}=\frac{V}{\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}}\tag{21}
\end{eqnarray}