RC直列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説!

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この記事ではRC直列回路の『合成インピーダンス』について

  • RC直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RC直列回路の『合成インピーダンス』

RC直列回路の『合成インピーダンス』

RC直列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコンデンサ\(C\)を直列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(2)式において、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

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リアクタンス』については下記の記事で詳しく説明しています。興味のある方は下記のリンクからぜひチェックをしてみてください。

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)はそれぞれのインピーダンスを足したものなので次式となります。

RC直列回路の合成インピーダンス

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&{\dot{Z}}_R+{\dot{Z}}_C\\
\\
&=&R+\frac{1}{j{\omega}C}\\
\\
&=&R-j\frac{1}{{\omega}C}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

RC直列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

RC直列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R-j\frac{1}{{\omega}C}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(4)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(4)式において、『実部\(R\)の2乗』と『虚部\(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

なお、抵抗\(R\)のインピーダンスの大きさ\(Z_R\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンスの大きさ\(Z_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z_R&=&|{\dot{Z}}_R|=\sqrt{R^2}=R\tag{6}\\
\\
Z_C&=&|{\dot{Z}}_C|=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{7}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス(Z)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ!」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

RC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

  • 抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く
  • コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く
  • 各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く

RC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図の描き方01

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R=R\tag{8}
\end{eqnarray}

そのため、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの向きは実数軸の向きとなります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_R\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_R=|{\dot{Z}}_R|=R\tag{9}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く

RC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図の描き方02

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{10}
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きになります(『\(-j\)』が付くと時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_C=|{\dot{Z}}_C|=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{11}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

RC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図の描き方03

『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)』と『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)』のベクトルの合成がRC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{12}
\end{eqnarray}

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きについて(RC直列回路)

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

  • 『\(+j\)』が付いている時
    • ベクトルは反時計周りに90°回転します。
  • 『\(-j\)』が付いている時
    • ベクトルは時計周りに90°回転します。

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{13}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}}_C\)の向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

RC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角

RC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角

ベクトル図よりRC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角を求めることができます。

インピーダンス角\({\theta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}}{R}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-\frac{1}{{\omega}CR}\right)\tag{14}
\end{eqnarray}

以上より、RC直列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は次式となります。

RC直列回路のインピーダンス角

\begin{eqnarray}
{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-\frac{1}{{\omega}CR}\right)\tag{15}
\end{eqnarray}

このインピーダンス角\({\theta}\)は「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。

もう少し具体的に言うと、「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」に対する「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」の位相となります。

また、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}=R+\frac{1}{j{\omega}C}\tag{16}
\end{eqnarray}

したがって、「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=\left(R+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}\right){\dot{I}}\tag{17}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\displaystyle\frac{{\dot{V}}}{R+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}\tag{18}
\end{eqnarray}

また、インピーダンスの大きさ\(Z\)は「電圧の大きさ\(V\)と電流の大きさ\(I\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{19}
\end{eqnarray}

したがって、「RC直列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)」と「RC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V&=&ZI=\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}I\tag{20}\\
\\
I&=&\frac{V}{Z}=\displaystyle\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}}\tag{21}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事ではRC直列回路の『合成インピーダンス』について、以下の内容を説明しました。

  • RC直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

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