RC直列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説！

この記事ではRC直列回路の『合成インピーダンス』について

RC直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

RC直列回路の『合成インピーダンス』

RC直列回路は上図に示すように、『抵抗\(R\)』と『静電容量\(C{\mathrm{[F]}}\)のコンデンサ(以降からコンデンサ\(C\)といいます)』を直列に接続した回路です。

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\\
{\dot{Z}}_C&=&\frac{1}{j{\omega}C}=-j\frac{1}{{\omega}C}
\end{eqnarray}

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)はそれぞれのインピーダンスを足したものなので次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R+\frac{1}{j{\omega}C}=R-j\frac{1}{{\omega}C}
\end{eqnarray}

上式において、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

RC直列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は先ほど導出した『\({\dot{Z}}=R-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は『\({\dot{Z}}=R-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』において、実数部\(R\)の2乗と虚数部\(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)の2乗を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}
\end{eqnarray}

なお、抵抗\(R\)のインピーダンスの大きさ\(Z_R\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンスの大きさ\(Z_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z_R&=&|{\dot{Z}}_R|=\sqrt{R^2}=R\\
Z_C&=&|{\dot{Z}}_C|=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス\(Z\)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ,長さ)を表しています。

RC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く
各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)は「\({\dot{Z}}_R=R\)」で表されます。

そのため、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの向きは実数軸の向きとなります。

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_R\)は「\(Z_R=|{\dot{Z}}_R|=R\)」となります。

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は「\({\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)」で表されます。

そのため、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの向きはベクトル\({\dot{Z}}_R\)を時計周りに90°回転した向きになります(『\(-j\)』が付くと時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_C\)は「\(Z_C=|{\dot{Z}}_C|=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)」となります。

各ベクトルを合成する

『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)』と『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)』のベクトルの合成がRC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は「\(Z=|{\dot{Z}}|=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\)」となります。

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時

ベクトルは反時計周りに90°回転します。

『\(-j\)』が付いている時

ベクトルは時計周りに90°回転します。

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は「\({\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)」の式で表されます。そのため、ベクトル\({\dot{Z}}_C\)の向きはベクトル\({\dot{Z}}_R\)を時計周りに90°回転した向きとなります。

RC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角

ベクトル図よりRC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角を求めることができます。

インピーダンス角\({\theta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}}{R}\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-\frac{1}{{\omega}CR}\right)\\
\end{eqnarray}

このインピーダンス角\({\theta}\)は「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。

また、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」なので、RC直列回路の電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)とインピーダンス\({\dot{Z}}\)の関係は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}=R+\frac{1}{j{\omega}C}
\end{eqnarray}

したがって、「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=\left(R+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}\right){\dot{I}}\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\displaystyle\frac{{\dot{V}}}{R+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}
\end{eqnarray}

また、「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)の大きさ\(V\)」と「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V&=&\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}I\\
I&=&\displaystyle\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事ではRC直列回路の『合成インピーダンス』について、以下の内容を説明しました。