LC並列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説！

この記事ではLC並列回路の『合成インピーダンス』について

LC並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LC並列回路の『合成インピーダンス』

LC並列回路は上図に示すように、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_L&=&jX_L=j{\omega}L\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(1)式と(2)式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

LC並列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\tag{11}
\end{eqnarray}

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(11)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(11)式において、『虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)の2乗』の平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{\left(\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\right)^2}=\left|\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\right|\tag{12}
\end{eqnarray}

次に(12)式を『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』で表すために、分母と分子を\({\omega}L\)で割ります。

\begin{eqnarray}
Z&=&\left|\frac{\displaystyle\frac{{\omega}L}{{\omega}L}}{\displaystyle\frac{1-{\omega}^2LC}{{\omega}L}}\right|\\
\\
&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}-{\omega}C}\right|\\
\\
&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}}\right|\tag{13}
\end{eqnarray}

以上より、LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\left|\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\right|\\
\\
&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}-{\omega}C}\right|\\
\\
&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}}\right|\tag{14}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス(Z)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 【交流回路とベクトル】インピーダンスなどにつく「・(ドット)」の意味！
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LC並列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

繰り返しになりますが、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\tag{15}
\end{eqnarray}

また、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\left|\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\right|\tag{16}
\end{eqnarray}

LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により向きが異なります。

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合は『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』となります。

したがって、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)が『正(プラス)』になるため、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

ゆえに、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は上向きになります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合は『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0\)』となります。

したがって、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)が『負(マイナス)』になるため、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向は実軸を時計周りに90°回転した向きになります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

ゆえに、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向下向きになります。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時(もしくは、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『正(プラス)』の時)
- ベクトルは反時計周りに90°回転します。
『\(-j\)』が付いている時(もしくは、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『負(マイナス)』の時)
- ベクトルは時計周りに90°回転します。

LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\tag{17}
\end{eqnarray}

『\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)』の場合、『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』になるため、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値が『正(プラス)』になります。したがって、ベクトル\({\dot{Z}}\)の向きは実軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

『\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)』の場合、『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0\)』になるため、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値が『負(マイナス)』になります。したがって、ベクトル\({\dot{Z}}\)の向きは実軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

LC並列回路の『インピーダンス角』

『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、インピーダンス角\({\theta}\)が異なります。

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}=\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{18}
  \end{eqnarray}
\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}=-\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{19}
  \end{eqnarray}