この記事ではRC並列回路の『合成インピーダンス』について
- RC並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角
などを図を用いて分かりやすく説明しています。
RC並列回路の『合成インピーダンス』
RC並列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。
抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}
\end{eqnarray}
上式において、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。
『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j{\omega}C\\
\\
&=&\frac{1+j{\omega}CR}{R}
\end{eqnarray}
上式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C}=\frac{R}{1+j{\omega}CR}
\end{eqnarray}
また、上式には分母に虚数単位\(j\)があります。分子のみに虚数単位\(j\)があるようにするために、分母と分子に『\(1-j{\omega}CR\)』を掛けます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{R(1-j{\omega}CR)}{(1+j{\omega}CR)(1-j{\omega}CR)}\\
\\
&=&\frac{R-j{\omega}CR^2}{1-j{\omega}CR+j{\omega}CR-j^2{\omega}^2C^2R^2}\\
\\
&=&\frac{R-j{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\\
\\
&=&\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}
\end{eqnarray}
以上より、RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。
RC並列回路の合成インピーダンス
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C}=\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}
\end{eqnarray}
RC並列回路の『合成インピーダンス』の大きさ
先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}
\end{eqnarray}
RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は上式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は上式において、『実部\(\displaystyle\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\)の2乗』と『虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。
\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{R^2+{\omega}^2C^2R^4}{\left(1+{\omega}^2C^2R^2\right)^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{R^2\left(1+{\omega}^2C^2R^2\right)}{\left(1+{\omega}^2C^2R^2\right)^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{R^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{R}{\displaystyle\sqrt{1+{\omega}^2C^2R^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}
\end{eqnarray}
以上より、RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。
RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ
\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\displaystyle\frac{R}{\displaystyle\sqrt{1+{\omega}^2C^2R^2}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}{\mathrm{[{\Omega}]}}
\end{eqnarray}
インピーダンスに付いている「ドット」の意味
インピーダンス\(Z\)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。
このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。
ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ,長さ)を表しています。
RC並列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図
RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。
『ベクトル図』の描き方
- 合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルを描く
- 合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルを描く
- 各ベクトルを合成する
では各ステップについて順番に説明していきます。
合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルを描く
合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{RE}}=\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}
\end{eqnarray}
そのため、実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)のベクトル方向は実数軸の向きとなります。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。
また、実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{RE}\)は次式となります。
\begin{eqnarray}
Z_{RE}=|{\dot{Z}_{RE}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2}=\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}
\end{eqnarray}
合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルを描く
合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}
\end{eqnarray}
そのため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向は実数軸を時計周りに90°回転した向きになります(『\(-j\)』が付くと時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。
また、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{IM}\)は次式となります。
\begin{eqnarray}
Z_{IM}=|{\dot{Z}_{IM}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2}=\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}
\end{eqnarray}
各ベクトルを合成する
『実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)』と『虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)』のベクトルの合成が RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。
ベクトルの向きについて
ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。
ベクトルの『向き』について
式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。
- 『\(+j\)』が付いている時
- 『\(-j\)』が付いている時
ベクトルは反時計周りに90°回転します。
ベクトルは時計周りに90°回転します。
合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}
\end{eqnarray}
虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}_{IM}}\)の向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きとなります。
RC並列回路の『インピーダンス角』
ベクトル図よりRC並列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角\({\theta}\)を求めることができます。
\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}}{\displaystyle\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}}\\
\\
&=&-{\omega}CR\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-{\omega}CR\right)\\
\\
&=&-{\tan}^{-1}\left({\omega}CR\right)\\
\end{eqnarray}
以上より、RC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は次式となります。
RC並列回路のインピーダンス角
\begin{eqnarray}
{\theta}={\tan}^{-1}\left(-{\omega}CR\right)
\end{eqnarray}
このインピーダンス角\({\theta}\)は「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。もう少し具体的に言うと、「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」に対する「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」の位相となります。
インピーダンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」であり次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C}
\end{eqnarray}
したがって、「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。
\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=\displaystyle\frac{{\dot{I}}}{\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\left(\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C\right){\dot{V}}
\end{eqnarray}
また、インピーダンスの大きさ\(Z\)は「電圧の大きさ\(V\)と電流の大きさ\(I\)の比」であり次式で表されます。
\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\frac{V}{I}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}
\end{eqnarray}
したがって、「RC直列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)」と「RC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。
\begin{eqnarray}
V&=&ZI=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}I=\displaystyle\frac{I}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}\\
\\
I&=&\frac{V}{Z}=\displaystyle\frac{V}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}}=V\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}
\end{eqnarray}
まとめ
この記事ではRC並列回路の『合成インピーダンス』について、以下の内容を説明しました。
- RC並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角
お読み頂きありがとうございました。
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