RC並列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説！

この記事ではRC並列回路の『合成インピーダンス』について

RC並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RC並列回路の『合成インピーダンス』

RC並列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(2)式において、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

RC並列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(7)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(7)式において、『実部\(\displaystyle\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\)の2乗』と『虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{R^2+{\omega}^2C^2R^4}{\left(1+{\omega}^2C^2R^2\right)^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{R^2\left(1+{\omega}^2C^2R^2\right)}{\left(1+{\omega}^2C^2R^2\right)^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{R^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{R}{\displaystyle\sqrt{1+{\omega}^2C^2R^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}\tag{8}
\end{eqnarray}

以上より、RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\displaystyle\frac{R}{\displaystyle\sqrt{1+{\omega}^2C^2R^2}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス(Z)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 【交流回路とベクトル】インピーダンスなどにつく「・(ドット)」の意味！
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RC並列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルを描く
合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルを描く
各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルを描く

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{RE}}=\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\tag{10}
\end{eqnarray}

そのため、実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)のベクトル方向は実数軸の向きとなります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{RE}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_{RE}=|{\dot{Z}_{RE}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2}=\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}\tag{11}
\end{eqnarray}

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルを描く

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\tag{12}
\end{eqnarray}

そのため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向は実数軸を時計周りに90°回転した向きになります(『\(-j\)』が付くと時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{IM}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_{IM}=|{\dot{Z}_{IM}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\right)^2}=\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\tag{13}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)』と『虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)』のベクトルの合成が RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式となります。

RC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時
- ベクトルは反時計周りに90°回転します。
『\(-j\)』が付いている時
- ベクトルは時計周りに90°回転します。

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=-j\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}\tag{15}
\end{eqnarray}

虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}_{IM}}\)の向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

RC並列回路の『インピーダンス角』

ベクトル図よりRC並列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角\({\theta}\)を求めることができます。

インピーダンス角\({\theta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{{\omega}CR^2}{1+{\omega}^2C^2R^2}}{\displaystyle\frac{R}{1+{\omega}^2C^2R^2}}\\
\\
&=&-{\omega}CR\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-{\omega}CR\right)\\
\\
&=&-{\tan}^{-1}\left({\omega}CR\right)\tag{16}
\end{eqnarray}

以上より、RC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は次式となります。

RC並列回路のインピーダンス角

\begin{eqnarray}
{\theta}={\tan}^{-1}\left(-{\omega}CR\right)\tag{17}
\end{eqnarray}

このインピーダンス角\({\theta}\)は「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。

もう少し具体的に言うと、「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」に対する「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」の位相となります。

また、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C}\tag{18}
\end{eqnarray}

したがって、「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=\displaystyle\frac{{\dot{I}}}{\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C}\tag{19}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\left(\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C\right){\dot{V}}\tag{20}
\end{eqnarray}

また、インピーダンスの大きさ\(Z\)は「電圧の大きさ\(V\)と電流の大きさ\(I\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\frac{V}{I}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}\tag{21}
\end{eqnarray}

したがって、「RC並列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)」と「RC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V&=&ZI=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}I=\displaystyle\frac{I}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}\tag{22}\\
\\
I&=&\frac{V}{Z}=\displaystyle\frac{V}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}}=V\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}\tag{23}
\end{eqnarray}