【RLC並列回路のインピーダンス】計算方法や求め方を解説!

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この記事ではRLC並列回路の『インピーダンス』について

  • RLC並列回路の『インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

RLC並列回路の『インピーダンス』

RLC並列回路の『インピーダンス』

RLC並列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\\
\\
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_L}}+\frac{1}{{\dot{Z}_C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{j{\omega}L}+\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{j{\omega}L}+j{\omega}C\\
\\
&=&\frac{j{\omega}L+R+j{\omega}C×j{\omega}LR}{j{\omega}LR}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}L+R+j^2{\omega}^2LCR}{j{\omega}LR}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}L+R-{\omega}^2LCR}{j{\omega}LR}\\
\\
&=&\frac{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}{j{\omega}LR}
\end{eqnarray}

上式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}L}+j{\omega}C}=\frac{j{\omega}LR}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}
\end{eqnarray}

また、上式には分母に虚数単位\(j\)があります。分子のみに虚数単位\(j\)があるようにするために、分母と分子に\(\{R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L\}\)を掛けます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{j{\omega}LR\{R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L\}}{\{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L\}\{R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L\}}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)-j^2{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2-j{\omega}LR(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}LR(1-{\omega}^2LC)-j^2{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)+{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2-j{\omega}LR(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}LR(1-{\omega}^2LC)+{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{{\omega}^2L^2R+j{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\\
\end{eqnarray}

以上より、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

RLC並列回路のインピーダンス

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}L}+j{\omega}C}\\
\\
&=&\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\\
\end{eqnarray}

なお、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により誘導性になるか?容量性になるか?が決まります。

  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L=X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}L{\;}{\lt}{\;}\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}1\\
\\
{\Leftrightarrow}&&1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0
\end{eqnarray}

この場合、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)が『正(プラス)』になるため(言い換えると、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『正(プラス)』になるため)、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は誘導性となります。

インピーダンスの虚部が『正(プラス)になる理由

インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部の分母にある\(R^2\)、\((1-{\omega}^2LC)^2\)、\({\omega}^2L^2\)は2乗されているので『正(プラス)』となります。

インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部の分子にある\({\omega}LR^2\)は\({\omega}{\;}{\gt}{\;}0\)、\(L{\;}{\gt}{\;}0\)、\(R{\;}{\gt}{\;}0\)なので『正(プラス)』となります。

つまり、インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部が『正(プラス)』になるか『負(マイナス)』になるか『ゼロ』になるかは『\(1-{\omega}^2LC\)』によって決まるのです。

今回、\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合は、『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』となるため、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)が『正(プラス)』になります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}L{\;}{\gt}{\;}\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}1\\
\\
{\Leftrightarrow}&&1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0
\end{eqnarray}

この場合、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)が『負(マイナス)』になるため(言い換えると、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『負(マイナス)』になるため)、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は容量性となります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L=X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}L=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}^2LC=1\\
\\
{\Leftrightarrow}&&1-{\omega}^2LC=0
\end{eqnarray}

この場合、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2×0^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}LR^2×0}{R^2×0^2+{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&R
\end{eqnarray}

このような『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、回路は並列共振している状態であり、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)の並列回路の部分は開放状態となります。そのため、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)が『\({\dot{Z}}=R\)』になるのです。なお、並列共振が成り立つ時の角周波数\({\omega}\)及び周波数\(f\)は下記となります。

\begin{eqnarray}
X_L&=&X_C\\
{\omega}L&=&\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}&=&\frac{1}{\displaystyle\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}f&=&\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\sqrt{LC}}\\
\end{eqnarray}

RLC並列回路の『インピーダンス』の大きさ

RLC並列回路の『インピーダンス』の大きさ

RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}
\end{eqnarray}

RLC並列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は上式のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。もう少し詳しく説明すると、インピーダンスの大きさ\(Z\)は上式において、『実部\(\displaystyle\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)の2乗』と『虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\left\{\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}^2+\left\{\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\frac{{\omega}^4L^4R^2+{\omega}^2L^2R^4(1-{\omega}^2LC)^2}{\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\frac{{\omega}^2L^2R^2\left\{{\omega}^2L^2+R^2(1-{\omega}^2LC)^2\right\}}{\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\frac{{\omega}^2L^2R^2\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}}{\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\frac{{\omega}^2L^2R^2}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\frac{{\omega}LR}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}
\end{eqnarray}

次に上式を『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』で表すために、分母と分子を\({\omega}LR\)で割ります。

\begin{eqnarray}
Z&=&\frac{\displaystyle\frac{{\omega}LR}{{\omega}LR}}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{{\omega}^2L^2R^2}\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{{\omega}^2L^2}(1-{\omega}^2LC)^2+\displaystyle\frac{1}{R^2}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}-{\omega}C\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}\right)^2}}
\end{eqnarray}

以上より、RLC並列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。

RLC並列回路のインピーダンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\frac{{\omega}LR}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}-{\omega}C\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}\right)^2}}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス\(Z\)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ!」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ,長さ)を表しています。

RLC並列回路の『インピーダンス』のベクトル図

RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

  1. インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルを描く
  2. インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルを描く
  3. 各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルを描く

RLC並列回路の『インピーダンス』のベクトル図の描き方01

インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{RE}}=\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}
\end{eqnarray}

そのため、実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)のベクトル方向は実軸の向きとなります。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

また、実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{RE}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_{RE}=|{\dot{Z}_{RE}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right)^2}=\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}
\end{eqnarray}

インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルを描く

RLC並列回路の『インピーダンス』のベクトル図の描き方02

インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=j\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}
\end{eqnarray}

虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により向きが異なります。

  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L=X_C\)の場合

ここでは、\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合において、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向について説明します(後ほど各場合におけるベクトル方向について説明します)。

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合は『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』となります。

したがって、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値\(\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)が『正(プラス)』になるため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

また、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{IM}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_{IM}=|{\dot{Z}_{IM}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right)^2}=\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

RLC並列回路の『インピーダンス』のベクトル図の描き方03

『実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)』と『虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)』のベクトルの合成が RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

繰り返しになりますが、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}
\end{eqnarray}

RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により向きが異なります。

  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L=X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合は『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』となります。

したがって、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値\(\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)が『正(プラス)』になるため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります。

ゆえに、インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は右上向きになります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合は『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0\)』となります。

したがって、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値\(\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\)が『負(マイナス)』になるため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向は実軸を時計周りに90°回転した向きになります。

ゆえに、インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は右下向きになります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合は『\(1-{\omega}^2LC=0\)』となります。

この場合、RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)が『\({\dot{Z}}=R\)』になるため、インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は右向きになります。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きについて(RLC並列回路のインピーダンス)

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

  • \(+j\)』が付いている時(もしくは、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『正(プラス)』の時)
  • ベクトルは反時計周りに90°回転します。

  • \(-j\)』が付いている時(もしくは、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『負(マイナス)』の時)
  • ベクトルは時計周りに90°回転します。

インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=j\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}
\end{eqnarray}

『\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)』の場合、『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』になるため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値が『正(プラス)』になります。したがって、ベクトル\({\dot{Z}_{IM}}\)の向きは実軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

『\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)』の場合、『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0\)』になるため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値が『負(マイナス)』になります。したがって、ベクトル\({\dot{Z}_{IM}}\)の向きは実軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

RLC並列回路の『インピーダンス角』

RLC並列回路のインピーダンス角

ベクトル図よりRLC並列回路の『インピーダンス』のインピーダンス角\({\theta}\)を求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}{\displaystyle\frac{{\omega}^2L^2R}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{{\omega}^2L^2R}
\end{eqnarray}

次に上式を『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』で表すために、分母と分子を\({\omega}^2L^2R^2\)で割ります。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{{\omega}LR^2(1-{\omega}^2LC)}{{\omega}^2L^2R^2}}{\displaystyle\frac{{\omega}^2L^2R}{{\omega}^2L^2R^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}-{\omega}C}{\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}}{\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\end{eqnarray}

以上より、RLC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は次式となります。

RC並列回路のインピーダンス角

\begin{eqnarray}
{\theta}&=&{\tan}^{-1}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}-{\omega}C}{\displaystyle\frac{1}{R}}{\mathrm{[rad]}}\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}}{\displaystyle\frac{1}{R}}{\mathrm{[rad]}}
\end{eqnarray}

なお、RLC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により『正(プラス)』になるか?『負(マイナス)』になるか?が決まります。

  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L=X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C}{\;}{\gt}{\;}0
\end{eqnarray}

したがって、RLC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は『正(プラス)』になります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C}{\;}{\lt}{\;}0
\end{eqnarray}

したがって、RLC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は『負(マイナス)』になります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L=X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C}=0
\end{eqnarray}

この場合、RLC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は『\({\theta}=0{\mathrm{[rad]}}\)』になります。

まとめ

この記事ではRLC並列回路の『インピーダンス』について、以下の内容を説明しました。

  • RLC並列回路の『インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

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