コンデンサCのみ接続した場合の『位相』と『ベクトル図』を解説！【交流回路】

この記事ではコンデンサCのみ接続した交流回路において

コンデンサCのみ接続した交流回路の『位相』について
コンデンサCのみ接続した交流回路の『ベクトル図』の描き方

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

コンデンサCのみ接続した交流回路の『位相』

交流電圧\(v\)にコンデンサ\(C\)(静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とする)のみ接続した回路を上図に示しています。

コンデンサ\(C\)に交流電圧\(v\)を印加した時、コンデンサ\(C\)に\(i=I_M{\sin}{\omega}t\)の交流電流が流れたとします。

この時、交流電流\(i\)がコンデンサ\(C\)に流れているので、コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
v_C&=&\frac{q}{C}\\
&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}idt\\
&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}I_M{\sin}{\omega}tdt\\
&=&\frac{I_M}{C}{\displaystyle\int}{\sin}{\omega}tdt\\
&=&-\frac{I_M}{{\omega}C}{\cos}{\omega}t\\
&=&\frac{I_M}{{\omega}C}{\sin}\left({\omega}t-\frac{{\pi}}{2}\right){\mathrm{[V]}}
\end{eqnarray}

ここで、コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)は交流電圧\(v\)と等しいので、交流電圧\(v\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
v=v_C=\frac{I_M}{{\omega}C}{\sin}\left({\omega}t-\frac{{\pi}}{2}\right){\mathrm{[V]}}
\end{eqnarray}

ここで、コンデンサ\(C\)に流れる交流電流\(i\)、交流電圧\(v\)、コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)をまとめると以下のようになります。

\begin{eqnarray}
i&=&I_M{\sin}{\omega}t{\mathrm{[A]}}\\
v&=&\frac{I_M}{{\omega}C}{\sin}\left({\omega}t-\frac{{\pi}}{2}\right){\mathrm{[V]}}\\
v_C&=&\frac{I_M}{{\omega}C}{\sin}\left({\omega}t-\frac{{\pi}}{2}\right){\mathrm{[V]}}
\end{eqnarray}

すなわち、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)』は『コンデンサ\(C\)に流れる交流電流\(i\)』より位相が\(\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\)(\(90°\))遅れている(言い換えれば、『コンデンサ\(C\)に流れる交流電流\(i\)』は『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)』より位相が\(\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\)(\(90°\))進んでいる)ということになります。

位相の『進み』と『遅れ』の見分け方

『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)』と『コンデンサ\(C\)に流れる交流電流\(i\)』の波形を見れば、位相の『進み』と『遅れ』を簡単に見分けることができます。

『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)』は\({\omega}t=\displaystyle\frac{{\pi}}{2}\)の時に増加し始めます。

一方、『コンデンサ\(C\)に流れる交流電流\(i\)』は\({\omega}t=0\)の時に増加し始めます。『コンデンサ\(C\)に流れる交流電流\(i\)』の早く増加していますね。

そのため、『コンデンサ\(C\)に流れる交流電流\(i\)』の方が進んでいることが分かります。

コンデンサCのみ接続した交流回路の『ベクトル図』

まず、交流電圧\(v\)にインピーダンス\(Z\)を接続した交流回路を考えます。

交流電圧\(v\)のベクトルを\({\dot{V}}\)、インピーダンス\(Z\)のベクトルを\({\dot{Z}}\)、流れる交流電流\(i\)のベクトルを\({\dot{I}}\)とします。この時、交流電圧\({\dot{V}}\)、インピーダンス\({\dot{Z}}\)、交流電流\({\dot{I}}\)は次式の関係があります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}\\
\\
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}
\end{eqnarray}

今回は、コンデンサ\(C\)のみ接続した交流回路を考えます。この時、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{1}{j{\omega}C}=-j\frac{1}{{\omega}C}
\end{eqnarray}

したがって、交流電圧\({\dot{V}}\)と交流電流\({\dot{I}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=-j\frac{1}{{\omega}C}{\dot{I}}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\frac{{\dot{V}}}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}=j{\omega}C{\dot{V}}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\(v_C\)のベクトルを\({\dot{V_C}}\)とします。コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)は交流電圧\({\dot{V}}\)と等しいため、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_C}}={\dot{V}}=-j\frac{1}{{\omega}C}{\dot{I}}
\end{eqnarray}

また、『交流電圧\({\dot{V}}\)の大きさ\(V\)』、『交流電流\({\dot{I}}\)の大きさ\(I\)』、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)の大きさ\(V_C\)』は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V&=&|{\dot{V}}|=\sqrt{\left(\frac{1}{{\omega}C}I\right)^2}=\frac{1}{{\omega}C}I\\
\\
I&=&|{\dot{I}}|=\sqrt{\left({\omega}CV\right)^2}={\omega}CV\\
\\
V_C&=&|{\dot{V_C}}|=\sqrt{\left(\frac{1}{{\omega}C}I\right)^2}=\frac{1}{{\omega}C}I
\end{eqnarray}

ここで、各ベクトルの式と大きさが求まったので、次にベクトル図を描いてみましょう。

『ベクトル図』の描き方

まず、基準とするベクトルを交流電流\({\dot{I}}\)とします。

この時、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』と『交流電圧\({\dot{V}}\)』のベクトルは以下のように描きます。

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)のベクトル

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)は「\({\dot{V_C}}=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}{\dot{I}}\)」で表されます。そのため、コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)のベクトルの向きは交流電流\({\dot{I}}\)のベクトルを時計周りに90°回転した向きになります。コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)の大きさ(長さ)は交流電流\({\dot{I}}\)を\(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)倍したものとなります。

交流電圧\({\dot{V}}\)のベクトル

交流電圧\({\dot{V}}\)は「\({\dot{V}}={\dot{V_C}}\)」で表されます。そのため、交流電圧\({\dot{V}}\)はコンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)と向きと大きさが同じになります。

したがって、『コンデンサ\(C\)のみ接続している交流回路』のベクトル図は上図のようになります。

『交流電流\({\dot{I}}\)』に対して、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』は位相が遅れているということになります。また、『交流電流\({\dot{I}}\)』に対する『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』の位相差は\(-\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\)(\(90°\))となります。

各ベクトルの長さ(大きさ)は、先ほど計算で求めた

となります。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時

ベクトルは反時計周りに90°回転します。

『\(-j\)』が付いている時

ベクトルは時計周りに90°回転します。

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)は「\({\dot{V_C}}=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}{\dot{I}}\)」の式で表されます。そのため、ベクトル\({\dot{V_C}}\)の向きはベクトル\({\dot{I}}\)を時計周りに90°回転した向きとなります。

基準ベクトルについて

基準ベクトルについてもう少し詳しく説明します。

基準ベクトルについて

基準ベクトルを\({\dot{A}}\)にした時、ベクトル\({\dot{B}}\)が上記のように回転している場合を考えてみます。

『位相の"進み"と"遅れ"』、『位相差の"正(プラス)"と"負(マイナス)"』は基準ベクトルから『反時計方向に回転しているか』or『時計周りに回転しているか』で下記のように決まります。

ベクトル\({\dot{B}}\)が反時計方向に回転している場合

位相が進んでいるということ。位相差は『正(プラス)』で表します。

ベクトル\({\dot{B}}\)が時計方向に回転している場合

位相が遅れているということ。位相差は『負(マイナス)』で表します。

『交流電流\({\dot{I}}\)』を基準ベクトルとして考えると、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』は時計周りに回転しています。

そのため、『交流電流\({\dot{I}}\)』に対して、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』は位相が遅れているということになります。また、『交流電流\({\dot{I}}\)』に対する『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』の位相差は\(-\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\)(\(90°\))となります。

一方、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』を基準ベクトルとして考えると、『交流電流\({\dot{I}}\)』は反時計周りに回転しています。

そのため、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』に対して、『交流電流\({\dot{I}}\)』は位相が進んでいるということになります。また、『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』に対する『交流電流\({\dot{I}}\)』の位相差は\(+\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\)(\(90°\))となります。

まとめ

この記事ではコンデンサCのみ接続した交流回路について、以下の内容を説明しました。