この記事ではRLC直列回路の『合成インピーダンス』について
- RLC直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角
などを図を用いて分かりやすく説明しています。
RLC直列回路の『合成インピーダンス』
RLC直列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列に接続した回路です。
抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)はそれぞれ次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\\
{\dot{Z}}_L&=&jX_L=j{\omega}L\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}
\end{eqnarray}
上式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。
なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。
RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)はそれぞれのインピーダンスを足したものなので次式となります。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&{\dot{Z}}_R+{\dot{Z}}_L+{\dot{Z}}_C\\
&=&R+jX_L-jX_C\\
&=&R+j\left(X_L-X_C\right)\\
&=&R+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)
\end{eqnarray}
RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、以下の3つの組み合わせができます。
- \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
- \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
- \(X_L=X_C\)の時
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、『虚部\(X_L-X_C\)』が『正(プラス)』になるため、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は誘導性となります。
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、『虚部\(X_L-X_C\)』が『負(マイナス)』になるため、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は容量性となります。
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は『\({\dot{Z}}=R\)』になります。\(X_L\)と\(X_C\)が等しくなっている時、回路は直列共振をしている状態です。直列共振が成り立つ時の角周波数\({\omega}\)及び周波数\(f\)は下記となります。
\begin{eqnarray}
X_L&=&X_C\\
{\omega}L&=&\frac{1}{{\omega}C}\\
{\Leftrightarrow}{\omega}&=&\frac{1}{\displaystyle\sqrt{LC}}\\
{\Leftrightarrow}f&=&\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\sqrt{LC}}\\
\end{eqnarray}
RLC直列回路の『合成インピーダンス』の大きさ
RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は先ほど導出した『\({\dot{Z}}=R+j\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の絶対値となります。
もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は『\({\dot{Z}}=R+j\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』において、『実部\(R\)の2乗』と『虚部\({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。
\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}
\end{eqnarray}
なお、抵抗\(R\)のインピーダンスの大きさ\(Z_R\)、コイル\(L\)のインピーダンスの大きさ\(Z_L\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンスの大きさ\(Z_C\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
Z_R&=&|{\dot{Z}}_R|=\sqrt{R^2}=R\\
Z_L&=&|{\dot{Z}}_L|=\sqrt{({\omega}L)^2}={\omega}L\\
Z_C&=&|{\dot{Z}}_C|=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}
\end{eqnarray}
インピーダンスに付いている「ドット」の意味
インピーダンス\(Z\)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。
このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。
ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ,長さ)を表しています。
RLC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図
RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。
『ベクトル図』の描き方
- 抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く
- コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルを描く
- コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く
- 各ベクトルを合成する
では各ステップについて順番に説明していきます。
抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く
抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)は「\({\dot{Z}}_R=R\)」で表されます。
そのため、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの向きは実数軸の向きとなります。
抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_R\)は「\(Z_R=|{\dot{Z}}_R|=R\)」となります。
コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルを描く
コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)は「\({\dot{Z}}_L=j{\omega}L\)」で表されます。
そのため、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルの向きは実数軸を反時計周りに90°回転した向きになります(『\(j\)』が付くと反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。
コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_L\)は「\(Z_L=|{\dot{Z}}_L|={\omega}L\)」となります。
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は「\({\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)」で表されます。
そのため、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きになります(『\(-j\)』が付くと時計周りに90°回転します)。
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_C\)は「\(Z_C=|{\dot{Z}}_C|=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)」となります。
各ベクトルを合成する
『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)』と『コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)』と『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)』のベクトルの合成が RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。
繰り返しになりますが、RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&{\dot{Z}}_R+{\dot{Z}}_L+{\dot{Z}}_C\\
&=&R+jX_L-jX_C\\
&=&R+j\left(X_L-X_C\right)\\
&=&R+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)
\end{eqnarray}
上式の括弧の中にある『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向が変わるので注意が必要です。
- \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
- \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
- \(X_L=X_C\)の時
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は右上向きになります。
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は右下向きになります。
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は『\({\dot{Z}}=R\)』になるため、ベクトルの方向は右向きになります。
RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}
\end{eqnarray}
RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z=\displaystyle\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。
ベクトルの向きについて
ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。
ベクトルの『向き』について
式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。
- 『\(+j\)』が付いている時
- 『\(-j\)』が付いている時
ベクトルは反時計周りに90°回転します。
ベクトルは時計周りに90°回転します。
コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)は「\({\dot{Z}}_L=j{\omega}L\)」の式で表されます。そのため、ベクトル\({\dot{Z}}_L\)の向きは実数軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は「\({\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)」の式で表されます。そのため、ベクトル\({\dot{Z}}_C\)の向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きとなります。
RLC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角
『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、インピーダンス角\({\theta}\)が異なります。
- \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
- \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
- \(X_L=X_C\)の時
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
\begin{eqnarray}
{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right){\mathrm{[rad]}}
\end{eqnarray}
インピーダンス角\({\theta}\)はプラスとなります。
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
\begin{eqnarray}
{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right){\mathrm{[rad]}}
\end{eqnarray}
インピーダンス角\({\theta}\)はマイナスとなります。
『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
\begin{eqnarray}
{\theta}=0{\mathrm{[rad]}}
\end{eqnarray}
まとめ
この記事ではRLC直列回路の『合成インピーダンス』について、以下の内容を説明しました。
- RLC直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角
お読み頂きありがとうございました。
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