RL直列回路の『ベクトル図の描き方』と『位相差の求め方』について!

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この記事ではRL直列回路について

  • RL直列回路の『ベクトル図の描き方』
  • RL直列回路の『位相差の求め方』

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

RL直列回路の『ベクトル図の描き方』

RL直列回路の『ベクトル図の描き方』

抵抗\(R\)とコイル\(L\)(インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)とする)を直列接続した回路(RL直列回路)を上図に示しています。

上図のRL直列回路において、

  • RL直列回路にかかる電圧を\({\dot{V}}\)、電圧\({\dot{V}}\)の大きさを\(V\)
  • RL直列回路に流れる電流を\({\dot{I}}\)、電流\({\dot{I}}\)の大きさを\(I\)

とします。

RL直列回路の『ベクトル図』を描くためには『各素子にかかる電圧』と『RL直列回路全体にかかる電圧』を求める必要があります。

まず『各素子にかかる電圧』の求め方を解説します。

電圧や電流やインピーダンスに付いている「ドット」の意味

電圧\(V\)や電流\(I\)やインピーダンス\(Z\)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{V}},{\dot{I}},{\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ!」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{V}},{\dot{I}},{\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(V,I,Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ,長さ)を表しています。

各素子にかかる電圧を求める

【RL直列回路】各素子にかかる電圧を求める

RL直列回路なので下記の電圧を求めます。

  • 『抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)』と『電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさ\(V_R\)』
  • 『コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)』と『電圧\({\dot{V_L}}\)の大きさ\(V_L\)』

抵抗\(R\)にかかる電圧

【RL直列回路】抵抗Rにかかる電圧

抵抗\(R\)に流れる電流が\({\dot{I}}\)、抵抗\(R\)のインピーダンスが『\({\dot{Z_R}}=R\)』なので、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_R}}={\dot{Z_R}}{\dot{I}}=R{\dot{I}}
\end{eqnarray}

また、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさ\(V_R\)は上式の絶対値となり、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_R=|{\dot{V_R}}|=RI
\end{eqnarray}

コイル\(L\)にかかる電圧

【RL直列回路】コイルLにかかる電圧

コイル\(L\)に流れる電流が\({\dot{I}}\)、コイル\(L\)のインピーダンスが『\({\dot{Z_L}}=j{\omega}L\)』なので、コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_L}}={\dot{Z_L}}{\dot{I}}=j{\omega}L{\dot{I}}
\end{eqnarray}

また、コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)の大きさ\(V_L\)は上式の絶対値となり、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_L=|{\dot{V_L}}|={\omega}LI
\end{eqnarray}

RL直列回路全体にかかる電圧

【RL直列回路】全体にかかる電圧

RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は『抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)』と『コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)』を合わせたものなので次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}={\dot{V_R}}+{\dot{V_L}}=R{\dot{I}}+j{\omega}L{\dot{I}}
\end{eqnarray}

また、RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)の大きさ\(V\)は上式の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)の大きさ\(V\)は『\({\dot{V}}=R{\dot{I}}+j{\omega}L{\dot{I}}\)』において、実数部の大きさ\(RI\)の2乗と虚数部の大きさ\({\omega}LI\)の2乗を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
V=|{\dot{V}}|=\sqrt{(RI)^2+({\omega}LI)^2}=\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}I
\end{eqnarray}

なお、『RL直列回路に回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『交流電源の電圧\({\dot{V}}\)』と等しくなります。

補足

RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を用いても求めることができます。

RL直列回路に流れる電流が\({\dot{I}}\)、RL直列回路の合成インピーダンスが『\({\dot{Z}}=R+j{\omega}L\)』なので、RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}={\dot{Z}}{\dot{I}}=(R+j{\omega}L){\dot{I}}=R{\dot{I}}+j{\omega}L{\dot{I}}
\end{eqnarray}

RL直列回路の合成インピーダンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、ご参考になれば幸いです。

RL直列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説!

各電圧のベクトル図を描く

【RL直列回路】各電圧のベクトル図を描く

まず、基準とするベクトルを電流\({\dot{I}}\)とします。

基準ベクトルの決め方

  • 直列回路の場合(今回のRL直列回路など)
  • 回路に流れる電流\({\dot{I}}\)が共通となるので、電流\({\dot{I}}\)を基準ベクトルにするとベクトル図が描きやすくなります。

  • 並列回路の場合
  • 回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)が共通となるので、電圧\({\dot{V}}\)を基準ベクトルにするとベクトル図が描きやすくなります。

RL直列回路の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

RL直列回路の『ベクトル図』の描き方

  1. 抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトルを描く
  2. コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)のベクトルを描く
  3. 各ベクトルを合成する

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトルを描く

【RL直列回路】抵抗Rにかかる電圧VRのベクトルを描く

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)は「\(V_R=R{\dot{I}}\)」で表されます。

そのため、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトルの向きは電流\({\dot{I}}\)のベクトルと同じ向きになります。

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさ(長さ)\(V_R\)は「\(V_R=|{\dot{V_R}}|=RI\)」となります。

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)のベクトルを描く

【RL直列回路】コイルLにかかる電圧VLのベクトルを描く

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)は「\({\dot{V_L}}=j{\omega}L{\dot{I}}\)」で表されます。

そのため、コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)のベクトルの向きは電流\({\dot{I}}\)のベクトルを反時計周りに90°回転した向きになります(『\(j\)』が付くと反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)の大きさ(長さ)\(V_L\)は「\(V_L=|{\dot{V_L}}|={\omega}LI\)」となります。

各ベクトルを合成する

【RL直列回路】各ベクトルを合成する

RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は『抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)』と『コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)』の合成ベクトル(\({\dot{V}}={\dot{V_R}}+{\dot{V_L}}\))となります。

RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)の大きさ(長さ)\(V\)は「\(V=\displaystyle\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}I\)」となります。

したがって、『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』と『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』のベクトル図は上図のようになります。

『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対して、反時計方向に\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)回転しています。

すなわち、『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』より位相が\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)進んでいる(言い換えれば、『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』は『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』より位相が\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)遅れている)ということになります。

位相の『進み』と『遅れ』の見分け方については後ほど詳しく説明します。

RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(V=\displaystyle\sqrt{R^2+({\omega}L)^2}I\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きについて(RL直列回路)

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

  • 『\(+j\)』が付いている時
  • ベクトルは反時計周りに90°回転します。

  • 『\(-j\)』が付いている時
  • ベクトルは時計周りに90°回転します。

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)は「\({\dot{V_L}}=j{\omega}L{\dot{I}}\)」の式で表されます。そのため、ベクトル\({\dot{V_L}}\)の向きはベクトル\({\dot{I}}\)を反時計周りに90°回転した向きとなります。

基準ベクトルについて

基準ベクトルについて(RL直列回路)

基準ベクトルについてもう少し詳しく説明します。

基準ベクトルについて

基準ベクトルを\({\dot{A}}\)にした時、ベクトル\({\dot{B}}\)が上記のように回転している場合を考えてみます。

『位相の"進み"と"遅れ"』、『位相差の"正(プラス)"と"負(マイナス)"』は基準ベクトルから『反時計方向に回転しているか』or『時計周りに回転しているか』で下記のように決まります。

  • ベクトル\({\dot{B}}\)が反時計方向に回転している場合
  • 位相が進んでいるということ。位相差は『正(プラス)』で表します。

  • ベクトル\({\dot{B}}\)が時計方向に回転している場合
  • 位相が遅れているということ。位相差は『負(マイナス)』で表します。

『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』を基準ベクトルとして考えると、『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は反時計周りに回転しています。

そのため、『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対して、『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は位相が進んでいるということになります。また、『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対する『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』の位相差は\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)となります。

一方、『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』を基準ベクトルとして考えると、『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』は反時計周りに回転しています。

そのため、『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』に対して、『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』は位相が遅れているということになります。また、『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』に対する『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』の位相差は\(-{\theta}{\mathrm{[rad]}}\)となります。

RL直列回路の『位相差の求め方』

RL直列回路の『位相差の求め方』

ベクトル図よりRL直列回路の位相差\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)を求めることができます。

『RL直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』と『RL直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』の位相差\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{{\dot{V_L}}}{{\dot{V_R}}}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\frac{V_L}{V_R}\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\frac{{\omega}LI}{RI}\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\frac{{\omega}L}{R}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事ではRL直列回路について、以下の内容を説明しました。

  • RL直列回路の『ベクトル図の描き方』
  • RL直列回路の『位相差の求め方』

お読み頂きありがとうございました。

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