交流回路

RLC直列回路の『ベクトル図の描き方』と『位相差の求め方』について!

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この記事ではRLC直列回路について

  • RLC直列回路の『ベクトル図の描き方』
  • RLC直列回路の『位相差の求め方』

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

RLC直列回路の『ベクトル図の描き方』

RLC直列回路の『ベクトル図の描き方』

RLC直列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。

上図のRLC直列回路において、

  • RLC直列回路にかかる電圧を\({\dot{V}}\)、電圧\({\dot{V}}\)の大きさを\(V\)
  • RLC直列回路に流れる電流を\({\dot{I}}\)、電流\({\dot{I}}\)の大きさを\(I\)

とします。

RLC直列回路の『ベクトル図』を描くためには『各素子にかかる電圧』と『RLC直列回路全体にかかる電圧』を求める必要があります。

まず『各素子にかかる電圧』の求め方を解説します。

電圧や電流やインピーダンスに付いている「ドット」の意味

電圧\(V\)や電流\(I\)やインピーダンス\(Z\)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{V}},{\dot{I}},{\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ!」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{V}},{\dot{I}},{\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(V,I,Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ,長さ)を表しています。

各素子にかかる電圧を求める

【RLC直列回路】各素子にかかる電圧を求める

RLC直列回路なので下記の電圧を求めます。

  • 『抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)』と『電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさ\(V_R\)』
  • 『コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)』と『電圧\({\dot{V_L}}\)の大きさ\(V_L\)』
  • 『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』と『電圧\({\dot{V_C}}\)の大きさ\(V_C\)』

抵抗\(R\)にかかる電圧

【RLC直列回路】抵抗Rにかかる電圧

抵抗\(R\)に流れる電流が\({\dot{I}}\)、抵抗\(R\)のインピーダンスが『\({\dot{Z_R}}=R\)』なので、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_R}}={\dot{Z_R}}{\dot{I}}=R{\dot{I}}
\end{eqnarray}

また、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさ\(V_R\)は上式の絶対値となり、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_R=|{\dot{V_R}}|=\sqrt{\left(RI\right)^2}=RI
\end{eqnarray}

コイル\(L\)にかかる電圧

【RLC直列回路】コイルLにかかる電圧

コイル\(L\)に流れる電流が\({\dot{I}}\)、コイル\(L\)のインピーダンスが『\({\dot{Z_L}}=jX_L=j{\omega}L\)』なので、コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_L}}={\dot{Z_L}}{\dot{I}}=jX_L{\dot{I}}=j{\omega}L{\dot{I}}
\end{eqnarray}

上式において、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります(\(f\)は周波数)。また、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)です。誘導性リアクタンス\(X_L\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
X_L={\omega}L=2{\pi}fL
\end{eqnarray}

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

また、コイル\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)は\({\dot{V_L}}\)の絶対値となり、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_L=|{\dot{V_L}}|=\sqrt{\left(X_LI\right)^2}=X_LI={\omega}LI
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)にかかる電圧

【RLC直列回路】コンデンサCにかかる電圧

コンデンサ\(C\)に流れる電流が\({\dot{I}}\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンスが『\({\dot{Z_C}}=-jX_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}=\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}\)』なので、コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_C}}={\dot{Z_C}}{\dot{I}}=-jX_C{\dot{I}}=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}{\dot{I}}=\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}{\dot{I}}
\end{eqnarray}

上式において、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります(\(f\)は周波数)。また、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)です。容量性リアクタンス\(X_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
X_C=\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{2{\pi}fC}
\end{eqnarray}

また、コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)は\({\dot{V_C}}\)の絶対値となり、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_C=|{\dot{V_C}}|=\sqrt{\left(X_CI\right)^2}=X_CI=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}I
\end{eqnarray}

RLC直列回路全体にかかる電圧

【RLC直列回路】全体にかかる電圧

RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は『抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)』と『コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)』と『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』を合わせたものなので次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{V_R}}+{\dot{V_L}}+{\dot{V_C}}\\
&=&R{\dot{I}}+jX_L{\dot{I}}-jX_C{\dot{I}}\\
&=&R{\dot{I}}+j\left(X_L-X_C\right){\dot{I}}\\
&=&R{\dot{I}}+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right){\dot{I}}
\end{eqnarray}

また、RLC直列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)は\({\dot{V}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)の大きさ\(V\)は『\({\dot{V}}=R{\dot{I}}+j\left(X_L-X_C\right){\dot{I}}\)』において、『実部の大きさ\(RI\)の2乗』と『虚部の大きさ\(\left(X_L-X_C\right)I\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
V&=&|{\dot{V}}|\\
&=&\sqrt{(RI)^2+\left(X_L-X_C\right)^2I^2}\\
&=&I\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}\\
&=&I\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}
\end{eqnarray}

なお、『RLC直列回路に回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『交流電源の電圧\({\dot{V}}\)』と等しくなります。

補足

RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を用いても求めることができます。

RLC直列回路に流れる電流が\({\dot{I}}\)、RLC直列回路の合成インピーダンスが『\({\dot{Z}}=R+j(X_L-X_C)\)』なので、RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}\\
&=&\left(R+j\left(X_L-X_C\right)\right){\dot{I}}\\
&=&R{\dot{I}}+j\left(X_L-X_C\right){\dot{I}}\\
&=&R{\dot{I}}+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right){\dot{I}}
\end{eqnarray}

RLC直列回路の合成インピーダンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、ご参考になれば幸いです。

RLC直列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説!

各電圧のベクトル図を描く

【RLC直列回路】各電圧のベクトル図を描く

まず、基準とするベクトルを電流\({\dot{I}}\)とします。

基準ベクトルの決め方

  • 直列回路の場合(今回のRLC直列回路など)
  • 回路に流れる電流\({\dot{I}}\)が共通となるので、電流\({\dot{I}}\)を基準ベクトルにするとベクトル図が描きやすくなります。

  • 並列回路の場合
  • 回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)が共通となるので、電圧\({\dot{V}}\)を基準ベクトルにするとベクトル図が描きやすくなります。

RLC直列回路の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

RLC直列回路の『ベクトル図』の描き方

  1. 抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトルを描く
  2. コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)のベクトルを描く
  3. コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)のベクトルを描く
  4. 各ベクトルを合成する

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトルを描く

【RLC直列回路】抵抗Rにかかる電圧VRのベクトルを描く

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_R}}=R{\dot{I}}
\end{eqnarray}

そのため、抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)のベクトルの向きは電流\({\dot{I}}\)のベクトルと同じ向きになります(『\(j\)』が付かない場合には回転しません)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)の大きさ(ベクトルの長さ)\(V_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_R=|{\dot{V_R}}|=\sqrt{\left(RI\right)^2}=RI
\end{eqnarray}

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)のベクトルを描く

【RLC直列回路】コイルLにかかる電圧VLのベクトルを描く

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_L}}=jX_L{\dot{I}}=j{\omega}L{\dot{I}}
\end{eqnarray}

そのため、コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)のベクトルの向きは電流\({\dot{I}}\)のベクトルを反時計周りに90°回転した向きになります(『\(j\)』が付くと反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)の大きさ(ベクトルの長さ)\(V_L\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_L=|{\dot{V_L}}|=\sqrt{\left(X_LI\right)^2}=X_LI={\omega}LI
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)のベクトルを描く

【RLC直列回路】コンデンサCにかかる電圧VCのベクトルを描く

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V_C}}=-jX_C{\dot{I}}=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}{\dot{I}}=\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}{\dot{I}}
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)のベクトルの向きは電流\({\dot{I}}\)のベクトルを時計周りに90°回転した向きになります(『\(-j\)』が付くと時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)の大きさ(ベクトルの長さ)\(V_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_C=|{\dot{V_C}}|=\sqrt{\left(X_CI\right)^2}=X_CI=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}I
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

【RLC直列回路】各ベクトルを合成する

RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は『抵抗\(R\)にかかる電圧\({\dot{V_R}}\)』と『コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)』と『コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)』の合成ベクトルとなります。

繰り返しになりますが、RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{V_R}}+{\dot{V_L}}+{\dot{V_C}}\\
&=&R{\dot{I}}+jX_L{\dot{I}}-jX_C{\dot{I}}\\
&=&R{\dot{I}}+j\left(X_L-X_C\right){\dot{I}}\\
&=&R{\dot{I}}+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right){\dot{I}}
\end{eqnarray}

RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)の大きさ(ベクトルの長さ)\(V\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V&=&|{\dot{V}}|\\
&=&\sqrt{(RI)^2+\left(X_L-X_C\right)^2I^2}\\
&=&I\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}\\
&=&I\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}
\end{eqnarray}

上式の括弧の中にある『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)のベクトル方向が変わるので注意が必要です。

  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)のベクトルの方向は右上向きになります。

    『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対して、反時計方向に\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)回転しています。

    すなわち、『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』より位相が\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)進んでいる(言い換えれば、『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』は『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』より位相が\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)遅れている)ということになります。

    位相の『進み』と『遅れ』の見分け方については後ほど詳しく説明します。

  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)のベクトルの方向は右下向きになります。

    『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対して、時計方向に\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)回転しています。

    すなわち、『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』より位相が\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)遅れている(言い換えれば、『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』は『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』より位相が\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)進んでいる)ということになります。

  • \(X_L=X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、RLC直列回路の合成インピーダンスが『\({\dot{Z}}=R+j(X_L-X_C)=R\)』となります。そのため、RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)のベクトルの方向は右向きになります。

    『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』のベクトルの方向が同じなので、『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』と『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』は同位相となります。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きについて(RLC直列回路)

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

  • 『\(+j\)』が付いている時
  • ベクトルは反時計周りに90°回転します。

  • 『\(-j\)』が付いている時
  • ベクトルは時計周りに90°回転します。

コイル\(L\)にかかる電圧\({\dot{V_L}}\)は「\({\dot{V_L}}=j{\omega}L{\dot{I}}\)」の式で表されます。そのため、ベクトル\({\dot{V_L}}\)の向きはベクトル\({\dot{I}}\)を反時計周りに90°回転した向きとなります。

コンデンサ\(C\)にかかる電圧\({\dot{V_C}}\)は「\({\dot{V_C}}=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}{\dot{I}}\)」の式で表されます。そのため、ベクトル\({\dot{V_C}}\)の向きはベクトル\({\dot{I}}\)を時計周りに90°回転した向きとなります。

基準ベクトルについて

基準ベクトルについて(RLC直列回路)

基準ベクトルについてもう少し詳しく説明します。

基準ベクトルについて

基準ベクトルを\({\dot{A}}\)にした時、ベクトル\({\dot{B}}\)が上記のように回転している場合を考えてみます。

『位相の"進み"と"遅れ"』、『位相差の"正(プラス)"と"負(マイナス)"』は基準ベクトルから『反時計方向に回転しているか』or『時計周りに回転しているか』で下記のように決まります。

  • ベクトル\({\dot{B}}\)が反時計方向に回転している場合
  • 位相が進んでいるということ。位相差\({\theta}\)は『正(プラス)』で表します。

  • ベクトル\({\dot{B}}\)が時計方向に回転している場合
  • 位相が遅れているということ。位相差\({\theta}\)は『負(マイナス)』で表します。

『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』を基準ベクトルとして考えると、『\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)』の時では『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対して、『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は反時計方向に\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)回転しています。

そのため、『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対して、『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』は位相が\({\theta}{\mathrm{[rad]}}\)進んでいるということになります。また、『RLC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)』に対する『RLC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)』の位相差\({\theta}\)は『正(プラス)』となります。

RLC直列回路の『位相差の求め方』

RLC直列回路の『位相差の求め方』

『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、位相角\({\theta}\)が異なります。

  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、位相角\({\theta}\)は以下の値となります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}={\tan}^{-1}\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right)={\tan}^{-1}\left(\frac{{\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}}{R}\right){\mathrm{[rad]}}
    \end{eqnarray}

    『\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)』なので、位相角\({\theta}\)はプラスとなります。

  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、位相角\({\theta}\)は以下の値となります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}={\tan}^{-1}\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right)={\tan}^{-1}\left(\frac{{\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}}{R}\right){\mathrm{[rad]}}
    \end{eqnarray}

    『\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)』なので、位相角\({\theta}\)はマイナスとなります。

  • \(X_L=X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、位相角\({\theta}\)は以下の値となります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}=0{\mathrm{[rad]}}
    \end{eqnarray}

まとめ

この記事ではRLC直列回路について、以下の内容を説明しました。

  • RLC直列回路の『ベクトル図の描き方』
  • RLC直列回路の『位相差の求め方』

お読み頂きありがとうございました。

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