RC直列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説！

この記事ではRC直列回路の『合成インピーダンス』について

RC直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RC直列回路の『合成インピーダンス』

RC直列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコンデンサ\(C\)を直列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(2)式において、\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

RC直列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R-j\frac{1}{{\omega}C}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(4)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(4)式において、『実部\(R\)の2乗』と『虚部\(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

なお、抵抗\(R\)のインピーダンスの大きさ\(Z_R\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンスの大きさ\(Z_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z_R&=&|{\dot{Z}}_R|=\sqrt{R^2}=R\tag{6}\\
\\
Z_C&=&|{\dot{Z}}_C|=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{7}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス(Z)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 【交流回路とベクトル】インピーダンスなどにつく「・(ドット)」の意味！
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RC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く
各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R=R\tag{8}
\end{eqnarray}

そのため、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの向きは実数軸の向きとなります。式に虚数単位\(j\)が付かない場合はベクトルは回転せず、実数軸の向きとなります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_R\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_R=|{\dot{Z}}_R|=R\tag{9}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{10}
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(-j\)』が付くとベクトルが時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_C=|{\dot{Z}}_C|=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{11}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)』と『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)』のベクトルの合成がRC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{12}
\end{eqnarray}

RC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z=\displaystyle\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時
- ベクトルは反時計周りに90°回転します。
『\(-j\)』が付いている時
- ベクトルは時計周りに90°回転します。

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{13}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}}_C\)の向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

RC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角

ベクトル図よりRC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角を求めることができます。

インピーダンス角\({\theta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}}{R}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-\frac{1}{{\omega}CR}\right)\tag{14}
\end{eqnarray}

以上より、RC直列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は次式となります。

RC直列回路のインピーダンス角

\begin{eqnarray}
{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-\frac{1}{{\omega}CR}\right)\tag{15}
\end{eqnarray}

このインピーダンス角\({\theta}\)は「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。

もう少し具体的に言うと、「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」に対する「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」の位相となります。

また、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}=R+\frac{1}{j{\omega}C}\tag{16}
\end{eqnarray}

したがって、「RC直列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC直列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=\left(R+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}\right){\dot{I}}\tag{17}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\displaystyle\frac{{\dot{V}}}{R+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}\tag{18}
\end{eqnarray}

また、インピーダンスの大きさ\(Z\)は「電圧の大きさ\(V\)と電流の大きさ\(I\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{19}
\end{eqnarray}

したがって、「RC直列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)」と「RC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V&=&ZI=\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}I\tag{20}\\
\\
I&=&\frac{V}{Z}=\displaystyle\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}}\tag{21}
\end{eqnarray}