RLC直列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説！

この記事ではRLC直列回路の『合成インピーダンス』について

RLC直列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RLC直列回路の『合成インピーダンス』

RLC直列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_L&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}\\
\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{3}
\end{eqnarray}

(2)式と(3)式において、\(X_L\left(={\omega}L\right)\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

RLC直列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R+j\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right){\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(6)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は『\({\dot{Z}}=R+j\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』において、『実部\(R\)の2乗』と『虚部\({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

なお、抵抗\(R\)のインピーダンスの大きさ\(Z_R\)、コイル\(L\)のインピーダンスの大きさ\(Z_L\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンスの大きさ\(Z_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z_R&=&|{\dot{Z}}_R|=\sqrt{R^2}=R\tag{8}\\
\\
Z_L&=&|{\dot{Z}}_L|=\sqrt{({\omega}L)^2}={\omega}L\tag{9}\\
\\
Z_C&=&|{\dot{Z}}_C|=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{10}
\end{eqnarray}

インピーダンスに付いている「ドット」の意味

インピーダンス(Z)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Z}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Z}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Z}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Z\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 【交流回路とベクトル】インピーダンスなどにつく「・(ドット)」の意味！
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RLC直列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く
コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルを描く
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く
各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルを描く

抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R=R\tag{11}
\end{eqnarray}

そのため、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの向きは実数軸の向きとなります。式に虚数単位\(j\)が付かない場合はベクトルは回転せず、実軸の向きとなります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_R\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_R=|{\dot{Z}}_R|=R\tag{12}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルを描く

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_L=j{\omega}L\tag{13}
\end{eqnarray}

そのため、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルの向きは実数軸を反時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(+j\)』が付くとベクトルが反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_L=|{\dot{Z}}_L|={\omega}L\tag{14}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルを描く

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{15}
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(-j\)』が付くとベクトルが時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_C=|{\dot{Z}}_C|=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{16}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)』と『コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)』と『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)』のベクトルの合成が RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

繰り返しになりますが、RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&{\dot{Z}}_R+{\dot{Z}}_L+{\dot{Z}}_C\\
\\
&=&R+jX_L-jX_C\\
\\
&=&R+j\left(X_L-X_C\right)\\
\\
&=&R+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)\tag{17}
\end{eqnarray}

上式の括弧の中にある『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向が変わるので注意が必要です。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は右上向きになります。
\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は右下向きになります。
\(X_L=X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は『\({\dot{Z}}=R\)』になるため、ベクトルの方向は右向きになります。

RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{18}
\end{eqnarray}

RLC直列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時
- ベクトルは反時計周りに90°回転します。
『\(-j\)』が付いている時
- ベクトルは時計周りに90°回転します。

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_L=j{\omega}L\tag{19}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)の式には『\(+j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}}_L\)の向きは実数軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

一方、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_C=-j\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\tag{20}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}}_C\)の向きは実数軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

RLC直列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角

『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、インピーダンス角\({\theta}\)が異なります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right){\mathrm{[rad]}}\tag{21}
  \end{eqnarray}
  インピーダンス角\({\theta}\)はプラスとなります。
\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right){\mathrm{[rad]}}\tag{22}
  \end{eqnarray}
  インピーダンス角\({\theta}\)はマイナスとなります。
\(X_L=X_C\)の時
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}=0{\mathrm{[rad]}}\tag{23}
  \end{eqnarray}