RL並列回路の『合成インピーダンス』を分かりやすく解説！

この記事ではRL並列回路の『合成インピーダンス』について

• RL並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RL並列回路の『合成インピーダンス』

RL並列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコイル\(L\)を並列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}
\end{eqnarray}

(2)式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RL並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_L}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{j{\omega}L}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}L}{R×j{\omega}L}+\frac{R}{R×j{\omega}L}\\
\\
&=&\frac{R+j{\omega}L}{j{\omega}RL}\tag{3}
\end{eqnarray}

(3)式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}L}}=\frac{j{\omega}RL}{R+j{\omega}L}\tag{4}
\end{eqnarray}

また、(4)式には分母と分子に虚数単位\(j\)があります。分子のみに虚数単位\(j\)があるようにするために、分母と分子に『\(R-j{\omega}L\)』を掛けます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{j{\omega}RL(R-j{\omega}L)}{(R+j{\omega}L)(R-j{\omega}L)}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}R^2L-j^2{\omega}^2RL^2}{R^2-j{\omega}RL+j{\omega}RL-j^2{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}R^2L+{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}\tag{5}
\end{eqnarray}

以上より、RL並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

RL並列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}+j\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(7)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は上式において、『実部\(\displaystyle\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}\)の2乗』と『虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}\right)^2}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{{\omega}^4R^2L^4+{\omega}^2R^4L^2}{\left(R^2+{\omega}^2L^2\right)^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{{\omega}^2R^2L^2\left({\omega}^2L^2+R^2\right)}{\left(R^2+{\omega}^2L^2\right)^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{{\omega}^2R^2L^2}{R^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{{\omega}RL}{\displaystyle\sqrt{R^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}}\tag{8}
\end{eqnarray}

以上より、RL並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。

RL並列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

RL並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

では各ステップについて順番に説明していきます。

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルを描く

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{RE}}=\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}\tag{10}
\end{eqnarray}

そのため、実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)のベクトル方向は実数軸の向きとなります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、実部のインピーダンス\({\dot{Z}_{RE}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{RE}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_{RE}=|{\dot{Z}_{RE}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}\right)^2}=\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}\tag{11}
\end{eqnarray}

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルを描く

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=j\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}\tag{12}
\end{eqnarray}

そのため、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトル方向は実数軸を反時計周りに90°回転した向きになります(『\(+j\)』が付くと反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z_{IM}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z_{IM}=|{\dot{Z}_{IM}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}\right)^2}=\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}\tag{13}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『実部のインピーダンス\({\dot{Z_{RE}}}\)』と『虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)』のベクトルの合成が RL並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル図となります。

RL並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\displaystyle\frac{{\omega}RL}{\displaystyle\sqrt{R^2+{\omega}^2L^2}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{IM}}=j\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}\tag{15}
\end{eqnarray}

虚部のインピーダンス\({\dot{Z}_{IM}}\)の式には『\(+j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Z}_{IM}}\)の向きは実数軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

RL並列回路の『インピーダンス角』

ベクトル図よりRL並列回路の『合成インピーダンス』のインピーダンス角\({\theta}\)を求めることができます。

インピーダンス角\({\theta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{{\omega}R^2L}{R^2+{\omega}^2L^2}}{\displaystyle\frac{{\omega}^2RL^2}{R^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\frac{R}{{\omega}L}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{R}{{\omega}L}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{R}{{\omega}L}\right)\tag{16}
\end{eqnarray}

以上より、RL並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は次式となります。

このインピーダンス角\({\theta}\)は「RL並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RL並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。

もう少し具体的に言うと、「RL並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」に対する「RL並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」の位相となります。

また、インピーダンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{{\dot{V}}}{{\dot{I}}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}L}}\tag{18}
\end{eqnarray}

したがって、「RL並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RL並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&{\dot{Z}}{\dot{I}}=\displaystyle\frac{{\dot{I}}}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}L}}\tag{19}\\
\\
{\dot{I}}&=&\frac{{\dot{V}}}{{\dot{Z}}}=\left(\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j{\omega}L}\right){\dot{V}}\tag{20}
\end{eqnarray}

また、インピーダンスの大きさ\(Z\)は「電圧の大きさ\(V\)と電流の大きさ\(I\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\frac{V}{I}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}}\tag{21}
\end{eqnarray}

したがって、「RL並列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)」と「RL並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V&=&ZI=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}}I=\displaystyle\frac{I}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}}\tag{22}\\
\\
I&=&\frac{V}{Z}=\displaystyle\frac{V}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}}}=V\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}\tag{23}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事ではRL並列回路の『合成インピーダンス』について、以下の内容を説明しました。

• RL並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

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