『パルス波』の実効値・平均値の求め方

この記事では『パルス波』について、

実効値・平均値の求め方

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

パルス波の実効値・平均値

最初にパルス波(最大値\(V_M\)、周期\(T\))の実効値・平均値を上図に示します。

これから各値がどのように求まるのかを説明します(できるだけ途中式を多くするよう心がけています)。

パルス波の波形式

パルス波の実効値・平均値を求めるためには、最初にパルス波を式で表す必要があります。

パルス波は赤色の線の領域\(\left(0 \leq t \lt T_1\right)\)と青色の線の領域\(\left(T_1 \leq t \lt T\right)\)で式が異なります。

赤色の線と青色の線の式を求めます。

赤色の線

「\(0 \leq t \lt T_1\)」の領域が赤色の線の領域です。

赤色の線は、時間\(T_1\)の間、常に\(V_M\)となっています。

そのため、赤色の線は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
v(t)=V_M
\end{eqnarray}

青色の線

「\(T_1 \leq t \lt T\)」の領域が青色の領域です。

青色の線は、常に\(0\)となっています。

そのため、青色の線は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
v(t)=0
\end{eqnarray}

赤色の線と青色の線を合わせると、パルス波は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
v(t) = \begin{cases}
V_M & \left(0 \leq t \lt T_1\right) \\
\\
0 & \left(T_1 \leq t \lt T\right)
\end{cases}
\end{eqnarray}

パルス波の実効値

波形\(v(t)\)の実効値\(V_{RMS}\)は、\(v(t)\)を2乗して平均した値の平方根なので、以下の式で表されます。

絶対値を求める式

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}v(t)^2dt}
\end{eqnarray}

赤色の線の領域は「\(0 \leq t \lt T_1\)」、青色の線の領域は「\(T_1 \leq t \lt T\)」です。

絶対値を求める式において、赤色の線と青色の線を分けると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(\displaystyle \int_{0}^{T_1}v(t)^2dt+\displaystyle \int_{T_1}^{T}v(t)^2dt\right )}
\end{eqnarray}

パルス波は「\(T_1 \leq t \lt T\)」の領域は\(v(t)=0\)なので、上式は以下のようになります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(\displaystyle \int_{0}^{T_1}v(t)^2dt+\displaystyle \int_{T_1}^{T}0\right )}\\
\\
&=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T_1}v(t)^2dt}
\end{eqnarray}

上式において、\(v(t)=V_M\)を代入すると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T_1} \displaystyle \int_{0}^{T}V_M^2dt}
\end{eqnarray}

\(V_M^2\)は時間\(t\)によって変化する変数ではなく定数なので積分の外に出すことができます。その結果、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T_1} V_M^2\displaystyle \int_{0}^{T}1dt}\\
\\
&=& V_M\sqrt{\displaystyle\frac{1}{T_1} \displaystyle \int_{0}^{T}1dt}
\end{eqnarray}

上式を計算すると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& V_M\sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left[t\right]_{0}^{T_1}}\\
\\
&=& V_M\sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(T_1-0\right)}\\
\\
&=& \sqrt{\displaystyle\frac{T_1}{T}}V_M
\end{eqnarray}

以上より、パルス波の実効値\(V_{RMS}\)は、以下の値になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} =\sqrt{\displaystyle\frac{T_1}{T}}V_M
\end{eqnarray}

パルス波の平均値

波形\(v(t)\)の平均値\(V_{AVE}\)は\(v(t)\)の絶対値\(|v(t)|\)を平均した値なので、以下の式で表されます。

平均値を求める式

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}|v(t)|dt
\end{eqnarray}

この平均値を求める式には\(v(t)\)の絶対値\(|v(t)|\)を使用します。

そのため、波形にマイナスの領域があれば、マイナスの領域がプラスになるように変換する必要があります。

パルス波の場合、マイナスの領域はないため、『\(v(t)\)の式』と『\(v(t)\)の絶対値\(|v(t)|\)の式』は同じになります。

したがって、\(v(t)\)の絶対値\(|v(t)|\)の式は、以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|v(t)| = \begin{cases}
V_M & \left(0 \leq t \lt T_1\right) \\
\\
0 & \left(T_1 \leq t \lt T\right)
\end{cases}
\end{eqnarray}

平均値を求める式において、各式を分けると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}|v(t)|dt\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{T} \left(\displaystyle \int_{0}^{T_1}|v(t)|dt+\displaystyle \int_{T_1}^{T}|v(t)|dt\right )\\
\end{eqnarray}

パルス波は「\(T_1 \leq t \lt T\)」の領域は\(v(t)=0\)なので、上式は以下のようになります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \left(\displaystyle \int_{0}^{T_1}|v(t)|dt+\displaystyle \int_{T_1}^{T}0dt\right )\\
\\
&=&\displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T_1}|v(t)|dt\\
\end{eqnarray}

上式において、\(v(t)=V_M\)を代入すると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T_1}V_Mdt\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{T} V_M\displaystyle \int_{0}^{T_1}1dt\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{T}V_M \left[t\right]_{0}^{T_1}\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{T}V_M \left(T_1-0\right)\\
\\
&=&\displaystyle\frac{T_1}{T}V_M
\end{eqnarray}

以上よりパルス波の平均値\(V_{AVE}\)は、以下の値になります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{T_1}{T}V_M
\end{eqnarray}