実効値・平均値・波形率・波高率

『直流』の実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

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直流の実効値・平均値・波形率・波高率

直流の実効値・平均値・波形率・波高率
最初に直流『\(v(t)=V_M\)』の実効値・平均値・波形率・波高率を上図に示します。
これから各値がどのように求まるのかを説明します(できるだけ途中式を多くするよう心がけています)。

直流の場合は実効値\(V_{RMS}\)と平均値\(V_{AVE}\)が等しくなります。

直流の波形式

直流の波形式
直流の実効値・平均値を求めるためには、最初に直流を式で表す必要があります。

上図において直流の式は、
\begin{eqnarray}
v(t)=V_M
\end{eqnarray}
で表すことができます。

直流の実効値

波形\(v(t)\)の実効値\(V_{RMS}\)は、\(v(t)\)を2乗して平均した値の平方根なので、

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}v(t)^2dt}
\end{eqnarray}

と表されます。

上式において、\(v(t)=V_M\)を代入すると、
\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}V_M^2dt}
\end{eqnarray}
となります。\(V_M^2\)は時間tによって変化する変数ではなく定数なので積分の外に出すことができます。
\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} V_M^2\displaystyle \int_{0}^{T}1dt}\\
&=& V_M\sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}1dt}
\end{eqnarray}
上式を計算すると、
\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& V_M\sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left[t\right]_{0}^{T}}\\
&=& V_M\sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(T-0\right)}\\
&=& V_M
\end{eqnarray}

以上より、直流の実効値\(V_{RMS}\)は、

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=V_M
\end{eqnarray}

となります。

直流の平均値

波形\(v(t)\)の平均値\(V_{AVE}\)は\(v(t)\)の絶対値\(|v(t)|\)を平均した値なので、

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}|v(t)|dt
\end{eqnarray}

と表されます。

この平均値を求める式は『\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)』を使用します。

そのため、波形のマイナスの領域はプラスになるように変換する必要があります。

直流の場合はマイナスの領域はないため、『\(v(t)\)の式』と『\(v(t)\)の絶対値\(|v(t)|\)の式』は同じになります。

したがって、\(v(t)\)の絶対値\(|v(t)|\)の式は

\begin{eqnarray}
|v(t)| = V_M
\end{eqnarray}

となります。
上式を\(V_{AVE} = \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}|v(t)|dt\)に代入すると、
\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}V_M dt\\
&=& \displaystyle\frac{1}{T} V_M\displaystyle \int_{0}^{T}1 dt\\
&=& \displaystyle\frac{1}{T} V_M\left(T-0\right)\\
&=& V_M
\end{eqnarray}

以上より直流の平均値\(V_{AVE}\)は、

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& V_M
\end{eqnarray}

となります。

直流の波形率

波形率は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
波形率 &=& \displaystyle\frac{実効値V_{RMS}}{平均値V_{AVE}}
\end{eqnarray}

直流の実効値\(V_{RMS}\)と平均値\(V_{AVE}\)は求まっているので、この式に代入することで直流の波形率を求めることができます。

\begin{eqnarray}
波形率 = \displaystyle\frac{V_M}{V_M} = 1
\end{eqnarray}

直流の最大値

直流の最大値
直流の最大値\(V_{PEAK}\)は波形から分かるように、

\begin{eqnarray}
最大値V_{PEAK}=V_M
\end{eqnarray}

となります。

直流の波高率(クレストファクタ)

波高率(クレストファクタ)は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
波高率 &=& \displaystyle\frac{最大値V_{PEAK}}{実効値V_{RMS}}
\end{eqnarray}

直流の実効値\(V_{RMS}\)と最大値\(V_{PEAK}\)は求まっているので、この式に代入することで直流の波高率(クレストファクタ)を求めることができます。

\begin{eqnarray}
波形率 = \displaystyle\frac{V_M}{V_M} = 1
\end{eqnarray}
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