『正弦波』の実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

この記事では『正弦波』について

実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

正弦波の実効値・平均値・波形率・波高率

最初に正弦波(最大値\(V_M\)、周期\(T\))の実効値・平均値・波形率・波高率を上図に示します。

これから各値がどのように求まるのかを説明します(できるだけ途中式を多くするよう心がけています)。

正弦波の波形式

正弦波の実効値・平均値を求めるためには、最初に正弦波を式で表す必要があります。

正弦波の波形を以下に示します。

上図において正弦波の式は、以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
v(t)=V_M\sin{{\omega}t}
\end{eqnarray}

上式を用いると、正弦波の実効値・平均値・波形率・波高率を求めることができます。

しかし上式のままだと計算が少し複雑になります。

そのため、今回は計算を容易にするために時間軸(横軸\(t\))を位相軸(横軸\({{\omega}t}\)に変換します。

時間軸(横軸\(t\))を位相軸(横軸\({{\omega}t}\))に変換するメリットと変換方法について

変換するメリット

例えば、\(\sin{{\omega}t}\)を時間\(t\)で積分すると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \int \sin{{\omega}t} dt = -\displaystyle \frac{1}{\omega}\cos{{\omega}t} +C\\
C：積分定数
\end{eqnarray}

時間\(t\)で積分することで分母に\({\omega}\)が入り計算が複雑になります。

一方、\(\sin{{\omega}t}\)を位相\({{\omega}t}\)で積分すると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \int \sin{{\omega}t} d({{\omega}t}) = -\cos{{\omega}t} +C\\
C：積分定数
\end{eqnarray}

上式から分かるように、位相\({{\omega}t}\)で積分することで、分母に\({\omega}\)が入りません。そのため計算を容易にすることができます。

変換方法

変換方法について説明します。

時間は『\(t\)』、位相は『\({{\omega}t}\)』なので、時間\(t\)を位相\({{\omega}t}\)に変換するためには、時間\(t\)に対して\({\omega}\)を掛けます。

時間\(t\)における周期を\(T\)で表すと、位相\({{\omega}t}\)における周期は、周期\(T\)に対して\({\omega}\)を掛けます。

計算すると、以下のようになります。

\begin{eqnarray}
位相{{\omega}t}における周期={\omega}T=2{\pi}f×T=2{\pi}\displaystyle \frac{1}{T}×T=2{\pi}
\end{eqnarray}

ではこれから下図の位相軸(横軸\({{\omega}t}\))を使用して正弦波の実効値・平均値・波形率・波高率を求めていきます。

正弦波の実効値

波形\(v({{\omega}t})\)の実効値\(V_{RMS}\)は、\(v({{\omega}t})\)を2乗して平均した値の平方根なので、以下の式で表されます。

絶対値を求める式

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi}v({{\omega}t})^2d({{\omega}t}})
\end{eqnarray}

上式において、

\begin{eqnarray}
X &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi}v({{\omega}t})^2 d({\omega}t)
\end{eqnarray}

と置くと、波形\(v({{\omega}t})\)の実効値\(V_{RMS}\)は、以下の式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} X}
\end{eqnarray}

次に、\(X\)の値を求めます。

\begin{eqnarray}
X &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi}v({{\omega}t})^2 d({\omega}t)\\
\\
&=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi}{V_M}^2{\sin}^2{\omega}t d({\omega}t)\\
\\
&=& {V_M}^2\displaystyle \int_{0}^{2\pi}{\sin}^2{\omega}t d({\omega}t)\\
\\
&=& {V_M}^2\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\displaystyle \frac{1-{\cos2{\omega}t}}{2} d({\omega}t)\\
\\
&=& {V_M}^2 \left[\frac{1}{2}{{\omega}t}-\frac{1}{4}{\sin2{\omega}t} \right]_{0}^{2\pi}\\
\\
&=& {V_M}^2 \left( \frac{1}{2}×{2\pi}-\frac{1}{4}{\sin{4\pi}}\right)\\
\\
&=& {V_M}^2 {\pi}
\end{eqnarray}

以上より、正弦波の実効値\(V_{RMS}\)は、以下の値になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=&\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} X}\\
\\
&=&\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} {V_M}^2 {\pi}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{V_M}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray}

正弦波の平均値

波形\(v({{\omega}t})\)の平均値\(V_{AVE}\)は、\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)を平均した値なので、以下の式で表されます。

平均値を求める式

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi}|v({{\omega}t})|d({{\omega}t})
\end{eqnarray}

この平均値を求める式には\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)を使用します

そのため、波形のマイナスの領域(薄い青の箇所)はプラス(薄い赤の箇所)になるように変換する必要があります。

領域\(\left(0 \leq {\omega}t \lt \pi \right)\)は波形\(v({{\omega}t})\)がプラスなので、何も変換しません。

領域\(\left(\pi \leq {\omega}t \lt 2\pi \right)\)は波形\(v({{\omega}t})\)がマイナスなので、プラスになるように式にマイナスをかけます。

したがって、\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)は、以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|v({{\omega}t})| = \begin{cases}
V_M\sin{{\omega}t} & \left(0 \leq {\omega}t \lt \pi\right) \\
\\
-V_M\sin{{\omega}t} & \left(\pi \leq {\omega}t \lt 2\pi\right)
\end{cases}
\end{eqnarray}

平均値を求める式において、各式を分けると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi}|v({\omega}t)|d({{\omega}t})\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{2\pi}\left(\displaystyle \int_{0}^{\pi}V_M\sin{{\omega}t}d({{\omega}t})+ \int_{\pi}^{2\pi}-V_M\sin{{\omega}t}d({{\omega}t}) \right)\\
\end{eqnarray}

この式は\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)を\(0\)から\(2\pi\)の領域で積分して、最後に\(2\pi\)を割ることで平均値を求めています。

しかし、図で考えると、\(0\)から\(\pi\)の領域で積分して、最後に\(\pi\)を割るのと平均値は同じです。

イメージ的には下図のようなことです。

そのため、\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)の平均値は以下の式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{\pi} \displaystyle \int_{0}^{\pi}|v({\omega}t)|d({{\omega}t})\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}V_M\sin{{\omega}t}d({{\omega}t})
\end{eqnarray}

上式を計算すると、正弦波の平均値\(V_{AVE}\)は、以下の値になります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}V_M\sin{{\omega}t}d({{\omega}t})\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{\pi}V_M\left[-\cos{\omega}t \right]_{0}^{\pi}\\
\\
&=& \displaystyle\frac{V_M}{\pi}\left(-\cos\pi - \cos0 \right)\\
\\
&=& \displaystyle\frac{2V_M}{\pi}
\end{eqnarray}

正弦波の波形率

波形率は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
波形率 &=& \displaystyle\frac{実効値V_{RMS}}{平均値V_{AVE}}
\end{eqnarray}

正弦波の実効値\(V_{RMS}\)と平均値\(V_{AVE}\)は求まっているので、この式に代入することで正弦波の波形率を求めることができます。

\begin{eqnarray}
波形率 = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_M}{\sqrt{2}}}{\displaystyle\frac{2V_M}{\pi}} = \displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt{2}}
\end{eqnarray}