『半波整流波』の実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

この記事では『半波整流波』について

• 実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

半波整流波の実効値・平均値・波形率・波高率

最初に半波整流波(最大値\(V_M\)、周期\(T\))の実効値・平均値・波形率・波高率を上図に示します。

これから各値がどのように求まるのかを説明します(できるだけ途中式を多くするよう心がけています)。

半波整流波の波形式

半波整流波の実効値・平均値を求めるためには、最初に半波整流波を式で表す必要があります。

半波整流波は赤色の線の領域\(\left(0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}\right)\)と青色の線の領域\(\left(\displaystyle \frac{T}{2} \leq t \lt T\right)\)で式が異なります。

赤色の線と青色の線の式を求めます。

赤色の線

「\(0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}\)」の領域が赤色の線の領域です。

赤色の線は、\(V_M\sin{{\omega}t}\)の波形の一部です。

そのため、赤色の線は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
v(t)=V_M\sin{{\omega}t}
\end{eqnarray}

青色の線

「\(\displaystyle \frac{T}{2} \leq t \lt T\)」の領域が青色の領域です。

青色の線は、常に\(0\)となっています。

そのため、青色の線は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
v(t)=0
\end{eqnarray}

赤色の線と青色の線を合わせると、半波整流波は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
v(t) = \begin{cases}
V_M\sin{{\omega}t} & \left(0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}\right) \\
\\
0 & \left(\displaystyle \frac{T}{2} \leq t \lt T\right)
\end{cases}
\end{eqnarray}

これから半波整流波の実効値・平均値・波形率・波高率を求めますが、上式を用いると計算が少し複雑になります。

そのため、今回は計算を容易にするために時間軸(横軸\(t\))を位相軸(横軸\({{\omega}t}\))に変換します。

時間軸(横軸\(t\))を位相軸(横軸\({{\omega}t}\))に変換すると、半波整流波は以下の式となります。

\begin{eqnarray}
v({\omega}t) = \begin{cases}
V_M\sin{{\omega}t} & \left(0 \leq {\omega}t \lt \pi\right) \\
\\
0 & \left(\pi \leq {\omega}t \lt 2\pi\right)
\end{cases}
\end{eqnarray}

半波整流波の実効値

波形\(v({{\omega}t})\)の実効値\(V_{RMS}\)は、\(v({{\omega}t})\)を2乗して平均した値の平方根なので、以下の式で表されます。

赤色の線の領域は「\(0 \leq {\omega}t \lt \pi\)」、青色の線の領域は「\(\pi \leq {\omega}t \lt 2\pi\)」です。

絶対値を求める式において、赤色の線と青色の線を分けると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} \left(\displaystyle \int_{0}^{\pi}v({{\omega}t})^2d({\omega}t)+\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}v({{\omega}t})^2d({\omega}t)\right )}
\end{eqnarray}

半波整流波は\(\pi \leq {\omega}t \lt 2\pi\)の領域は\(0\)なので、上式は以下のようになります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{0}^{\pi}v({{\omega}t})^2d({\omega}t)}
\end{eqnarray}

上式において、

\begin{eqnarray}
X &=& \displaystyle \int_{0}^{\pi}v({{\omega}t})^2 d({\omega}t)
\end{eqnarray}

と置くと、波形\(v({{\omega}t})\)の実効値\(V_{RMS}\)は、以下の式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} X}
\end{eqnarray}

次に、\(X\)の値を求めます。

\begin{eqnarray}
X &=& \displaystyle \int_{0}^{\pi}v({{\omega}t})^2 d({\omega}t)\\
\\
&=& \displaystyle \int_{0}^{\pi}{V_M}^2{\sin}^2{\omega}t d({\omega}t)\\
\\
&=& {V_M}^2\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin}^2{\omega}t d({\omega}t)\\
\\
&=& {V_M}^2\displaystyle \int_{0}^{\pi}\displaystyle \frac{1-{\cos2{\omega}t}}{2} d({\omega}t)\\
\\
&=& {V_M}^2 \left[\displaystyle\frac{1}{2}{{\omega}t}-\frac{1}{4}{\sin2{\omega}t} \right]_{0}^{\pi}\\
\\
&=& {V_M}^2 \left( \displaystyle\frac{1}{2}×{\pi}-\frac{1}{4}{\sin{2\pi}}\right)\\
\\
&=& \displaystyle\frac{{V_M}^2 {\pi}}{2}
\end{eqnarray}

以上より、半波整流波の実効値\(V_{RMS}\)は、以下の値になります。

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=&\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} X}\\
\\
&=&\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2\pi} \displaystyle\frac{{V_M}^2 {\pi}}{2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}V_M
\end{eqnarray}

半波整流波の平均値

波形\(v({{\omega}t})\)の平均値\(V_{AVE}\)は、\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)を平均した値なので、以下の式で表されます。

この平均値を求める式には\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)を使用します。

そのため、波形にマイナスの領域があれば、マイナスの領域がプラスになるように変換する必要があります。

半波整流波の場合、マイナスの領域はないため、『\(v({{\omega}t})\)の式』と『\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)の式』は同じになります。

したがって、\(v({{\omega}t})\)の絶対値\(|v({{\omega}t})|\)は、以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|v({{\omega}t})| = \begin{cases}
V_M\sin{{\omega}t} & \left(0 \leq {\omega}t \lt \pi\right) \\
\\
0 & \left(\pi \leq {\omega}t \lt 2\pi\right)
\end{cases}
\end{eqnarray}

平均値を求める式において、各式を分けると、以下の式になります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi}|v({\omega}t)|d({{\omega}t})\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{2\pi}\left(\displaystyle \int_{0}^{\pi}|v({\omega}t)|d({{\omega}t})+ \int_{\pi}^{2\pi}|v({\omega}t)|d({{\omega}t}) \right)\\
\end{eqnarray}

半波整流波は\(\pi \leq {\omega}t \lt 2\pi\)の領域は\(0\)なので、上式は以下のようになります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}|v({\omega}t)|d({{\omega}t})
\end{eqnarray}

上式を計算すると、半波整流波の平均値\(V_{AVE}\)は、以下の値になります。

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}V_M\sin{{\omega}t}d({{\omega}t})\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{2\pi}V_M\left[-\cos{\omega}t \right]_{0}^{\pi}\\
\\
&=& \displaystyle\frac{V_M}{2\pi}\left(-\cos\pi + \cos0 \right)\\
\\
&=& \displaystyle\frac{1}{\pi}V_M
\end{eqnarray}

半波整流波の波形率

波形率は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
波形率 &=& \displaystyle\frac{実効値V_{RMS}}{平均値V_{AVE}}
\end{eqnarray}

半波整流波の実効値\(V_{RMS}\)と平均値\(V_{AVE}\)は求まっているので、この式に代入することで半波整流波の波形率を求めることができます。

\begin{eqnarray}
波形率 = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}V_M}{\displaystyle\frac{1}{\pi}V_M} = \displaystyle\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray}

半波整流波の最大値

正弦波の最大値\(V_{PEAK}\)は波形から分かるように、以下の値で表されます。

\begin{eqnarray}
最大値V_{PEAK}=V_M
\end{eqnarray}

半波整流波の波高率(クレストファクタ)

波高率(クレストファクタ)は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
波高率 &=& \displaystyle\frac{最大値V_{PEAK}}{実効値V_{RMS}}
\end{eqnarray}

半波整流波の実効値\(V_{RMS}\)と最大値\(V_{PEAK}\)は求まっているので、この式に代入することで半波整流波の波高率(クレストファクタ)を求めることができます。

半波整流波の波高率(クレストファクタ)は、以下の値で表されます。

\begin{eqnarray}
波高率 = \displaystyle\frac{V_M}{\displaystyle\frac{1}{2}V_M} = 2
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『半波整流波』について、以下の内容を説明しました。

• 実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

お読み頂きありがとうございました。

当サイトでは電気に関する様々な情報を記載しています。当サイトの全記事一覧は以下のボタンから移動することができます。

全記事一覧

また、記事下に当サイトの人気記事を記載しています。ご参考になれば幸いです。