LRローパスフィルタの『伝達関数』や『周波数特性』について

この記事では『LRローパスフィルタ』について

LRローパスフィルタとは
LRローパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』
LRローパスフィルタの『周波数特性』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LRローパスフィルタとは

上図にLRローパスフィルタの回路構成を示しています。

LRローパスフィルタは、コイル\(L\)と抵抗\(R\)のみで構成されているローパスフィルタです。入力電圧\(V_{IN}\)の低周波成分を通過させ、高周波成分を遮断します。

後ほど導出方法など詳細に説明しますが、LRローパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』の式と『周波数特性』をまとめると、下記のようになります。

LRローパスフィルタのまとめ

伝達関数\(G(j{\omega})\)

→入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比が伝達関数\(G(j{\omega})\)であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}=\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}}\tag{1-1}
\end{eqnarray}

ゲイン\(|G(j{\omega})|\)

→伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がゲイン\(|G(j{\omega})|\)であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}\right)^2}}\tag{1-2}
\end{eqnarray}

カットオフ周波数\(f_C\)

→ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる周波数がカットオフ周波数\(f_C\)であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
f_C=\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\frac{L}{R}}\tag{1-3}
\end{eqnarray}

位相\({\theta}\)

→入力電圧\(V_{IN}\)に対する出力電圧\(V_{OUT}\)の位相であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
{\theta}=-{\tan}^{-1}\left(\frac{{\omega}L}{R}\right)=-{\tan}^{-1}\left(\frac{2{\pi}fL}{R}\right)\tag{1-4}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)の周波数が高い場合、コイル\(L\)のインピーダンスが大きいので、出力電圧\(V_{OUT}\)が低くなる(すなわち、高周波成分を遮断する)ということは見当がつくと思います。

補足

ローパスフィルタは『低域通過フィルタ』や『ハイカットフィルタ』とも呼ばれています。

LRローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

LRローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出方法について説明します。

『コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)』と『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)』は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_L}&=&j{\omega}L\tag{2-1}\\
\\
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{2-2}
\end{eqnarray}

したがって、出力電圧\(V_{OUT}\)は入力電圧\(V_{IN}\)を\({\dot{Z}_L}\)と\({\dot{Z}_R}\)で分圧しているので、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}=\displaystyle\frac{{\dot{Z}_R}}{{\dot{Z}_L}+{\dot{Z}_R}}V_{IN}=\frac{R}{j{\omega}L+R}V_{IN}=\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}V_{IN}\tag{2-3}
\end{eqnarray}

LRローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-3)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

(2-4)式の分母には虚数単位\(j\)があります。ここで分子のみに虚数単位\(j\)がくるようにするために、分母と分子に『\(1-j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\)』を掛けます。すると(2-4)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}×\frac{1-j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}{1-j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}=\frac{1}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}-j\frac{\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がLRローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)となります。もう少し詳しく説明すると、LRローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)は(2-5)式において、『実部\(\left\{\displaystyle\frac{1}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}\right\}\)の2乗』と『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}\right\}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができます。そのため、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{\displaystyle\frac{1}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}\right\}^2+\left\{\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}{\left\{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{1}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

ここで、角周波数\({\omega}\)は\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があるので、(2-6)式の\({\omega}\)を\(2{\pi}f\)に書き換えると、次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}\right)^2}}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

なお、LRローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル表示にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)とすると、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}}{\mathrm{[dB]}}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}\right)^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

これで、LRローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出は終わりです。

『ラプラス演算子\(s=j{\omega}\)』と『LRローパスフィルタの時定数\({\tau}=\displaystyle\frac{L}{R}\)』を用いると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{1}{1+j\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}=\frac{1}{1+s{\tau}}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)を上式で表している資料もよく見かけます。なお、分母の『ラプラス演算子\(s\)』の次数が1次なので、1次ローパスフィルタとなります。

LRローパスフィルタの『カットオフ周波数』

カットオフ周波数\(f_C\)は、LRローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる周波数であり、次式となります。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{2}}&=&|G(j{\omega})|\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{2{\pi}f_CL}{R}\right)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{1+\left(\frac{2{\pi}f_CL}{R}\right)^2}&=&\sqrt{2}\\
\\
1+\left(\frac{2{\pi}f_CL}{R}\right)^2&=&2\\
\\
\left(\frac{2{\pi}f_CL}{R}\right)^2&=&1\\
\\
\frac{2{\pi}f_CL}{R}&=&1\\
\\
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\frac{L}{R}}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はLRローパスフィルタによって、カットオフ周波数\(f_C\)より低い成分の周波数はほとんど通過し、カットオフ周波数\(f_C\)より高い成分の周波数は減衰します。

LRローパスフィルタの『位相』

繰り返しになりますが、LRローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{1}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}-j\frac{\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

複素平面(横軸は実数の目盛、縦軸は虚数の目盛であり、ガウス平面とも呼ばれている)上に(4-1)式のベクトルを描くと上図のようになります。このベクトル図よりLRローパスフィルタの位相\({\theta}\)を求めることができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}}{\displaystyle\frac{1}{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}\right)^2}}\\
\\
&=&-\frac{{\omega}L}{R}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(-\frac{{\omega}L}{R}\right)\\
\\
&=&-{\tan}^{-1}\left(\frac{{\omega}L}{R}\right)\\
\\
&=&-{\tan}^{-1}\left(\frac{2{\pi}fL}{R}\right)\tag{4-2}
\end{eqnarray}

なお、カットオフ周波数\(f_C\)における位相\({\theta}_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&-{\tan}^{-1}\left(\frac{2{\pi}f_CL}{R}\right)\\
\\
&=&-{\tan}^{-1}\left(\frac{2{\pi}×\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\frac{L}{R}}×L}{R}\right)\\
\\
&=&-{\tan}^{-1}(1)\\
\\
&=&-0.7853{\cdots}{\mathrm{[rad]}}\tag{4-3}
\end{eqnarray}

上式の単位は[rad](ラジアン)なので、[rad]を[°(度)]に変換すると、次式に示すように－45°(度)となります。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&-{\tan}^{-1}(1)×\frac{180}{{\pi}}\\
\\
&=&-45{\mathrm{°}}\tag{4-4}
\end{eqnarray}

[rad]を[°(度)]に変換するためには、\(\displaystyle\frac{180}{{\pi}}\)を掛けます。

LRローパスフィルタの『周波数特性』

一例として、コイル\(L=1{\mathrm{[mH]}}\)、抵抗\(R=1{\mathrm{[Ω]}}\)のLRローパスフィルタにおいて、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)と位相\({\theta}\)の周波数特性を上図に示しています。

LRローパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\frac{L}{R}}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\frac{1×10^{-3}}{1}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

上図を見ると、カットオフ周波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)でゲイン\(|G(j{\omega})|\)が約－3dB、位相\({\theta}\)が－45°になっていることが確認できます。

また、周波数\(f\)が高くて『\(1{\;}{\ll}{\;}\left(\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}\right)^2\)』とみなせる場合、『1』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}\right)^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}\right)^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{\displaystyle\frac{2{\pi}fL}{R}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R}{2{\pi}fL}\tag{5-2}\\
\end{eqnarray}

上式より、周波数\(f\)が10倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/10になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{10}=-20{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、－20[dB/dec]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しています。

同様に、周波数fが2倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/2になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{2}=-6{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、－6[dB/oct]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しているとも言います。

周波数fが2倍になることをoct(オクターブ)、10倍になることをdec(ディケード)といいます。