CRハイパスフィルタの『伝達関数』や『周波数特性』について

この記事では『CRハイパスフィルタ』について

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

CRハイパスフィルタとは

上図にCRハイパスフィルタの回路構成を示しています。

CRハイパスフィルタは、コンデンサ\(C\)と抵抗\(R\)のみで構成されたハイパスフィルタです。入力電圧\(V_{IN}\)の高周波成分を通過させ、低周波成分を遮断します。

後ほど導出方法など詳細に説明しますが、CRハイパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』の式と『周波数特性』をまとめると、下記のようになります。

CRハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

CRハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出方法について説明します。

『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)』と『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)』は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_C}&=&\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2-1}\\
\\
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{2-2}
\end{eqnarray}

したがって、出力電圧\(V_{OUT}\)は入力電圧\(V_{IN}\)を\({\dot{Z}_C}\)と\({\dot{Z}_R}\)で分圧しているので、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}=\displaystyle\frac{{\dot{Z}_R}}{{\dot{Z}_C}+{\dot{Z}_R}}V_{IN}=\frac{R}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}+R}V_{IN}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}V_{IN}\tag{2-3}
\end{eqnarray}

CRハイパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-3)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

(2-4)式の分母には虚数単位\(j\)があります。ここで分子のみに虚数単位\(j\)がくるようにするために、分母と分子に『\(1-j{\omega}CR\)』を掛けます。すると(2-4)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}×\frac{1-j{\omega}CR}{1-j{\omega}CR}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}CR+({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\\
\\
&=&\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}+j\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がCRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)となります。もう少し詳しく説明すると、CRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)は(2-5)式において、『実部\(\left\{\displaystyle\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\right\}\)の2乗』と『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\right\}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができます。そのため、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\right\}^2+\left\{\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{({\omega}CR)^2\left\{1+({\omega}CR)^2\right\}}{\left\{1+({\omega}CR)^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}}\\
\\
&=&\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

ここで、角周波数\({\omega}\)は\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があるので、(2-6)式の\({\omega}\)を\(2{\pi}f\)に書き換えると、次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

なお、CRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル表示にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)とすると、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}{\mathrm{[dB]}}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

これで、CRハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出は終わりです。

CRハイパスフィルタの『カットオフ周波数』

カットオフ周波数\(f_C\)は、CRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる周波数であり、次式となります。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{2}}&=&|G(j{\omega})|\\
\\
&=&\frac{2{\pi}f_CCR}{\sqrt{1+(2{\pi}f_CCR)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{1+(2{\pi}f_CCR)^2}&=&\sqrt{2}×2{\pi}f_CCR\\
\\
1+(2{\pi}f_CCR)^2&=&2×(2{\pi}f_CCR)^2\\
\\
(2{\pi}f_CCR)^2&=&1\\
\\
2{\pi}f_CCR&=&1\\
\\
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はCRハイパスフィルタによって、カットオフ周波数\(f_C\)より高い成分の周波数はほとんど通過し、カットオフ周波数\(f_C\)より低い成分の周波数は減衰します。

CRハイパスフィルタの時定数\({\tau}\)は『\({\tau}=RC\)』なので、(3-1)式の\(RC\)を\({\tau}\)に置き換えると次式となります。

\begin{eqnarray}
f_C=\frac{1}{2{\pi}CR}=\frac{1}{2{\pi}{\tau}}\tag{3-2}
\end{eqnarray}

つまり、カットオフ周波数\(f_C\)は時定数\({\tau}\)に反比例します。抵抗の抵抗値\(R\)が大きいほど、コンデンサの静電容量\(C\)が大きいほど、カットオフ周波数\(f_C\)は低くなります。

CRハイパスフィルタの『位相』

繰り返しになりますが、CRハイパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}+j\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

複素平面(横軸は実数の目盛、縦軸は虚数の目盛であり、ガウス平面とも呼ばれている)上に(4-1)式のベクトルを描くと上図のようになります。このベクトル図よりCRハイパスフィルタの位相\({\theta}\)を求めることができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{\displaystyle\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}}{\displaystyle\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{{\omega}CR}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{{\omega}CR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}fCR}\right)\tag{4-2}
\end{eqnarray}

なお、カットオフ周波数\(f_C\)における位相\({\theta}_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}f_CCR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}×\displaystyle\frac{1}{2{\pi}CR}×CR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}(1)\\
\\
&=&0.7853{\cdots}{\mathrm{[rad]}}\tag{4-3}
\end{eqnarray}

上式の単位は[rad](ラジアン)なので、[rad]を[°(度)]に変換すると、次式に示すように45°(度)となります。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&{\tan}^{-1}(1)×\frac{180}{{\pi}}\\
\\
&=&45{\mathrm{°}}\tag{4-4}
\end{eqnarray}

CRハイパスフィルタの『周波数特性』

一例として、コンデンサ\(C=1{\mathrm{[μF]}}\)、抵抗\(R=1{\mathrm{[kΩ]}}\)のCRハイパスフィルタにおいて、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)と位相\({\theta}\)の周波数特性を上図に示しています。

CRハイパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}×1×10^{-6}×1×10^{3}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

上図を見ると、カットオフ周波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)でゲイン\(|G(j{\omega})|\)が約－3dB、位相\({\theta}\)が45°になっていることが確認できます。

また、周波数\(f\)が低くて『\(1{\;}{\ll}{\;}\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}\)』とみなせる場合、『1』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}+1}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}}}\\
\\
&{\approx}&2{\pi}fCR\tag{5-2}\\
\end{eqnarray}

上式より、周波数\(f\)が10倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が10倍になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}10=20{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が低い領域では、20[dB/dec]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加しています。

同様に、周波数fが2倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が2倍になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}2=6{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が低い領域では、6[dB/oct]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加しているとも言います。

CRハイパスフィルタの『周波数特性』をLTspiceで描く方法

『周波数特性』をLTspiceで描くためには『.ac解析』を用います。

上図にLTspiceで描いたCRハイパスフィルタを示しています(\(C=1{\mathrm{[μF]}}\)、\(R=1{\mathrm{[kΩ]}}\))。

VOUT端子の電圧をプロットすることで、周波数特性を出力することができるようになります。

まとめ

この記事では『CRハイパスフィルタ』について、以下の内容を説明しました。

お読み頂きありがとうございました。

当サイトでは電気に関する様々な情報を記載しています。当サイトの全記事一覧は以下のボタンから移動することができます。

全記事一覧

また、下記に当サイトの人気記事を記載しています。ご参考になれば幸いです。