CRハむパスフィルタの『䌝達関数』や『呚波数特性』に぀いお

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この蚘事では『CRハむパスフィルタ』に぀いお

  • CRハむパスフィルタずは
  • CRハむパスフィルタの『䌝達関数』,『ゲむン』,『カットオフ呚波数』,『䜍盞』
  • CRハむパスフィルタの『呚波数特性』

などを図を甚いお分かりやすく説明するように心掛けおいたす。ご参考になれば幞いです。

CRハむパスフィルタずは

CRハむパスフィルタずは

䞊図にCRハむパスフィルタの回路構成を瀺しおいたす。

CRハむパスフィルタは、コンデンサ\(C\)ず抵抗\(R\)のみで構成されたハむパスフィルタです。入力電圧\(V_{IN}\)の高呚波成分を通過させ、䜎呚波成分を遮断したす。

埌ほど導出方法など詳现に説明したすが、CRハむパスフィルタの『䌝達関数』,『ゲむン』,『カットオフ呚波数』,『䜍盞』の匏ず『呚波数特性』をたずめるず、䞋蚘のようになりたす。

CRハむパスフィルタのたずめ

CRハむパスフィルタのたずめ

  • 䌝達関数\(G(j{\omega})\)
  • →入力電圧\(V_{IN}\)ず出力電圧\(V_{OUT}\)の比が䌝達関数\(G(j{\omega})\)であり、次匏ずなる。
    \begin{eqnarray}
    G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}=\frac{j2{\pi}fCR}{1+j2{\pi}fCR}\tag{1-1}
    \end{eqnarray}

  • ゲむン\(|G(j{\omega})|\)
  • →䌝達関数\(G(j{\omega})\)の絶察倀がゲむン\(|G(j{\omega})|\)であり、次匏ずなる。
    \begin{eqnarray}
    |G(j{\omega})|=\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}=\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\tag{1-2}
    \end{eqnarray}

  • カットオフ呚波数\(f_C\)
  • →ゲむン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる呚波数がカットオフ呚波数\(f_C\)であり、次匏ずなる。
    \begin{eqnarray}
    f_C=\frac{1}{2{\pi}CR}\tag{1-3}
    \end{eqnarray}

  • 䜍盞\({\theta}\)
  • →入力電圧\(V_{IN}\)に察する出力電圧\(V_{OUT}\)の䜍盞であり、次匏ずなる。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}={\tan}^{-1}\left(\frac{1}{{\omega}CR}\right)={\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}fCR}\right)\tag{1-4}
    \end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)の呚波数が䜎い堎合、コンデンサ\(C\)のむンピヌダンスが倧きいので、出力電圧\(V_{OUT}\)が䜎くなる(すなわち、䜎呚波成分を遮断する)ずいうこずは芋圓が぀くず思いたす。

補足

  • ハむパスフィルタは『高域通過フィルタ』や『ロヌカットフィルタ』ずも呌ばれおいたす。

CRハむパスフィルタの『䌝達関数』ず『ゲむン』

CRハむパスフィルタの『䌝達関数』ず『ゲむン』

CRハむパスフィルタの『䌝達関数』ず『ゲむン』の導出方法に぀いお説明したす。

『コンデンサ\(C\)のむンピヌダンス\({\dot{Z}_C}\)』ず『抵抗\(R\)のむンピヌダンス\({\dot{Z}_R}\)』は次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_C}&=&\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2-1}\\
\\
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{2-2}
\end{eqnarray}

したがっお、出力電圧\(V_{OUT}\)は入力電圧\(V_{IN}\)を\({\dot{Z}_C}\)ず\({\dot{Z}_R}\)で分圧しおいるので、次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}=\displaystyle\frac{{\dot{Z}_R}}{{\dot{Z}_C}+{\dot{Z}_R}}V_{IN}=\frac{R}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}+R}V_{IN}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}V_{IN}\tag{2-3}
\end{eqnarray}

CRハむパスフィルタの䌝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)ず出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-3)匏を倉圢するず、䌝達関数\(G(j{\omega})\)は次匏で衚すこずができたす。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

(2-4)匏の分母には虚数単䜍\(j\)がありたす。ここで分子のみに虚数単䜍\(j\)がくるようにするために、分母ず分子に『\(1-j{\omega}CR\)』を掛けたす。するず(2-4)匏は次匏に倉圢するこずができたす。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}×\frac{1-j{\omega}CR}{1-j{\omega}CR}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}CR+({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\\
\\
&=&\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}+j\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

䌝達関数\(G(j{\omega})\)の絶察倀がCRハむパスフィルタのゲむン\(|G(j{\omega})|\)ずなりたす。もう少し詳しく説明するず、CRハむパスフィルタのゲむン\(|G(j{\omega})|\)は(2-5)匏においお、『実郚\(\left\{\displaystyle\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\right\}\)の2乗』ず『虚郚\(\left\{\displaystyle\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\right\}\)の2乗』を足しお、平方根を取るこずで求めるこずができたす。そのため、ゲむン\(|G(j{\omega})|\)は次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\right\}^2+\left\{\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{({\omega}CR)^2\left\{1+({\omega}CR)^2\right\}}{\left\{1+({\omega}CR)^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}}\\
\\
&=&\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

ここで、角呚波数\({\omega}\)は\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があるので、(2-6)匏の\({\omega}\)を\(2{\pi}f\)に曞き換えるず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

なお、CRハむパスフィルタのゲむン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル衚瀺にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)ずするず、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}{\mathrm{[dB]}}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

これで、CRハむパスフィルタの『䌝達関数』ず『ゲむン』の導出は終わりです。

『ラプラス挔算子\(s=j{\omega}\)』ず『CRハむパスフィルタの時定数\({\tau}=RC\)』を甚いるず、䌝達関数\(G(j{\omega})\)は次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}=\frac{s{\tau}}{1+s{\tau}}
\end{eqnarray}

䌝達関数\(G(j{\omega})\)を䞊匏で衚しおいる資料もよく芋かけたす。

あわせお読みたい

(2-8)匏に瀺すように、ゲむン\(|G(j{\omega})|\)をデシベルで衚す堎合には、ゲむンの垞甚察数(\({\log}_{10}\))を20倍したす。デシベルに぀いお詳しくは䞋蚘の蚘事で説明しおいたすので、ご参考になれば幞いです。

電圧や電力の『デシベル(dB)』ずは蚈算方法や倉換方法に぀いお
電圧や電力の『デシベル(dB)』ずは蚈算方法や倉換方法に぀いお

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CRハむパスフィルタの『カットオフ呚波数』

CRハむパスフィルタの『カットオフ呚波数』

カットオフ呚波数\(f_C\)は、CRハむパスフィルタのゲむン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる呚波数であり、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{2}}&=&|G(j{\omega})|\\
\\
&=&\frac{2{\pi}f_CCR}{\sqrt{1+(2{\pi}f_CCR)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{1+(2{\pi}f_CCR)^2}&=&\sqrt{2}×2{\pi}f_CCR\\
\\
1+(2{\pi}f_CCR)^2&=&2×(2{\pi}f_CCR)^2\\
\\
(2{\pi}f_CCR)^2&=&1\\
\\
2{\pi}f_CCR&=&1\\
\\
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はCRハむパスフィルタによっお、カットオフ呚波数\(f_C\)より高い成分の呚波数はほずんど通過し、カットオフ呚波数\(f_C\)より䜎い成分の呚波数は枛衰したす。

あわせお読みたい

『カットオフ呚波数っお䜕』『䜕でゲむン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる呚波数がカットオフ呚波数なの』ずいう方は䞋蚘の蚘事が圹に立぀ず思いたすので、ご参考にしおください。

『カットオフ呚波数(遮断呚波数)』ずは【フィルタ回路】
『カットオフ呚波数(遮断呚波数)』ずは【フィルタ回路】

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CRハむパスフィルタの時定数\({\tau}\)は『\({\tau}=RC\)』なので、(3-1)匏の\(RC\)を\({\tau}\)に眮き換えるず次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
f_C=\frac{1}{2{\pi}CR}=\frac{1}{2{\pi}{\tau}}\tag{3-2}
\end{eqnarray}

぀たり、カットオフ呚波数\(f_C\)は時定数\({\tau}\)に反比䟋したす。抵抗の抵抗倀\(R\)が倧きいほど、コンデンサの静電容量\(C\)が倧きいほど、カットオフ呚波数\(f_C\)は䜎くなりたす。

補足

  • CRハむパスフィルタのゲむン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる時は、デシベル単䜍で衚すず次匏に瀺すように玄3dBずなりたす。

    \begin{eqnarray}
    G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}\frac{1}{\sqrt{2}}\\
    \\
    &=&-3.01029{\cdots}{\mathrm{[dB]}}\\
    \\
    &{\approx}&-3{\mathrm{[dB]}}
    \end{eqnarray}

  • カットオフ呚波数は『遮断呚波数』ずも呌ばれおいたす。

『カットオフ角呚波数』に぀いお

カットオフ角呚波数\({\omega}_C\)は次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
{\omega}_C=\frac{1}{CR}
\end{eqnarray}

䞊匏を甚いるず、䌝達関数\(G(j{\omega})\)ずゲむン\(|G(j{\omega})|\)は次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}=\frac{j\displaystyle\frac{{\omega}}{{\omega}_C}}{1+j\displaystyle\frac{{\omega}}{{\omega}_C}}\\
\\
|G(j{\omega})|&=&\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}=\frac{\displaystyle\frac{{\omega}}{{\omega}_C}}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}}{{\omega}_C}\right)^2}}
\end{eqnarray}

䌝達関数\(G(j{\omega})\)ずゲむン\(|G(j{\omega})|\)を䞊匏で衚しおいる資料もよく芋かけたす。

CRハむパスフィルタの『䜍盞』

CRハむパスフィルタの『䜍盞』

繰り返しになりたすが、CRハむパスフィルタの䌝達関数\(G(j{\omega})\)は次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}+j\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

耇玠平面(暪軞は実数の目盛、瞊軞は虚数の目盛であり、ガりス平面ずも呌ばれおいる)䞊に(4-1)匏のベクトルを描くず䞊図のようになりたす。このベクトル図よりCRハむパスフィルタの䜍盞\({\theta}\)を求めるこずができ、次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{\displaystyle\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}}{\displaystyle\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{{\omega}CR}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{{\omega}CR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}fCR}\right)\tag{4-2}
\end{eqnarray}

なお、カットオフ呚波数\(f_C\)における䜍盞\({\theta}_C\)は以䞋の倀ずなりたす。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}f_CCR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}×\displaystyle\frac{1}{2{\pi}CR}×CR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}(1)\\
\\
&=&0.7853{\cdots}{\mathrm{[rad]}}\tag{4-3}
\end{eqnarray}

䞊匏の単䜍は[rad](ラゞアン)なので、[rad]を[°(床)]に倉換するず、次匏に瀺すように45°(床)ずなりたす。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&{\tan}^{-1}(1)×\frac{180}{{\pi}}\\
\\
&=&45{\mathrm{°}}\tag{4-4}
\end{eqnarray}

[rad]を[°(床)]に倉換するためには、\(\displaystyle\frac{180}{{\pi}}\)を掛けたす。

CRハむパスフィルタの『呚波数特性』

CRハむパスフィルタの『呚波数特性』

䞀䟋ずしお、コンデンサ\(C=1{\mathrm{[ÎŒF]}}\)、抵抗\(R=1{\mathrm{[kΩ]}}\)のCRハむパスフィルタにおいお、ゲむン\(|G(j{\omega})|\)ず䜍盞\({\theta}\)の呚波数特性を䞊図に瀺しおいたす。

CRハむパスフィルタのカットオフ呚波数\(f_C\)は以䞋の倀ずなりたす。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}×1×10^{-6}×1×10^{3}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

䞊図を芋るず、カットオフ呚波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)でゲむン\(|G(j{\omega})|\)が玄3dB、䜍盞\({\theta}\)が45°になっおいるこずが確認できたす。

たた、呚波数\(f\)が䜎くお『\(1{\;}{\ll}{\;}\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}\)』ずみなせる堎合、『1』を無芖するず、ゲむン\(|G(j{\omega})|\)は次匏で衚すこずができたす。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}+1}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}}}\\
\\
&{\approx}&2{\pi}fCR\tag{5-2}\\
\end{eqnarray}

䞊匏より、呚波数\(f\)が10倍になるず、ゲむン\(|G(j{\omega})|\)が10倍になりたす(デシベル衚蚘では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}10=20{\mathrm{[dB]}}\)』ずなりたす)。぀たり、呚波数が䜎い領域では、20[dB/dec]の傟きでゲむン\(|G(j{\omega})|\)が増加しおいたす。

同様に、呚波数fが2倍になるず、ゲむン\(|G(j{\omega})|\)が2倍になりたす(デシベル衚蚘では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}2=6{\mathrm{[dB]}}\)』ずなりたす)。぀たり、呚波数が䜎い領域では、6[dB/oct]の傟きでゲむン\(|G(j{\omega})|\)が増加しおいるずも蚀いたす。

呚波数fが2倍になるこずをoct(オクタヌブ)、10倍になるこずをdec(ディケヌド)ずいいたす。

CRハむパスフィルタの『呚波数特性』をLTspiceで描く方法

CRハむパスフィルタの『呚波数特性』をLTspiceで描く方法

『呚波数特性』をLTspiceで描くためには『.ac解析』を甚いたす。

䞊図にLTspiceで描いたCRハむパスフィルタを瀺しおいたす(\(C=1{\mathrm{[ÎŒF]}}\)、\(R=1{\mathrm{[kΩ]}}\))。

VOUT端子の電圧をプロットするこずで、呚波数特性を出力するこずができるようになりたす。

『.ac dec 100 1 10k』は『信号源(ここでは入力電圧\(V_{IN}\))の呚波数を1Hz10kHzに倉化させる。この時、1ディケヌド(10倍)圓たりのステップ数を100ずする。』ずいう意味です。

LTspiceでのAC解析の方法は䞋蚘の蚘事で説明しおいたすので、ご参考にしおください。

【LTspice】呚波数特性を芳枬する『.ac解析』の䜿い方ず応甚
【LTspice】呚波数特性を芳枬する『.ac解析』の䜿い方ず応甚

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たずめ

この蚘事では『CRハむパスフィルタ』に぀いお、以䞋の内容を説明したした。

  • CRハむパスフィルタずは
  • CRハむパスフィルタの『䌝達関数』,『ゲむン』,『カットオフ呚波数』,『䜍盞』
  • CRハむパスフィルタの『呚波数特性』

お読み頂きありがずうございたした。

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