RC並列回路の『アドミタンス』について！計算方法や求め方を解説！

この記事ではRC並列回路の『アドミタンス』について

RC並列回路の『アドミタンス』の式・大きさ・ベクトル図・アドミタンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RC並列回路の『アドミタンス』

RC並列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(2)式において、\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

RC並列回路の『アドミタンス』の大きさ

先ほど次式で表されるアドミタンス\({\dot{Y}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}=\frac{1}{R}+j{\omega}C{\mathrm{[S]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

RC並列回路のアドミタンスの大きさ\(Y\)は(7)式のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、アドミタンスの大きさ\(Y\)は(7)式において、『実部\(\displaystyle\frac{1}{R}\)の2乗』と『虚部\({\omega}C\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Y&=&|{\dot{Y}}|\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}\\
\\
&=&\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{1+{\omega}^2C^2R^2}{R^2}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt{1+{\omega}^2C^2R^2}}{R}\tag{8}
\end{eqnarray}

以上より、RC並列回路のアドミタンスの大きさ\(Y\)は次式となります。

RC並列回路のアドミタンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Y=|{\dot{Y}}|=\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt{1+{\omega}^2C^2R^2}}{R}{\mathrm{[S]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

アドミタンスに付いている「ドット」の意味

アドミタンス(Y)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Y}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Y}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Y}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Y\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 【交流回路とベクトル】インピーダンスなどにつく「・(ドット)」の意味！
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RC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図

RC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}}_R\)のベクトルを描く
コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}}_C\)のベクトルを描く
各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)のベクトルを描く

抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_R}=\frac{1}{R}\tag{10}
\end{eqnarray}

そのため、抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)のベクトル方向は実軸の向きとなります。式に虚数単位\(j\)が付かない場合はベクトルは回転せず、実軸の向きとなります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_R\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_R=|{\dot{Y}_R}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2}=\frac{1}{R}\tag{11}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルを描く

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C\tag{12}
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(+j\)』が付くとベクトルが反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_C=|{\dot{Y}_C}|=\displaystyle\sqrt{\left({\omega}C\right)^2}={\omega}C=\frac{1}{X_C}\tag{13}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)』と『コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)』のベクトルの合成が RC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル図となります。

繰り返しになりますが、RC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)とその大きさ\(Y\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&\frac{1}{R}+j{\omega}C\tag{14}\\
\\
Y&=&\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}\tag{15}
\end{eqnarray}

RC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y=\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時
- ベクトルは反時計周りに90°回転します。
『\(-j\)』が付いている時
- ベクトルは時計周りに90°回転します。

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C\tag{16}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)の式には『\(+j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Y}_C}\)の向きは実軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

RC並列回路の『アドミタンス角』

ベクトル図よりRC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)を求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{{\omega}C}{\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
&=&{\omega}CR\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left({\omega}CR\right)\tag{17}
\end{eqnarray}

以上より、RC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は次式となります。

RC並列回路のアドミタンス角

\begin{eqnarray}
{\theta}={\tan}^{-1}\left({\omega}CR\right)\tag{18}
\end{eqnarray}

このアドミタンス角\({\theta}\)は「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相差と等しくなります。もう少し具体的に言うと、「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」に対する「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」の位相となります。

アドミタンス\({\dot{Z}}\)は「電圧\({\dot{V}}\)と電流\({\dot{I}}\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}=\frac{{\dot{I}}}{{\dot{V}}}=\frac{1}{R}+j{\omega}C\tag{19}
\end{eqnarray}

したがって、「RC並列回路にかかる電圧\({\dot{V}}\)」と「RC並列回路に流れる電流\({\dot{I}}\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\dot{V}}&=&\frac{{\dot{I}}}{{\dot{Y}}}=\displaystyle\frac{{\dot{I}}}{\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C}\tag{20}\\
\\
{\dot{I}}&=&{\dot{V}}{\dot{Y}}=\left(\displaystyle\frac{1}{R}+j{\omega}C\right){\dot{V}}\tag{21}
\end{eqnarray}

また、アドミタンスの大きさ\(Y\)は「電圧の大きさ\(V\)と電流の大きさ\(I\)の比」であり次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Y=|{\dot{Y}}|=\frac{I}{V}=\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}\tag{22}
\end{eqnarray}

したがって、「RC並列回路にかかる電圧の大きさ\(V\)」と「RC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V&=&\frac{I}{Y}=\displaystyle\frac{I}{\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}}\tag{23}\\
\\
I&=&{V}{Y}=V\displaystyle\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C\right)^2}\tag{24}
\end{eqnarray}