【RLC並列回路のアドミタンス】計算方法やベクトル図を解説!

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この記事ではRLC並列回路の『アドミタンス』について

  • RLC並列回路の『アドミタンス』の式・大きさ・ベクトル図・アドミタンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RLC並列回路の『アドミタンス』

RLC並列回路の『アドミタンス』

RLC並列回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とコイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\\
\\
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_L\left(={\omega}L\right)\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

また、アドミタンスはインピーダンスの逆数なので、抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_R}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}=\frac{1}{R}\\
\\
{\dot{Y}_L}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_L}}=\frac{1}{j{\omega}L}=-j\frac{1}{{\omega}L}\\
\\
{\dot{Y}_C}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_C}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}=j{\omega}C
\end{eqnarray}

RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)はそれぞれのインピーダンスを足したものなので次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&{\dot{Y}_R}+{\dot{Y}_L}+{\dot{Y}_C}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{j{\omega}L}+j{\omega}C\\
\\
&=&\frac{1}{R}-j\frac{1}{{\omega}L}+j{\omega}C\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)\\
\end{eqnarray}

以上より、RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)は次式となります。

RLC並列回路のアドミタンス

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&\frac{1}{R}+j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right){\mathrm{[S]}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right){\mathrm{[S]}}\\
\end{eqnarray}

RLC並列回路の『アドミタンス』の大きさ

RLC並列回路の『アドミタンス』の大きさ

RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&\frac{1}{R}+j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right){\mathrm{[S]}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right){\mathrm{[S]}}\\
\end{eqnarray}

RLC並列回路のアドミタンスの大きさ\(Y\)は上式のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の絶対値となります。もう少し詳しく説明すると、アドミタンスの大きさ\(Y\)は上式において、『実部\(\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)\)の2乗』と『虚部\(\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Y&=&|{\dot{Y}}|\\
\\
&=&\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)^2}\\
\\
&=&\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2×{\omega}^2L^2R^2+\left({\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2×{\omega}^2L^2R^2}{{\omega}^2L^2R^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{{\omega}^2L^2+\left({\omega}^2LC-1\right)^2×R^2}{{\omega}^2L^2R^2}}\\
\\
&=&\frac{\sqrt{{\omega}^2L^2+R^2\left({\omega}^2LC-1\right)^2}}{{\omega}LR}
\end{eqnarray}

以上より、RLC並列回路のアドミタンスの大きさ\(Y\)は次式となります。

RLC並列回路のアドミタンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Y&=&|{\dot{Y}}|\\
\\
&=&\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)^2}{\mathrm{[S]}}\\
\\
&=&\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}{\mathrm{[S]}}\\
\\
&=&\frac{\sqrt{{\omega}^2L^2+R^2\left({\omega}^2LC-1\right)^2}}{{\omega}LR}{\mathrm{[S]}}
\end{eqnarray}

アドミタンスに付いている「ドット」の意味

アドミタンス\(Y\)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Y}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Y}}\)は「ベクトルですよ!」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Y}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Y\)など)はベクトルの絶対値(大きさ,長さ)を表しています。

RLC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図

RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

  1. 抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)のベクトルを描く
  2. コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトルを描く
  3. コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルを描く
  4. 各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)のベクトルを描く

RLC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図の描き方01

抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_R}=\frac{1}{R}
\end{eqnarray}

そのため、抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)のベクトル方向は実軸の向きとなります。式に虚数単位\(j\)が付かない場合はベクトルは回転せず、実軸の向きとなります。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

また、抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_R\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_R=|{\dot{Y}_R}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2}=\frac{1}{R}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトルを描く

RLC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図の描き方02

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_L}=-j\frac{1}{{\omega}L}
\end{eqnarray}

そのため、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトル方向は実軸を時計周りに90°回転した向きになります(『\(-j\)』が付くと時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

また、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_L=|{\dot{Y}_L}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}=\frac{1}{{\omega}L}=\frac{1}{X_L}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルを描く

RLC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図の描き方03

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります(『\(+j\)』が付くと反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きについては後ほど詳しく説明します。

また、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_C=|{\dot{Y}_C}|=\displaystyle\sqrt{\left({\omega}C\right)^2}={\omega}C=\frac{1}{X_C}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

RLC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図の描き方04

『抵抗\(R\)のアドミタンス\({\dot{Y}_R}\)』と『コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)』と『コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)』のベクトルの合成が RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル図となります。

繰り返しになりますが、RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)とその大きさ\(Y\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&\frac{1}{R}+j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right){\mathrm{[S]}}\\
\\
Y&=&\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}{\mathrm{[S]}}
\end{eqnarray}

RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により向きが異なります。

  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L=X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}{\;}{\gt}{\;}\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L{\;}{\lt}{\;}Y_C\\
\end{eqnarray}

『コイル\(L\)のアドミタンスの大きさ\(Y_L\)』の方が『コンデンサ\(C\)のアドミタンスの大きさ\(Y_C\)』よりも小さいため、RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向は右上向きになります。

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}{\;}{\lt}{\;}\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L{\;}{\gt}{\;}Y_C\\
\end{eqnarray}

『コイル\(L\)のアドミタンスの大きさ\(Y_L\)』の方が『コンデンサ\(C\)のアドミタンスの大きさ\(Y_C\)』よりも大きいため、RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向は右下向きになります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L=X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}=\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L=Y_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_C-Y_L=0\\
\end{eqnarray}

この時、RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&\frac{1}{R}+j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(Y_C-Y_L\right)\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(0\right)\\
\\
&=&\frac{1}{R}
\end{eqnarray}

上式には虚数単位\(j\)が付いていないため、ベクトルは回転しません。そのため、アドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトルの方向は右向きになります。

RLC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}\)はベクトル図において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いても求めることができます。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きについて(RLC並列回路のアドミタンス)

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

  • \(+j\)』が付いている時
  • ベクトルは反時計周りに90°回転します。

  • \(-j\)』が付いている時
  • ベクトルは時計周りに90°回転します。

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)の式には『\(+j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Y}_C}\)の向きは実軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_L}=-j\frac{1}{{\omega}L}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Y}_L}\)の向きは実軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

RLC並列回路の『アドミタンス角』

RLC並列回路のアドミタンス角

ベクトル図よりRLC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)を求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\displaystyle\frac{{\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}}{\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
&=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}}{\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\displaystyle\frac{{\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}}{\displaystyle\frac{1}{R}}\right)\\
\\
\\&=&{\tan}^{-1}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}}{\displaystyle\frac{1}{R}}\right)
\end{eqnarray}

以上より、RLC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は次式となります。

RLC並列回路のアドミタンス角

\begin{eqnarray}
{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\displaystyle\frac{{\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}}{\displaystyle\frac{1}{R}}\right)\\
\\
\\&=&{\tan}^{-1}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}}{\displaystyle\frac{1}{R}}\right)
\end{eqnarray}

なお、RLC並列回路のインピーダンス角\({\theta}\)は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により『正(プラス)』になるか?『負(マイナス)』になるか?が決まります。

  • \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
  • \(X_L=X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}{\;}{\gt}{\;}0
\end{eqnarray}

したがって、RLC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は『正(プラス)』になります。

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}{\;}{\lt}{\;}0
\end{eqnarray}

したがって、RLC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は『負(マイナス)』になります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L=X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}=0
\end{eqnarray}

この場合、RLC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は『\({\theta}=0{\mathrm{[rad]}}\)』になります。

まとめ

この記事ではRLC並列回路の『アドミタンス』について、以下の内容を説明しました。

  • RLC並列回路の『アドミタンス』の式・大きさ・ベクトル図・アドミタンス角

お読み頂きありがとうございました。

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