ノートンの定理の『証明』を分かりやすく解説!

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ノートンの定理は「テブナンの定理」と「電圧源と電流源の変換式」を用いれば、証明することができます。

この記事では、ノートンの定理の証明方法について、図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

ノートンの定理の証明

ノートンの定理の証明

まず、ノートンの定理について少し説明します。

ノートンの定理は、上図に示すような「複数の電源で構成されている回路(図1)」を「電流源\(I_O\)とコンダクタンス\(G_O\)が並列接続されている等価回路(図2)」に変換することができる定理です。この時、抵抗\(R\)にかかる電圧\(V\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
V=\frac{I_O}{G_O+G}\tag{1}
\end{eqnarray}

上式において、\(G_O\)は端子A-B間を開放した時の合成コンダクタンス、\(I_O\)は端子A-B間を短絡した時に流れる短絡電流、\(G\)は抵抗\(R\)のコンダクタンスを表しています。

この記事では「テブナンの定理」と「電圧源と電流源の変換式」を用いて、ノートンの定理を証明します。

下記の手順によりノートンの定理を証明することができます。

ノートンの定理の証明

  1. 「テブナンの定理」を用いて、「電圧源\(V_O\)と抵抗\(R_O\)の等価回路」に変換する
  2. 「電圧源と電流源の変換式」を用いて、電圧源\(V_O\)を電流源\(I_O\)に変換する

次に各手順について順番に説明します。

合わせて読みたい

ノートンの定理』についてもう少し詳しく知りたい!という方は下記の記事で詳しく説明していますので、ご参考にしてください。

ノートンの定理とは?分かりやすく説明します!
ノートンの定理の例題

「テブナンの定理」を用いて、「電圧源\(V_O\)と抵抗\(R_O\)の等価回路」に変換する

ノートンの定理の証明01

「テブナンの定理」を用いると、「複数の電源で構成されている回路(図1)」を「電圧源\(V_O\)と抵抗\(R_O\)が直列接続されている等価回路(図3)」に変換することができます。

この時、抵抗\(R\)に流れる電流\(I\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V_O}{R_O+R}\tag{2}
\end{eqnarray}

上式において、\(R_O\)は端子A-B間を開放した時の合成抵抗、\(V_O\)は端子A-B間を開放した時の開放電圧、\(R\)は抵抗\(R\)の抵抗値を表しています。

テブナンの定理と証明方法については、下記の記事で詳しく説明しています。興味のある方は下記のリンクからぜひチェックをしてみてください。

テブナンの定理とは
テブナンの定理の証明方法

「電圧源と電流源の変換式」を用いて、電圧源\(V_O\)を電流源\(I_O\)に変換する

ノートンの定理の証明02

電圧源\(V_O\)と抵抗\(R_O\)が直列接続されている等価回路(図3)」は「電流源\(I_O\)とコンダクタンス\(G_O\)が並列接続されている等価回路(図2)」に変換することができます。

この時、「電圧源\(V_O\)と電流源\(I_O\)が等価になる条件」は次式となります。

電圧源と電流源が等価になる条件

\begin{eqnarray}
I_O=\frac{V_O}{R_O}\tag{3}
\end{eqnarray}

また、「抵抗\(R_O\)のコンダクタンス\(G_O\)」と「抵抗\(R\)のコンダクタンス\(G\)」は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G_O=\frac{1}{R_O}\tag{4}\\
\\
G=\frac{1}{R}\tag{5}
\end{eqnarray}

(4)式を(3)式に代入すると、電流源\(I_O\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
I_O=\frac{V_O}{R_O}=V_OG_O\tag{6}
\end{eqnarray}

(4)式~(6)式を用いると、(2)式で表される抵抗\(R\)に流れる電流\(I\)は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V_O}{R_O+R}=\frac{\displaystyle\frac{I_O}{G_O}}{\displaystyle\frac{1}{G_O}+\displaystyle\frac{1}{G}}=\frac{G×I_O}{G+G_O}\tag{7}
\end{eqnarray}

したがって、抵抗\(R\)にかかる電圧\(V\)はオームの法則より次式となります。

\begin{eqnarray}
V&=&R×I\\
\\
&=&\frac{1}{G}×I\\
\\
&=&\frac{1}{G}×\frac{G×I_O}{G+G_O}\\
\\
&=&\frac{I_O}{G_O+G}\tag{8}
\end{eqnarray}

(8)式と(1)式は等しくなります。このように、「テブナンの定理」と「電圧源と電流源の変換式」を用いることで、ノートンの定理を証明することができます。

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電圧源と電流源の変換式\(\left(I_O=\displaystyle\frac{V_O}{R_O}\right)\)」については下記の記事で詳しく説明しています。興味のある方は下記のリンクからぜひチェックをしてみてください。

電圧源と電流源の『違い』と『変換方法』について!
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まとめ

この記事では『ノートンの定理の証明方法』について説明しました。

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