テブナンの定理は「重ね合わせの定理」を用いれば、証明することができます。
この記事では、テブナンの定理の証明方法について、図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。
テブナンの定理の証明
まず、テブナンの定理について少し説明します。
テブナンの定理は、上図に示すような「複数の電源で構成されている回路(図1)」を「電圧源\(V_O\)と抵抗\(R_O\)が直列接続されている等価回路(図2)」に変換することができる定理です。この時、抵抗\(R\)に流れる電流\(I\)は次式で求めることができます。
I=\frac{V_O}{R_O+R}\tag{1}
\end{eqnarray}
上式において、\(R_O\)は端子A-B間を開放した時の合成抵抗、\(V_O\)は端子A-B間を開放した時の開放電圧、\(R\)は抵抗\(R\)の抵抗値を表しています。
この記事では「重ね合わせの定理」を用いて、テブナンの定理を証明します。
下記の手順によりテブナンの定理を証明することができます。
テブナンの定理の証明
- 電圧源\(V_O\)を抵抗\(R\)と直列に接続する
- 「重ね合わせの定理」を用いて回路を分離する
次に各手順について順番に説明します。
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『テブナンの定理』についてもう少し詳しく知りたい！という方は下記の記事で詳しく説明していますので、ご参考にしてください。
電圧源\(V_O\)を抵抗\(R\)と直列に接続する
上図に示すような「複数の電源で構成されている回路」に抵抗\(R\)が接続されている回路において、電圧源\(V_O\)を抵抗\(R\)と直列に接続します。
この時、抵抗\(R\)に流れる電流\(I_1\)が
\begin{eqnarray}
I_1=0\tag{2}
\end{eqnarray}
であるとします。
「重ね合わせの定理」を用いて回路を分離する
図3の回路は上図に示すように「重ね合わせの定理」により、2つの回路に分離することができます。
上図の左側の回路(図4)は、複数の電源で構成されている回路内部の電圧源を短絡、電流源を開放した場合です。端子A-B間から「複数の電源で構成されている回路」を見た時の抵抗値を\(R_O\)とします。
この時、抵抗\(R\)に流れる電流\(I_2\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_2=-\frac{V_O}{R_O+R}\tag{3}
\end{eqnarray}
上図の右側の回路(図5)は、抵抗\(R\)と直列に接続している電圧源\(V_O\)のみを短絡した場合です。この時、抵抗\(R\)に流れる電流を\(I\)とします。なお、この回路は図1と等しくなります。
「重ね合わせの定理」より、電流\(I_1\)は電流\(I_2\)と電流\(I\)を重ね合わせたものとなります。すなわち、電流\(I_1\)は次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
I_1=I_2+I\tag{4}
\end{eqnarray}
(4)式を変形すると、抵抗\(R\)に流れる電流\(I\)は次式となります。
I=I_1-I_2=0-\left(-\frac{V_O}{R_O+R}\right)=\frac{V_O}{R_O+R}\tag{5}
\end{eqnarray}
(5)式と(1)式は等しくなります。このように、「重ね合わせの定理」を用いることで、テブナンの定理を証明することができます。
【テブナンの定理の補足】等価回路に変換することができる
抵抗\(R\)に流れる電流\(I\)はテブナンの定理より次式で表されます。
I=\frac{V_O}{R_O+R}\tag{6}
\end{eqnarray}
上式より、複数の電源で構成されている回路(図1)は「電圧源\(V_O\)と抵抗\(R_O\)が直列接続されている等価回路(図2)」に変換することができることが分かります。
なお、テブナンの定理の公式において、\(R_O\)は端子A-B間を開放した時の合成抵抗、\(V_O\)は端子A-B間を開放した時の開放電圧となります。
図2に示す等価回路でも、端子A-B間を開放した時の抵抗が\(R_O\)、端子A-B間を開放した時の開放電圧が\(V_O\)になっていることが分かります。
まとめ
この記事では『テブナンの定理の証明方法』について説明しました。
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