LC並列回路の『アドミタンス』について！計算方法や求め方を解説！

この記事ではLC並列回路の『アドミタンス』について

LC並列回路の『アドミタンス』の式・大きさ・ベクトル図・アドミタンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LC並列回路の『アドミタンス』

LC並列回路は上図に示すように、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(1)式と(2)式において、\(X_L\left(={\omega}L\right)\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

LC並列回路の『アドミタンス』の大きさ

先ほど次式で表されるアドミタンス\({\dot{Y}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right){\mathrm{[S]}}\\
\\
&=&j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right){\mathrm{[S]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

LC並列回路のアドミタンスの大きさ\(Y\)は(7)式のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、アドミタンスの大きさ\(Y\)は(7)式において、『虚部\(\left({\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)\)の2乗』の平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

LC並列回路のアドミタンスの大きさ

\begin{eqnarray}
Y&=&|{\dot{Y}}|=\sqrt{\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}=\left|{\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right|=\left|\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right|{\mathrm{[S]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

アドミタンスに付いている「ドット」の意味

アドミタンス(Y)の記号の上に「・(ドット)」が付き、\({\dot{Y}}\)となっているものがあります。

このドットがついた\({\dot{Y}}\)は「ベクトルですよ！」ということを表しています。

ドットが付く場合(\({\dot{Y}}\)など)はベクトル(複素数)を表し、ドットが付かない場合(\(Y\)など)はベクトルの絶対値(大きさ、長さ)を表しています。

詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 【交流回路とベクトル】インピーダンスなどにつく「・(ドット)」の意味！
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LC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図

LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

『ベクトル図』の描き方

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}}_L\)のベクトルを描く
コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}}_C\)のベクトルを描く
各ベクトルを合成する

では各ステップについて順番に説明していきます。

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトルを描く

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_L}=-j\frac{1}{{\omega}L}\tag{9}
\end{eqnarray}

そのため、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトル方向は実軸を時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(-j\)』が付くとベクトルが時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_L=|{\dot{Y}_L}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}=\frac{1}{{\omega}L}=\frac{1}{X_L}\tag{10}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルを描く

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C\tag{11}
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(+j\)』が付くとベクトルが反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_C=|{\dot{Y}_C}|=\displaystyle\sqrt{\left({\omega}C\right)^2}={\omega}C=\frac{1}{X_C}\tag{12}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)』と『コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)』のベクトルの合成が LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル図となります。

繰り返しになりますが、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)とその大きさ\(Y\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)=j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)=j\left(Y_C-Y_L\right){\mathrm{[S]}}\tag{13}\\
\\
Y&=&\left|{\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right|=\left|\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right|=\left|Y_C-Y_L\right|{\mathrm{[S]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

上式において『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向が変わるので注意が必要です。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
\(X_L=X_C\)の時

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}{\;}{\gt}{\;}\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L{\;}{\lt}{\;}Y_C\tag{15}
\end{eqnarray}

『コイル\(L\)のアドミタンスの大きさ\(Y_L\)』の方が『コンデンサ\(C\)のアドミタンスの大きさ\(Y_C\)』よりも小さいため、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向は上向きになります。

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}{\;}{\lt}{\;}\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L{\;}{\gt}{\;}Y_C\tag{16}
\end{eqnarray}

『コイル\(L\)のアドミタンスの大きさ\(Y_L\)』の方が『コンデンサ\(C\)のアドミタンスの大きさ\(Y_C\)』よりも大きいため、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向は下向きになります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L=X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}=\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L=Y_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_C-Y_L=0\tag{17}
\end{eqnarray}

この時、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)\\
\\
&=&j\left(Y_C-Y_L\right)\\
\\
&=&j\left(0\right)\\
\\
&=&0\tag{18}
\end{eqnarray}

合成アドミタンス\({\dot{Y}}\)は『ゼロ』になるため、ベクトルがありません。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

ベクトルの『向き』について

式に虚数単位『\(j\)』が付くとベクトルの向きが90°回転します。

『\(+j\)』が付いている時
- ベクトルは反時計周りに90°回転します。
『\(-j\)』が付いている時
- ベクトルは時計周りに90°回転します。

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C\tag{19}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)の式には『\(+j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Y}_C}\)の向きは実軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_L}=-j\frac{1}{{\omega}L}\tag{20}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Y}_L}\)の向きは実軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

LC並列回路の『アドミタンス角』

『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係によって、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)が異なります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は以下の値になります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}=\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{21}
  \end{eqnarray}
\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は以下の値になります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}=-\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{22}
  \end{eqnarray}
\(X_L=X_C\)の場合
- 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は以下の値になります。
  \begin{eqnarray}
  {\theta}=0{\mathrm{[rad]}}\tag{23}
  \end{eqnarray}