回路

【RC直列回路のラプラス変換】『過渡現象』の解き方!

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この記事ではRC直列回路の『ラプラス変換による過渡現象の解き方』について説明しています。

分かりやすく説明するために、図を多く用いており、式の導出過程も細かく書くように意識しています。

【RC直列回路】『過渡現象』の式とグラフ

RC直列回路の回路図

上図は抵抗\(R{\mathrm{[Ω]}}\)、コンデンサ\(C{\mathrm{[F]}}\)、直流電源\(E{\mathrm{[V]}}\)、スイッチ\(SW\)からなるRC直列回路です。

この記事では、以下の条件における『過渡現象』の式を導出します。

条件

  • スイッチ\(SW\)をオンした時の時間\(t\)を\(t=0{\mathrm{[s]}}\)とする。
  • スイッチ\(SW\)をオンする前には、コンデンサ\(C\)に蓄えらえている電荷\(q(t)\)はゼロとする。
  • →つまり、『\(q(0)=0\)』ということ。

スイッチ\(SW\)をオンすると、以下の過渡現象が生じます。

  1. 電流\(i(t)\)が流れて、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)が増え、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が上昇する。
  2. ある程度時間が経過すると、電流\(i(t)\)が流れなくなる(つまり、一定値\(0{\mathrm{[A]}}\)になる)。また、その時、コンデンサ\(C\)が開放されたような状態であり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)電源電圧の電圧\(E\)と等しくなる。

この時、電流\(i(t)\)が一定値\(0{\mathrm{[A]}}\)となった状態を「定常状態」、「定常状態」に至るまでの状態を「過渡状態」、その過程で見られる現状を「過渡現象」といいます。

また、RC直列回路に流れる電流\(i(t)\)コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)の式とグラフは下記となります。

\begin{eqnarray}
i(t)&=&\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}\\
q(t)&=&CE\left(1-e^{-\frac{1}{CR}t}\right)\\
v_{R}(t)&=&Ee^{-\frac{1}{CR}t}\\
v_{C}(t)&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}t}\right)
\end{eqnarray}

【RC直列回路のラプラス変換】『過渡現象』の式とグラフ

この記事では上式をラプラス変換を用いて解いていきます。なお、上式は微分方程式を解く最も基本的なパターンの変数分離形の微分方程式にして、直接解くことも可能です。

変数分離形の微分方程式にして、直接解く方法については以下の記事に詳しく説明していますので、参考にしてください。

【RC直列回路の微分方程式】『過渡現象』の解き方!
【RC直列回路の微分方程式】『過渡現象』の解き方!

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【RC直列回路】『ラプラス変換』による解き方

ラプラス変換を用いてRC直列回路の過渡現象を解く場合、以下の①~④の手順で行います。

ラプラス変換の手順

【RC直列回路】『ラプラス変換』による解き方

  1. 回路方程式をたてる
  2. →対象となる回路(今回はRC直列回路)のt関数による回路方程式をたてます。

  3. ラプラス変換し、s領域の方程式にする
  4. →①で求めた回路方程式をラプラス変換して、s領域の方程式にします。この際、初期条件も考慮する必要があります。

  5. s領域の方程式を解く
  6. →求めたいs関数の式にします。今回は『\(I(s)={\cdots}\)』の式にします。

  7. ラプラス逆変換する
  8. →③で求めた式をラプラス逆変換して、t領域の方程式にします。

ではこれから、各手順について順番に説明していきます。

【RC直列回路】回路方程式をたてる

【RC直列回路】回路方程式をたてる

RC直列回路を下図に示します。

【RC直列回路】キルヒホッフの法則

上図のRC直列回路にキルヒホッフの電圧則(キルヒホッフの第二法則)を用いると次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
E=v_{R}(t)+v_{C}(t)\tag{1}
\end{eqnarray}

(1)式において、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
v_{R}(t)&=&Ri(t)\tag{2}\\
v_{C}(t)&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}i(t)dt\tag{3}
\end{eqnarray}

(2)式と(3)式を(1)式に代入すると、次式が得られます。

\begin{eqnarray}
E&=&v_{R}(t)+v_{C}(t)\\
&=&Ri(t)+\frac{1}{C}{\displaystyle\int}i(t)dt\tag{4}
\end{eqnarray}

上式が、RC直列回路のt領域の回路方程式となります。

【RC直列回路】ラプラス変換し、s領域の方程式にする

【RC直列回路】ラプラス変換し、s領域の方程式にする

(4)式の左辺は『\(E=E{\;}{\cdot}{\;}1\)』であるため、(4)式をラプラス変換すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
E{\;}{\cdot}{\;}\frac{1}{s}=RI(s)+\frac{1}{C}\left(\frac{I(s)}{s}+\frac{q(0)}{s}\right)\tag{5}
\end{eqnarray}

(5)式において、『\(q(0)\)』は『\(t=0\)』の時におけるコンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷です。スイッチ\(SW\)をオンする前は、電荷は蓄えられていないため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
q(0)=0\tag{6}
\end{eqnarray}

(6)式を(5)式に代入すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
E{\;}{\cdot}{\;}\frac{1}{s}&=&RI(s)+\frac{1}{C}\left(\frac{I(s)}{s}+\frac{0}{s}\right)\\
{\Leftrightarrow}\frac{E}{s}&=&RI(s)+\frac{1}{sC}I(s)\tag{7}
\end{eqnarray}

上式が、RC直列回路のs領域の方程式となります。

【RC直列回路】s領域の方程式を解く

【RC直列回路】s領域の方程式を解く

(7)式を『\(I(s)={\cdots}\)』の式に変換します。

(7)式を\(I(s)\)で整理すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
\left(R+\frac{1}{sC}\right)I(s)=\frac{E}{s}\tag{8}
\end{eqnarray}

(8)式の両辺を\(R+\displaystyle\frac{1}{sC}\)で割ると次式となります。

\begin{eqnarray}
I(s)=\frac{E}{s\left(R+\displaystyle\frac{1}{sC}\right)}\tag{9}
\end{eqnarray}

(9)式の右辺の分子と分母を\(R\)で割ると次式となります。

\begin{eqnarray}
I(s)&=&\frac{\displaystyle\frac{E}{R}}{s\left(1+\displaystyle\frac{1}{sCR}\right)}\\
&=&\frac{E}{R}\frac{1}{s+\displaystyle\frac{1}{CR}}\tag{10}
\end{eqnarray}

このように、変形することで、『\(I(s)={\cdots}\)』にすることができます。なお、(10)式はこの後に説明するラプラス逆変換をしやすいように変形しています。

【RC直列回路】ラプラス逆変換する

【RC直列回路】ラプラス逆変換する

(10)式をラプラス逆変換すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
i(t)&=&{\mathcal{L}}^{-1}\left[I(s)\right]\\
&=&{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{E}{R}\frac{1}{s+\displaystyle\frac{1}{CR}}\right]\\
&=&\frac{E}{R}{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+\displaystyle\frac{1}{CR}}\right]\\
&=&\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}\tag{11}
\end{eqnarray}

以上より、RC直列回路に流れる電流\(i(t)\)の式を導出することができました。

RC直列回路に流れる電流\(i(t)\)が分かると、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)を簡単に求めることができます。

(11)式を(2)式に代入すると、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
v_{R}(t)&=&Ri(t)\\
&=&Ee^{-\frac{1}{CR}t}\tag{12}
\end{eqnarray}

また、(11)式を(3)式に代入すると、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
v_{C}(t)&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}i(t)dt\\
&=&\frac{1}{C}{\displaystyle\int}\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}dt\\
&=&\frac{E}{CR}{\displaystyle\int}e^{-\frac{1}{CR}t}dt\\
&=&\frac{E}{CR}\left(\frac{1}{-\displaystyle\frac{1}{CR}}e^{-\frac{1}{CR}t}\right)+D\\
&=&\frac{E}{CR}\left(-CRe^{-\frac{1}{CR}t}\right)+D\\
&=&-Ee^{-\frac{1}{CR}t}+D\tag{13}
\end{eqnarray}

(13)式において、\(D\)は積分定数となっています。

次に、(13)式の積分定数\(D\)を求める必要があります。

積分定数\(D\)は以下のように求めます。

積分定数Dの求め方

積分定数は回路の初期条件を用いることで求めることができます。

この回路の場合、『\(t=0\)』の時、すなわち、スイッチ\(SW\)をオンした瞬間は、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)はゼロとなります。

そのため、初期条件は『\(t=0、v_{C}(0)=0\)』となります。

(13)式に初期条件を代入すると、

\begin{eqnarray}
v_{C}(0)&=&-Ee^{-\frac{1}{CR}×0}+D\\
{\Leftrightarrow}0&=&-Ee^0+D\\
0&=&-E×1+D\\
0&=&-E+D\tag{14}
\end{eqnarray}

となります。

つまり、『\(t=0\)』の時、『\(D=E\)』となります。

(14)式を(13)式に代入すると、次式となり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)を導出することができます。

\begin{eqnarray}
v_{C}(t)&=&-Ee^{-\frac{1}{CR}t}+E\\
&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}t}\right)\tag{15}
\end{eqnarray}

この記事では、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)RC直列回路に流れる電流\(i(t)\)を積分することで求めましたが、キルヒホッフの電圧則でも求めることができます。(1)式と(12)式を用いると(15)式と同じ結果になりますよ。

『\(Q=CV\)』より、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が分かると、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q(t)\)を次式のように簡単に求めることができます。

\begin{eqnarray}
q(t)&=&Cv_{C}(t)\\
&=&CE\left(1-e^{-\frac{1}{CR}t}\right)\tag{16}
\end{eqnarray}

なお、各々の式のグラフについては以下の記事に詳しく説明していますので、参考にしてください。

【RC直列回路の微分方程式】『過渡現象』の解き方!
【RC直列回路の微分方程式】『過渡現象』の解き方!

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まとめ

この記事ではRC直列回路について、以下の内容を説明しました。

当記事のまとめ

  • 【RC直列回路】『過渡現象』の式とグラフ
  • 【RC直列回路】『ラプラス変換』の解き方

お読み頂きありがとうございました。

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