この記事では『RLC並列共振回路』について
- RLC並列共振回路とは
- RLC並列共振回路の「インピーダンス」と「共振周波数」
- RLC並列共振回路の「周波数特性」と「Q値」
などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。
RLC並列共振回路とは
RLC並列共振回路は、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列接続した回路です。
インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が並列接続されている回路は「ある周波数」で並列共振するため、RLC並列"共振"回路と呼ばれています。この「ある周波数」は共振周波数といいます。共振周波数の記号は\(f_0\)または\(f_R\)で表されていることが多いです(この記事では\(f_0\)で表しています)。
では、RLC並列共振回路において、共振周波数\(f_0\)で並列共振している時はどのような状態なのでしょうか？
最初に結論から言うと、RLC並列共振回路が共振周波数\(f_0\)で並列共振している時、インダクタ\(L\)のリアクタンス\(X_L={\omega}L\)とコンデンサ\(C\)のリアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)が打ち消し合っています(\(X_L=X_C\)になっているということ)。
また、共振周波数\(f_0\)の時、RLC並列共振回路のインピーダンスは\({\dot{Z}}=R\)、RLC並列共振回路に流れる電流は\({\dot{I}}=\displaystyle\frac{V}{R}\)となり、式からインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなります。すなわち、見かけ上、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなり、抵抗\(R\)のみが接続されている回路になります。
では、次に、上記の状態をRLC並列共振回路のインピーダンスの式から考えてみましょう。
RLC並列共振回路の「インピーダンス」と「共振周波数」
RLC並列共振回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列接続した回路です。
抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、インダクタ\(L\)のインダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とすると、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)、インダクタ\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_L&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}\\
\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{3}
\end{eqnarray}
(2)式と(3)式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(インダクタ\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサの抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。
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『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_L}}+\frac{1}{{\dot{Z}_C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_L}+\frac{1}{-jX_C}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}}-j\frac{1}{{\omega}L}\right)\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)\tag{4}
\end{eqnarray}
上式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\left({\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)}\tag{5}
\end{eqnarray}
また、RLC並列共振回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。
\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}}\tag{6}
\end{eqnarray}
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RLC並列共振回路は、インダクタ\(L\)のリアクタンス\(X_L={\omega}L\)とコンデンサ\(C\)のリアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)が打ち消し合っている時(\(X_L=X_C\)の時)、並列共振しています。この時の角周波数\({\omega}\)を共振角周波数\({\omega}_0\)とすると、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
X_L&=&X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}L&=&\frac{1}{{{\omega}_0}C}\tag{7}\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}C-\frac{1}{{{\omega}_0}L}&=&0\tag{8}
\end{eqnarray}
(7)式を用いると、RLC並列共振回路の共振角周波数\({\omega}_0\)と共振周波数\(f_0\)を求めることができ、次式となります。
\begin{eqnarray}
{{\omega}_0}L&=&\frac{1}{{{\omega}_0}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}^2LC&=&1\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}_0&=&\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{9}\\
\\
{\Leftrightarrow}f_0&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\tag{10}
\end{eqnarray}
(9)式と(10)式から、RLC並列共振回路の共振角周波数\({\omega}_0\)と共振周波数\(f_0\)はインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)によって決まり、抵抗の抵抗値\(R\)は無関係ということが分かります。
また、(8)式を用いると、共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、RLC並列共振回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)とその大きさ\(Z\)は次式となります。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\left({\omega}_0C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}_0L}\right)}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j0}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}}=R\tag{11}\\
\\
Z&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left({\omega}_0C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}_0L}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2}}=R\tag{12}
\end{eqnarray}
(11)式と(12)式を見てみましょう。共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、RLC並列共振回路のインピーダンスの式からインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなっています。すなわち、共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、RLC並列共振回路はインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなり、抵抗\(R\)のみが接続されている回路と見なすことができます。
補足
- RLC並列共振回路の場合には、共振周波数のことを「並列共振周波数」と呼ぶこともあります。逆に、RLC直列共振回路の場合には、共振周波数のことを「直列共振周波数」と呼ぶこともあります。
RLC並列共振回路の「周波数特性」と「Q値」
(5)式で表しているRLC並列共振回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)の周波数特性は上図のようになります。
周波数特性から分かるように、RLC並列共振回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は、共振周波数\(f_0\)の時に最大値\(Z_{MAX}=R\)となり、共振周波数\(f_0\)から離れるほど、小さくなります。そのため、共振周波数\(f_0\)の時、RLC並列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が最小値\(I_{MIN}\)となり、\(I_{MIN}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_{MIN}&=&\frac{V}{Z_{MAX}}\\
\\
&=&\frac{V}{R}\tag{13}
\end{eqnarray}
また、共振回路にはQ値と呼ばれる値があります。Q値は周波数特性の鋭さを表す値であり、Q値が大きいほど特性が鋭くなり、小さいほど特性が緩やかになります。
RLC並列共振回路の場合、Q値は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{R}{{\omega}_0L}={\omega}_0CR\tag{14}
\end{eqnarray}
抵抗\(R\)の抵抗値が大きいほど、インダクタ\(L\)のインダクタンスが小さいほど、コンデンサ\(C\)の静電容量が大きいほど、Q値が大きくなるので、周波数特性が鋭くなります。
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まとめ
この記事では『RLC並列共振回路』について、以下の内容を説明しました。
- RLC並列共振回路とは
- RLC並列共振回路の「インピーダンス」と「共振周波数」
- RLC並列共振回路の「周波数特性」と「Q値」
お読み頂きありがとうございました。
本記事のポイント
- RLC並列共振回路の共振角周波数\({\omega}_0\)と共振周波数\(f_0\)は次式で表される。
\begin{eqnarray}
{\omega}_0&=&\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
f_0&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}
\end{eqnarray}
- 共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、インピーダンスの大きさ\(Z\)が最大値\(Z_{MAX}=R\)となるので、RLC並列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が最小値\(I_{MIN}=\displaystyle\frac{V}{R}\)となる。
- RLC並列共振回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)の周波数特性の鋭さはQ値によって決まる。
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