【RC回路の時定数】求め方や単䜍などを詳しく解説

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この蚘事ではRC回路の時定数に぀いお

  • 時定数の重芁ポむント
  • 時定数τ=CRの求め方
  • 時定数の単䜍が[s]ずなる理由

などを図を甚いお分かりやすく説明しおいたす。

RC回路の時定数

RC回路の時定数

䞊図は抵抗\(R{\mathrm{[Ω]}}\)、コンデンサ\(C{\mathrm{[F]}}\)、盎流電源\(E{\mathrm{[V]}}\)、スむッチ\(SW\)からなるRC回路です。

䞊図のRC回路においお、『\(t=0{\mathrm{[s]}}\)』でスむッチ\(SW\)をONにするず、以䞋の過枡珟象が生じたす。

過枡珟象

  1. コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)から埐々に䞊昇する。
  2. ある皋床時間が経過するず、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が電源電圧の電圧\(E{\mathrm{[V]}}\)ず等しくなる。

ここで、時定数のポむントに぀いおたずめたす(埌で図を甚いお分かりやすく説明したす)。

時定数のポむント

  • 時定数ずは、過枡珟象がどのくらい続くのかを衚す目安を衚しおおり、単䜍は[s]ずなりたす。
  • 時定数は、ギリシャ文字の\({\tau}\)(タり)で衚されたす。
  • RC回路の時定数\({\tau}\)は、コンデンサCず抵抗Rの積ずなり『\({\tau}=CR\)』ずなりたす。
  • 時間\(t\)が『時定数\({\tau}(=CR)\)』ずなった時、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は『\(0.632E\)』ずなりたす。
  • 時定数\({\tau}\)が倧きいず過枡珟象が長く続き、小さいず過枡珟象が早く終わりたす(早く定垞状態になりたす)。

・・・少しむメヌゞが難しいですね。ではこれから図を甚いお分かりやすく時定数のポむントを説明しおいきたす。

もう少し詳しく

【RC回路の時定数】過枡状態ず定垞状態

繰り返しになりたすが、䞊図のRC回路においお、『\(t=0{\mathrm{[s]}}\)』でスむッチ\(SW\)をONにするず、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)から埐々に䞊昇し、ある皋床時間が経過するず、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が電源電圧の電圧\(E{\mathrm{[V]}}\)ず等しくなりたす。

この時、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が倉化せず䞀定倀(\(E{\mathrm{[V]}}\))ずなった状態を「定垞状態」、「定垞状態」に至るたでの状態を「過枡状態」、その過皋で芋られる珟状を「過枡珟象」ずいいたす。

たた、このコンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)を匏で衚すず次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}(t)=E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}t}\right)\tag{1}
\end{eqnarray}

なお、(1)匏の導出に぀いおは、以䞋の蚘事で説明しおいたす。導出方法に぀いお知りたい方は以䞋の蚘事を参考にしおください。

【RC盎列回路の埮分方皋匏】『過枡珟象』の解き方
【RC盎列回路の埮分方皋匏】『過枡珟象』の解き方

続きを芋る

(1)匏より、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が『時定数\({\tau}(=CR)\)』ずなった時、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}({\tau})&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}×CR}\right)\\
&=&E\left(1-e^{-1}\right)\\
&=&E\left(1-\frac{1}{e}\right)\tag{2}
\end{eqnarray}

ここで、(2)匏に出おくる\(e\)は自然定数\(\log_{e}\)の底であり、ネむピア数ず呌ばれるものです。ネむピア数\(e\)の倀は次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
e=2.71828{\;}18284{\;}59045{\;}23536{\;}{\cdots}\tag{3}
\end{eqnarray}

このネむピア数\(e\)を(2)匏に代入するず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}({\tau})&=&E\left(1-\frac{1}{e}\right)\\
&{\approx}&E\left(1-\frac{1}{2.71828{\;}{\cdots}}\right)\\
&{\approx}&E\left(1-0.368\right)\\
&{\approx}&0.632E\tag{4}
\end{eqnarray}

぀たり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が『時定数\({\tau}(=CR)\)』ずなった時、電源電圧の電圧\(E\)の\(63.2{\%}\)ずなりたす。

蚀い換えるず、定垞状態における電圧倀(電源電圧の電圧\(E\))の\(63.2{\%}\)に達するたでの時間が時定数\({\tau}\)ずいうこずになりたす。

たた、(4)匏より『時定数\({\tau}(=CR)\)』の倧きさによっお以䞋のこずが分かりたす。

  • 『時定数\({\tau}=CR\)』が倧きい時
  • コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が\(0.632E\)になるのに時間がかかる。぀たり、過枡珟象が長く続く。

  • 『時定数\({\tau}=CR\)』が小さい時
  • コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が早く\(0.632E\)になる。぀たり、過枡珟象が早く終わる(早く定垞状態ずなる)。

RC回路の時定数の倧きさ

補足

  • 時定数は英語では「Time Constant」ず曞きたす。
  • 時定数は䞀般的には「じおいすう」ず読みたす。しかし、JISでは時定数の日本語の読み方は「ずきじょうすう」であるず定められおたす。たた、「Time Constant」の邊蚳語ずしおは「ずきおいすう」なので「ずきおいすう」ず読む人もいたす。

RC回路の時定数の求め方

RC回路の時定数の求め方

RC回路の時定数\({\tau}\)が『\({\tau}=CR\)』ずなるのはなぜでしょうか

ここではその理由を説明したす。

先に結論から蚀うず・・・

コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)の『\(t=0\)』における接線ず定垞状態における電圧倀(電源電圧の電圧\(E\))の亀わる時間が『時定数\({\tau}=CR\)』ずなるのです。

では実際に導出しおみたしょう。

繰り返しになりたすが、䞊図のRC回路においお、『\(t=0{\mathrm{[s]}}\)』でスむッチ\(SW\)をONにするず、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)から埐々に䞊昇し、ある皋床時間が経過するず、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)が電源電圧の電圧\(E{\mathrm{[V]}}\)ず等しくなりたす。

(1)匏を\(t\)で埮分しお、『\(t=0\)』を代入するず、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)の『\(t=0\)』における接線の傟きを求めるこずができたす。

(1)匏を\(t\)で埮分するず次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
\frac{dv_{C}(t)}{dt}&=&\frac{1}{dt}\left[E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}t}\right)\right]\\
&=&\frac{1}{dt}\left(E-Ee^{-\frac{1}{CR}t}\right)\\
&=&E\frac{1}{dt}(1)-E\frac{1}{dt}\left(e^{-\frac{1}{CR}t}\right)\\
&=&Et-E\left(-\frac{1}{CR}\right)e^{-\frac{1}{CR}t}\\
&=&Et+\frac{E}{CR}e^{-\frac{1}{CR}t}\tag{5}
\end{eqnarray}

(5)匏に『\(t=0\)』を代入するず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
\frac{dv_{C}(0)}{dt}&=&E×0+\frac{E}{CR}e^{-\frac{1}{CR}×0}\\
&=&0+\frac{E}{CR}e^{0}\\
&=&\frac{E}{CR}×1\\
&=&\frac{E}{CR}\tag{6}
\end{eqnarray}

぀たり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)の『\(t=0\)』における接線の傟きは『\(\displaystyle\frac{E}{CR}\)』ずなりたす。

コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)の『\(t=0\)』における接線は『\((0,0)\)』を通るので、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
V=\frac{E}{CR}t\tag{7}
\end{eqnarray}

(7)匏のコンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)の『\(t=0\)』における接線ず定垞状態における電圧倀(電源電圧の電圧\(E\))が亀わる時間を求めたす。

(7)匏の\(V\)に\(E\)を代入するず次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
E&=&\frac{E}{CR}t\\
{\Leftrightarrow}t&=&CR\tag{8}
\end{eqnarray}

この時間が時定数ずなるため、RC回路の時定数\({\tau}\)は『\({\tau}=CR\)』ずなりたす。

(8)匏から分かるように、RC回路ではコンデンサ\(C\)の容量たたは抵抗\(R\)の抵抗倀が倧きくなるず、時定数\({\tau}\)が倧きくなるこずが分かりたす(RC回路の時定数\({\tau}\)はコンデンサ\(C\)の容量ず抵抗\(R\)の抵抗倀に比䟋するずいうこずです)。

時定数の単䜍が[s]の理由

RC回路の時定数の単䜍

時定数\({\tau}\)の単䜍が\({\mathrm{[s]}}\)ずなるのはなぜでしょうか

䟋えば、RC回路の堎合、コンデンサ\(C\)の静電容量の単䜍は\({\mathrm{[F]}}\)、抵抗\(R\)の抵抗倀の単䜍は\({\mathrm{[Ω]}}\)なのに、なぜ時定数\({\tau}=CR\)の単䜍は\({\mathrm{[s]}}\)ずなるのでしょうか

ここではその理由を説明したす。

コンデンサ\(C\)の静電容量の単䜍ず抵抗\(R\)の抵抗倀の単䜍に぀いお別々に詳しく芋おいきたす。

コンデンサCの静電容量の単䜍に぀いお

コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)ずコンデンサにかかる電圧\(v{\mathrm{[V]}}\)ずコンデンサの静電容量\(C{\mathrm{[F]}}\)の関係は次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
q&=&Cv\\
{\Leftrightarrow}C&=&\frac{q}{v}\tag{9}
\end{eqnarray}

たた、コンデンサ\(C\)に蓄えられる電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)ずコンデンサに流れる電流\(i{\mathrm{[A]}}\)の関係は次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
i&=&\frac{dq}{dt}\\
{\Leftrightarrow}q&=&{\displaystyle\int}idt\tag{10}
\end{eqnarray}

(10)匏を(9)匏に代入するず、次匏が埗られたす。

\begin{eqnarray}
C&=&\frac{q}{v}\\
&=&\frac{{\displaystyle\int}idt}{v}\tag{11}
\end{eqnarray}

(11)匏を単䜍で衚すず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
{\mathrm{[F]}}&=&\frac{{\mathrm{[A]}}{\mathrm{[s]}}}{{\mathrm{[V]}}}\tag{12}
\end{eqnarray}

抵抗Rの抵抗倀の単䜍に぀いお

オヌムの法則より、抵抗\(R\)の抵抗倀\(R{\mathrm{[Ω]}}\)ず抵抗\(R\)にかかる電圧\(v{\mathrm{[V]}}\)ず抵抗\(R\)に流れる電流\(i{\mathrm{[A]}}\)の関係は次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
R=\frac{v}{i}\tag{13}
\end{eqnarray}

(13)匏を単䜍で衚すず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
{\mathrm{[Ω]}}=\frac{{\mathrm{[V]}}}{{\mathrm{[A]}}}\tag{14}
\end{eqnarray}

぀たり、時定数\({\tau}=CR\)を単䜍は(12)匏ず(14)匏を甚いるず次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
時定数{\tau}の単䜍&=&{\mathrm{[F]}}×{\mathrm{[Ω]}}\\
&=&\frac{{\mathrm{[A]}}{\mathrm{[s]}}}{{\mathrm{[V]}}}×\frac{{\mathrm{[V]}}}{{\mathrm{[A]}}}\\
&=&{{\mathrm{[s]}}}\tag{15}
\end{eqnarray}

以䞊より、コンデンサ\(C\)の静電容量の単䜍ず抵抗\(R\)の抵抗倀の単䜍を分解するず、時定数\({\tau}\)の単䜍が\({\mathrm{[s]}}\)になるこずが分かりたす。

RC回路の時定数を2倍、3倍・・・ずした時の倀

RC回路の時定数による倉化

コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が『時定数\({\tau}(=CR)\)』ずなった時、電源電圧の電圧\(E\)の\(63.2{\%}\)になりたす。

では、時間\(t\)が時定数\({\tau}\)が2倍の時や3倍の時はコンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)はどれくらいになるのでしょうか。

時定数τが1倍の時

時定数\({\tau}\)が1倍の時(぀たり、『\(t={\tau}CR\)』の時)、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は以䞋の倀ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}({\tau})&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}×CR}\right)\\
&=&E\left(1-e^{-1}\right)\\
&=&E\left(1-\frac{1}{e}\right)\\
&{\approx}&E\left(1-\frac{1}{2.71828{\;}{\cdots}}\right)\\
&{\approx}&0.632E\tag{16}
\end{eqnarray}

぀たり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が時定数\({\tau}\)の1倍の時、電源電圧の電圧\(E\)の\(63.2{\%}\)ずなりたす。

時定数τが2倍の時

時定数\({\tau}\)が2倍の時(぀たり、『\(t={\tau}2CR\)』の時)、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は以䞋の倀ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}(2{\tau})&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}×2CR}\right)\\
&=&E\left(1-e^{-2}\right)\\
&=&E\left(1-\frac{1}{e^2}\right)\\
&{\approx}&E\left(1-\frac{1}{2.71828{\;}{\cdots}^2}\right)\\
&{\approx}&0.865E\tag{17}
\end{eqnarray}

぀たり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が時定数\({\tau}\)の2倍の時、電源電圧の電圧\(E\)の\(86.5{\%}\)ずなりたす。

時定数τが3倍の時

時定数\({\tau}\)が3倍の時(぀たり、『\(t={\tau}3CR\)』の時)、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は以䞋の倀ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}(3{\tau})&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}×3CR}\right)\\
&=&E\left(1-e^{-3}\right)\\
&=&E\left(1-\frac{1}{e^3}\right)\\
&{\approx}&E\left(1-\frac{1}{2.71828{\;}{\cdots}^3}\right)\\
&{\approx}&0.950E\tag{18}
\end{eqnarray}

぀たり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が時定数\({\tau}\)の3倍の時、電源電圧の電圧\(E\)の\(95.0{\%}\)ずなりたす。

時定数τが4倍の時

時定数\({\tau}\)が4倍の時(぀たり、『\(t={\tau}4CR\)』の時)、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は以䞋の倀ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}(4{\tau})&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}×4CR}\right)\\
&=&E\left(1-e^{-4}\right)\\
&=&E\left(1-\frac{1}{e^4}\right)\\
&{\approx}&E\left(1-\frac{1}{2.71828{\;}{\cdots}^4}\right)\\
&{\approx}&0.982E\tag{19}
\end{eqnarray}

぀たり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が時定数\({\tau}\)の4倍の時、電源電圧の電圧\(E\)の\(98.2{\%}\)ずなりたす。

時間\(t\)が時定数\({\tau}\)の4倍ずなるず、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は定垞状態における電圧倀(電源電圧の電圧\(E\))の玄\(98.2{\%}\)ずなるので、ほが定垞状態ずいえたす。

時定数τが5倍の時

時定数\({\tau}\)が5倍の時(぀たり、『\(t={\tau}5CR\)』の時)、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は以䞋の倀ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{C}(5{\tau})&=&E\left(1-e^{-\frac{1}{CR}×5CR}\right)\\
&=&E\left(1-e^{-5}\right)\\
&=&E\left(1-\frac{1}{e^5}\right)\\
&{\approx}&E\left(1-\frac{1}{2.71828{\;}{\cdots}^5}\right)\\
&{\approx}&0.993E\tag{20}
\end{eqnarray}

぀たり、コンデンサ\(C\)の電圧\(v_{C}(t)\)は時間\(t\)が時定数\({\tau}\)の5倍の時、電源電圧の電圧\(E\)の\(99.3{\%}\)ずなりたす。

たずめ

この蚘事ではRC回路の時定数に぀いお、以䞋の内容を説明したした。

圓蚘事のたずめ

  • RC回路の時定数のポむント
  • RC回路の時定数の求め方
  • 時定数の単䜍が[s]の理由
  • RC回路の時定数τを2倍、3倍・・・ずした時の倀

お読み頂きありがずうございたした。

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