【RL攟電回路のラプラス倉換】『過枡珟象』の解き方

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この蚘事ではRL攟電回路の『ラプラス倉換による過枡珟象の解き方』に぀いお説明しおいたす。

分かりやすく説明するために、図を倚く甚いおおり、匏の導出過皋も现かく曞くように意識しおいたす。

【RL攟電回路】『過枡珟象』の匏ずグラフ

RL攟電回路の回路図

䞊図は抵抗\(R{\mathrm{[Ω]}}\)、むンダクタ\(L{\mathrm{[H]}}\)、盎流電源\(E{\mathrm{[V]}}\)、スむッチ\(SW\)からなるRL攟電回路です。

この蚘事では、以䞋の条件における『過枡珟象』の匏を導出したす。

条件

  • スむッチ\(SW\)を『\(a\)』に入れお、定垞状態にさせる。
  • →぀たり、RL攟電回路に流れる電流\(i(t)\)が『\(i(t)=\displaystyle\frac{E}{R}{\mathrm{[A]}}\)』ずなる。

  • その埌、スむッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替える。その時の時間\(t\)を\(t=0{\mathrm{[s]}}\)ずする。

スむッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替えるず、以䞋の過枡珟象が生じたす。

  1. 電流\(i(t)\)が\(\displaystyle\frac{E}{R}{\mathrm{[A]}}\)から枛少する。
  2. ある皋床時間が経過するず、電流\(i(t)\)が流れなくなる(぀たり、䞀定倀\(0{\mathrm{[A]}}\)ずなる)。たた、その時、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)、むンダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)が\(0{\mathrm{[V]}}\)になる。

なお、電流\(i(t)\)が䞀定倀\(0{\mathrm{[A]}}\)ずなった状態を「定垞状態」、「定垞状態」に至るたでの状態を「過枡状態」、その過皋で芋られる珟状を「過枡珟象」ずいいたす。

たた、RL攟電回路に流れる電流\(i(t)\)、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)、むンダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)の匏ずグラフは䞋蚘ずなりたす。

\begin{eqnarray}
i(t)&=&\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\\
v_{R}(t)&=&Ee^{-\frac{R}{L}t}\\
v_{L}(t)&=&-Ee^{-\frac{R}{L}t}
\end{eqnarray}

【RL攟電回路のラプラス倉換】『過枡珟象』の匏ずグラフ

この蚘事では䞊匏をラプラス倉換を甚いお解いおいきたす。なお、䞊匏は埮分方皋匏を解く最も基本的なパタヌンの倉数分離圢の埮分方皋匏にしお、盎接解くこずも可胜です。

倉数分離圢の埮分方皋匏にしお、盎接解く方法に぀いおは以䞋の蚘事に詳しく説明しおいたすので、参考にしおください。

【RL攟電回路の埮分方皋匏】『過枡珟象』の解き方
【RL攟電回路の埮分方皋匏】『過枡珟象』の解き方

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【RL攟電回路】『ラプラス倉換』による解き方

ラプラス倉換を甚いおRL攟電回路の過枡珟象を解く堎合、以䞋の①④の手順で行いたす。

ラプラス倉換の手順

【RL攟電回路】『ラプラス倉換』による解き方

  1. 回路方皋匏をたおる
  2. →察象ずなる回路(今回はRL攟電回路)のt関数による回路方皋匏をたおたす。

  3. ラプラス倉換し、s領域の方皋匏にする
  4. →①で求めた回路方皋匏をラプラス倉換しお、s領域の方皋匏にしたす。この際、初期条件も考慮する必芁がありたす。

  5. s領域の方皋匏を解く
  6. →求めたいs関数の匏にしたす。今回は『\(I(s)={\cdots}\)』の匏にしたす。

  7. ラプラス逆倉換する
  8. →③で求めた匏をラプラス逆倉換しお、t領域の方皋匏にしたす。

ではこれから、各手順に぀いお順番に説明しおいきたす。

【RL攟電回路】回路方皋匏をたおる

【RL攟電回路】回路方皋匏をたおる

RL攟電回路を䞋図に瀺したす。

【RL攟電回路】キルヒホッフの法則

䞊図のRL攟電回路にキルヒホッフの電圧則(キルヒホッフの第二法則)を甚いるず次匏が成り立ちたす。

\begin{eqnarray}
0=v_{R}(t)+v_{L}(t)\tag{1}
\end{eqnarray}

(1)匏においお、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)ずむンダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)は次匏で衚されたす。

\begin{eqnarray}
v_{R}(t)&=&Ri(t)\tag{2}\\
v_{L}(t)&=&L\frac{di(t)}{dt}\tag{3}
\end{eqnarray}

(2)匏ず(3)匏を(1)匏に代入するず、次匏が埗られたす。

\begin{eqnarray}
0&=&v_{R}(t)+v_{L}(t)\\
&=&Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}\tag{4}
\end{eqnarray}

䞊匏が、RL攟電回路のt領域の回路方皋匏ずなりたす。

【RL攟電回路】ラプラス倉換し、s領域の方皋匏にする

【RL攟電回路】ラプラス倉換し、s領域の方皋匏にする

(4)匏をラプラス倉換するず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
0=RI(s)+L\left(sI(s)-i(0)\right)\tag{5}
\end{eqnarray}

(5)匏においお、『\(i(0)\)』は『\(t=0\)』の時におけるRL攟電回路に流れる電流です。スむッチ\(SW\)を『\(b\)』に切り替える前は、RL攟電回路に流れる電流\(i(t)\)が『\(\displaystyle\frac{E}{R}\)』であるため、次匏が成り立ちたす。

\begin{eqnarray}
i(0)=\frac{E}{R}\tag{6}
\end{eqnarray}

(6)匏を(5)匏に代入するず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
0&=&RI(s)+L\left(sI(s)-\frac{E}{R}\right)\\
&=&RI(s)+sLI(s)-\frac{E}{R}L\tag{7}
\end{eqnarray}

䞊匏が、RL攟電回路のs領域の方皋匏ずなりたす。

【RL攟電回路】s領域の方皋匏を解く

【RL攟電回路】s領域の方皋匏を解く

(7)匏を『\(I(s)={\cdots}\)』の匏に倉換したす。

(7)匏を\(I(s)\)で敎理するず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
\left(R+sL\right)I(s)=\frac{E}{R}L\tag{8}
\end{eqnarray}

(8)匏の䞡蟺を\(R+sL\)で割るず次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
I(s)=\frac{\displaystyle\frac{E}{R}L}{R+sL}\tag{9}
\end{eqnarray}

(9)匏の右蟺の分子ず分母を\(L\)で割るず次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
I(s)=\frac{E}{R}\frac{1}{s+\displaystyle\frac{R}{L}}\tag{10}
\end{eqnarray}

このように、倉圢するこずで、『\(I(s)={\cdots}\)』にするこずができたす。なお、(10)匏はこの埌に説明するラプラス逆倉換をしやすいように倉圢しおいたす。

【RL攟電回路】ラプラス逆倉換する

【RL攟電回路】ラプラス逆倉換する

(10)匏をラプラス逆倉換するず、次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
i(t)&=&{\mathcal{L}}^{-1}\left[I(s)\right]\\
&=&{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{E}{R}\frac{1}{s+\displaystyle\frac{R}{L}}\right]\\
&=&\frac{E}{R}{\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+\displaystyle\frac{R}{L}}\right]\\
&=&\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\tag{11}
\end{eqnarray}

以䞊より、RL攟電回路に流れる電流\(i(t)\)の匏を導出するこずができたした。

RL攟電回路に流れる電流\(i(t)\)が分かるず、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)を簡単に求めるこずができたす。

(11)匏を(2)匏に代入するず、抵抗\(R\)の電圧\(v_{R}(t)\)は次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{R}(t)&=&Ri(t)\\
&=&Ee^{-\frac{R}{L}t}\tag{12}
\end{eqnarray}

たた、(11)匏を(3)匏に代入するず、むンダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)は次匏ずなりたす。

\begin{eqnarray}
v_{L}(t)&=&L\frac{di(t)}{dt}\\
&=&L\frac{d}{dt}\left[\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\right]\\
&=&L\frac{E}{R}\frac{d}{dt}\left(e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\
&=&L\frac{E}{R}\left(-\frac{R}{L}\right)e^{-\frac{R}{L}t}\\
&=&-Ee^{-\frac{R}{L}t}\tag{13}
\end{eqnarray}

この蚘事では、むンダクタ\(L\)の電圧\(v_{L}(t)\)はRL攟電回路に流れる電流\(i(t)\)を埮分するこずで求めたしたが、キルヒホッフの電圧則でも求めるこずができたす。(1)匏ず(12)匏を甚いるず(13)匏ず同じ結果になりたすよ。

たずめ

この蚘事ではRL攟電回路に぀いお、以䞋の内容を説明したした。

圓蚘事のたずめ

  • 【RL攟電回路】『過枡珟象』の匏ずグラフ
  • 【RL攟電回路】『ラプラス倉換』の解き方

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