オペアンプを用いたハイパスフィルタを解説！伝達関数の計算など！

この記事では『オペアンプを用いたハイパスフィルタ』について

オペアンプを用いたハイパスフィルタとは
オペアンプを用いたハイパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』
オペアンプを用いたハイパスフィルタの『周波数特性』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

オペアンプを用いたハイパスフィルタ

上図にオペアンプを用いたハイパスフィルタを示しています。

オペアンプを用いたハイパスフィルタは、オペアンプと抵抗\(R_1,R_2\)とコンデンサ\(C\)で構成されているハイパスフィルタです。入力電圧\(V_{IN}\)の低周波成分を通過させ、高周波成分を遮断します。

コンデンサ\(C\)が無ければ、回路構成は反転増幅回路と同じになります。そのため、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\left(=\displaystyle\frac{1}{j2{\pi}fC}\right)\)が非常に小さくなる領域(周波数\(f\)が高い領域)では、コンデンサ\(C\)をショート(短絡状態)に見なすことができるので、反転増幅回路として動作をします。

オペアンプを用いたハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

『伝達関数』と『ゲイン』の導出方法について説明します。

上図に示すように、抵抗\(R_1\)とコンデンサ\(C\)の合成インピーダンスを\({\dot{Z}_1}\)、抵抗\(R_2\)のインピーダンスを\({\dot{Z}_2}\)とすると、出力電圧\(V_{OUT}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}=-\frac{{\dot{Z}_2}}{{\dot{Z}_1}}V_{IN}\tag{2-1}
\end{eqnarray}

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(2-1)式の導出方法については、『反転増幅回路における出力電圧\(V_{OUT}\)の導出方法』と同じ考え方となります。反転増幅回路については下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

: 『反転増幅回路』を分かりやすく解説！【オペアンプ】
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インピーダンス\({\dot{Z}_1}\)とインピーダンス\({\dot{Z}_2}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_1}&=&\frac{1}{j{\omega}C}+R_1\tag{2-2}\\
\\
{\dot{Z}_2}&=&R_2\tag{2-3}\\
\end{eqnarray}

(2-2)式と(2-3)式を(2-1)式に代入すると、出力電圧\(V_{OUT}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}&=&-\frac{{\dot{Z}_2}}{{\dot{Z}_1}}V_{IN}\\
\\
&=&-\frac{R_2}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}+R_1}V_{IN}\\
\\
&=&-\frac{j{\omega}CR_2}{1+j{\omega}CR_1}V_{IN}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

オペアンプを用いたハイパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-4)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=-\frac{j{\omega}CR_2}{1+j{\omega}CR_1}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

(2-5)式の分母には虚数単位\(j\)があります。ここで分子のみに虚数単位\(j\)がくるようにするために、分母と分子に『\(1-j{\omega}CR_1\)』を掛けます。すると、(2-5)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&-\frac{j{\omega}CR_2}{1+j{\omega}CR_1}{\cdot}\frac{1-j{\omega}CR_1}{1-j{\omega}CR_1}\\
\\
&=&-\frac{j{\omega}CR_2+{\omega}^2C^2R_1R_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\\
\\
&=&-\frac{{\omega}^2C^2R_1R_2}{1+({\omega}CR_1)^2}-j\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がオペアンプを用いたハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)となります。もう少し詳しく説明すると、オペアンプを用いたハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)は(2-6)式において、『実部\(\left\{-\displaystyle\frac{{\omega}^2C^2R_1R_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}\)の2乗』と『虚部\(\left\{-\displaystyle\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができます。そのため、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{-\frac{{\omega}^2C^2R_1R_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}^2+\left\{-\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{{\omega}^4C^4{R_1}^2{R_2}^2+{\omega}^2C^2{R_2}^2}{\left\{1+({\omega}CR_1)^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{{\omega}^2C^2{R_2}^2\left\{1+({\omega}CR_1)^2\right\}}{\left\{1+({\omega}CR_1)^2\right\}^2}}\\
\\
&=&{\omega}CR_2\sqrt{\frac{1}{1+({\omega}CR_1)^2}}\\
\\
&=&\frac{{\omega}CR_2}{\sqrt{1+({\omega}CR_1)^2}}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

ここで、角周波数\({\omega}\)は\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があるので、(2-7)式の\({\omega}\)を\(2{\pi}f\)に書き換えると、次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{2{\pi}fCR_2}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR_1)^2}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

なお、オペアンプを用いたハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル表示にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)とすると、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{{\omega}CR_2}{\sqrt{1+({\omega}CR_1)^2}}{\mathrm{[dB]}}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{2{\pi}fCR_2}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR_1)^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-9}
\end{eqnarray}

これで、オペアンプを用いたハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出は終わりです。

オペアンプを用いたハイパスフィルタの『カットオフ周波数』

カットオフ周波数\(f_C\)は、オペアンプを用いたハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)が3dB下がる(\(\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\;}{\approx}{\;}\displaystyle\frac{R_2}{R_1}{\cdot}0.707\right)\)になる)周波数であり、次式となります。

\begin{eqnarray}
\frac{R_2}{R_1}{\cdot}\frac{1}{\sqrt{2}}&=&|G(j{\omega})|\\
\\
&=&\frac{2{\pi}fCR_2}{\sqrt{1+(2{\pi}fC_CR_1)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{1+(2{\pi}fC_CR_1)^2}&=&2\sqrt{2}{\pi}f_CCR_1\\
\\
1+(2{\pi}fC_CR_1)^2&=&8{\pi}^2{f_C}^2C^2{R_1}^2\\
\\
4{\pi}^2{f_C}^2C^2{R_1}^2&=&1\\
\\
{f_C}^2&=&\frac{1}{4{\pi}^2C^2{R_1}^2}\\
\\
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR_1}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はオペアンプを用いたハイパスフィルタによって、カットオフ周波数\(f_C\)より低い成分の周波数はほとんど減衰し、カットオフ周波数\(f_C\)より高い成分の周波数は通過します。

オペアンプを用いたハイパスフィルタの『位相』

繰り返しになりますが、オペアンプを用いたハイパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=-\frac{{\omega}^2C^2R_1R_2}{1+({\omega}CR_1)^2}-j\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

複素平面(横軸は実数の目盛、縦軸は虚数の目盛であり、ガウス平面とも呼ばれている)上に(4-1)式のベクトルを描くと上図のようになります。このベクトル図よりオペアンプを用いたハイパスフィルタの位相\({\theta}\)が決まります。

位相\({\theta}\)は入力電圧\(V_{IN}\)に対する出力電圧\(V_{OUT}\)の位相を示しており、位相\({\theta}\)が『正(プラス)』の場合、『入力電圧\(V_{IN}\)』に対して『出力電圧\(V_{OUT}\)』は位相が進んでいることを示し、位相\({\theta}\)が『負(マイナス)』の場合、『入力電圧\(V_{IN}\)』に対して『出力電圧\(V_{OUT}\)』は位相が遅れていることを示しています。

周波数\(f\)が非常に低く、『虚部\(\left\{-\displaystyle\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}\)』が『実部\(\left\{-\displaystyle\frac{{\omega}^2C^2R_1R_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}\)』よりも非常に大きくなる時、位相\({\theta}\)は約\(-\displaystyle\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}(=-90{\mathrm{°}})\)となります。

周波数\(f\)が非常に高く、『虚部\(\left\{-\displaystyle\frac{{\omega}CR_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}\)』が『実部\(\left\{-\displaystyle\frac{{\omega}^2C^2R_1R_2}{1+({\omega}CR_1)^2}\right\}\)』よりも非常に小さくなる時、位相\({\theta}\)は約\(-{\pi}{\mathrm{[rad]}}(=-180{\mathrm{°}})\)となります。

[rad]を[°(度)]に変換するためには、\(\displaystyle\frac{180}{{\pi}}\)を掛けます。

オペアンプを用いたハイパスフィルタの『周波数特性』

一例として、抵抗\(R_1=1{\mathrm{[kΩ]}},R_2=10{\mathrm{[kΩ]}}\)、コンデンサ\(C=1{\mathrm{[μF]}}\)のオペアンプを用いたハイパスフィルタにおいて、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)と位相\({\theta}\)の周波数特性を上図に示しています。

コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\left(=\displaystyle\frac{1}{j2{\pi}fC}\right)\)が非常に小さくなる領域(周波数\(f\)が高い領域)では、コンデンサ\(C\)をショート(短絡状態)に見なすことができるので、反転増幅回路として動作をします。そのため、周波数\(f\)が高い領域では、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\displaystyle\frac{10×10^3}{1×10^3}\\
\\
&=&20{\mathrm{[dB]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

また、オペアンプを用いたハイパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR_1}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}×1×10^{-6}×1×10^{3}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-2}
\end{eqnarray}

上図を見ると、カットオフ周波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)でゲイン\(|G(j{\omega})|\)が約－3dB下がっていることが確認できます(20dB－3dB=17dBになっている)。そして、その時の位相\({\theta}\)が－135°になっていることが確認できます。

また、周波数\(f\)が低い領域では、周波数\(f\)が10倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が10倍になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}10=20{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が低い領域では、20[dB/dec]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加しています。

同様に、周波数fが2倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が2倍になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}2=6{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が低い領域では、6[dB/oct]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加しているとも言います。

周波数fが2倍になることをoct(オクターブ)、10倍になることをdec(ディケード)といいます。