LCローパスフィルタの『伝達関数』や『周波数特性』について

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この記事では『LCローパスフィルタ』について

  • LCローパスフィルタとは
  • LCローパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』
  • LCローパスフィルタの『周波数特性』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LCローパスフィルタとは

LCローパスフィルタとは

上図にLCローパスフィルタの回路構成を示しています。

LCローパスフィルタは、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)で構成されているローパスフィルタです。コンデンサ\(C\)は負荷(負荷抵抗\(R\))と並列に接続されています。入力電圧\(V_{IN}\)の低周波成分を通過させ、高周波成分を遮断します。

LCローパスフィルタは電力損失が小さいので、大電流を流す場合に向いています(理想的なコイルとコンデンサであれば、LCローパスフィルタで電力損失はありません)。

後ほど導出方法など詳細に説明しますが、LCローパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』の式と『周波数特性』をまとめると、下記のようになります。

LCローパスフィルタのまとめ

LCローパスフィルタのまとめ

  • 伝達関数\(G(j{\omega})\)
  • →入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比が伝達関数\(G(j{\omega})\)であり、次式となる。
    \begin{eqnarray}
    G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{R}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}\tag{1-1}
    \end{eqnarray}

  • ゲイン\(|G(j{\omega})|\)
  • →伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がゲイン\(|G(j{\omega})|\)であり、次式となる。
    \begin{eqnarray}
    |G(j{\omega})|=\frac{R}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\tag{1-2}
    \end{eqnarray}

  • カットオフ周波数\(f_C\)
  • →コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)の共振周波数がカットオフ周波数\(f_C\)であり、次式となる。
    \begin{eqnarray}
    f_C=\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\tag{1-3}
    \end{eqnarray}

  • 位相\({\theta}\)
  • →入力電圧\(V_{IN}\)に対する出力電圧\(V_{OUT}\)の位相であり、次式となる。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}={\tan}^{-1}\left\{\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)}\right\}\tag{1-4}
    \end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)の周波数が高い場合、コイル\(L\)のインピーダンスが大きく、コンデンサ\(C\)のインピーダンスが小さいので、出力電圧\(V_{OUT}\)が低くなる(すなわち、高周波成分を遮断する)ということは見当がつくと思います。

補足

  • ローパスフィルタは『低域通過フィルタ』や『ハイカットフィルタ』とも呼ばれています。

LCローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

LCローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

LCローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出方法について説明します。

『コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)』と『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)』と『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)』は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_L}&=&j{\omega}L\tag{2-1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2-2}\\
\\
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{2-3}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)と抵抗\(R\)は並列接続されています。コンデンサ\(C\)と抵抗\(R\)の並列インピーダンス\({\dot{Z}_{CR}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{CR}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_C}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_R}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}+\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
&=&\frac{1}{j{\omega}C+\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
&=&\frac{R}{1+j{\omega}CR}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

したがって、出力電圧\(V_{OUT}\)は入力電圧\(V_{IN}\)を\({\dot{Z}_L}\)と\({\dot{Z}_{CR}}\)で分圧しているので、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}&=&\frac{{\dot{Z}_{CR}}}{{\dot{Z}_L}+{\dot{Z}_{CR}}}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{R}{1+j{\omega}CR}}{j{\omega}L+\displaystyle\frac{R}{1+j{\omega}CR}}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{R}{j{\omega}L(1+j{\omega}CR)+R}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{R}{j{\omega}L-{\omega}^2LCR+R}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{R}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}V_{IN}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

LCローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-5)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{R}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

(2-6)式の分母には虚数単位\(j\)があります。ここで分子のみに虚数単位\(j\)がくるようにするために、分母と分子に『\(R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L\)』を掛けます。すると(2-6)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{R}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}×\frac{R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L}{R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L}\\
\\
&=&\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}-j\frac{{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がLCローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)となります。もう少し詳しく説明すると、LCローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)は(2-7)式において、『実部\(\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)の2乗』と『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができます。そのため、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}^2+\left\{\displaystyle\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{R^4(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2R^2}{\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{R^2\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}}{\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{R^2}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\frac{R}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

なお、LCローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル表示にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)とすると、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{R}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-9}
\end{eqnarray}

これで、LCローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出は終わりです。

あわせて読みたい

(2-8)式に示すように、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベルで表す場合には、ゲインの常用対数(\({\log}_{10}\))を20倍します。デシベルについて詳しくは下記の記事で説明していますので、ご参考になれば幸いです。

電圧や電力の『デシベル(dB)』とは?計算方法や変換方法について
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補足

  • \(R\)は負荷抵抗なので、負荷が変化すると伝達関数\(G(j{\omega})\)とゲイン\(|G(j{\omega})|\)も変化することに注意してください。

LCローパスフィルタの『伝達関数(ラプラス演算子を用いた場合)』

『ラプラス演算子\(s=j{\omega}\)』を用いると、伝達関数は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{R}{1+sCR}}{sL+\displaystyle\frac{R}{1+sCR}}\\
\\
&=&\frac{R}{sL(1+sCR)+R}\\
\\
&=&\frac{R}{s^2LCR+sL+R}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{1}{LC}}{s^2+\displaystyle\frac{1}{CR}s+\displaystyle\frac{1}{LC}}\tag{2-10}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)を上式で表している資料もよく見かけます。なお、分母の『ラプラス演算子\(s\)』の次数が2次なので、2次ローパスフィルタとなります。

一方、2次遅れ系の伝達関数は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\zeta}{\omega}_ns+{{\omega}_n}^2}\tag{2-11}
\end{eqnarray}

上式において\({\omega}_n\)は固有角周波数[rad/s]、\({\zeta}\)は減衰係数となります。

したがって、LCローパスフィルタの固有角周波数\({\omega}_n\)と減衰係数\({\zeta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\omega}_n&=&\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{2-12}\\
\\
{\zeta}&=&\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}\tag{2-13}
\end{eqnarray}

また、共振の鋭さ\(Q\)と減衰係数\({\zeta}\)には『\({\zeta}=\displaystyle\frac{1}{2Q}\)』の関係があるので、共振の鋭さ\(Q\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Q&=&R\sqrt{\frac{C}{L}}\tag{2-14}
\end{eqnarray}

補足

  • 固有角周波数は『固有角振動数』とも呼ばれています。
  • 減衰係数は『減衰係数比』や『減衰比』とも呼ばれています。
  • 2次遅れ系は、位相を遅らせる性質を持っており、位相\({\theta}\)は0°~-180°の範囲となります。

LCローパスフィルタの『カットオフ周波数』

LCローパスフィルタの『カットオフ周波数』

LCローパスフィルタの『カットオフ周波数\(f_C\)』はコイル\(L\)とコンデンサ\(C\)の共振周波数であり、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
f_C=\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はLCローパスフィルタによって、カットオフ周波数\(f_C\)より低い成分の周波数はほとんど通過し、カットオフ周波数\(f_C\)より高い成分の周波数は減衰します。

あわせて読みたい

『カットオフ周波数って何?』という方は下記の記事が役に立つと思いますので、ご参考にしてください。

『カットオフ周波数(遮断周波数)』とは?【フィルタ回路】
『カットオフ周波数(遮断周波数)』とは?【フィルタ回路】

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補足

  • カットオフ周波数は『遮断周波数』とも呼ばれています。

LCローパスフィルタの『位相』

LCローパスフィルタの『位相』

繰り返しになりますが、LCローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}-j\frac{{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

複素平面(横軸は実数の目盛、縦軸は虚数の目盛であり、ガウス平面とも呼ばれている)上に(4-1)式のベクトルを描くと上図のようになります。このベクトル図よりLCローパスフィルタの位相\({\theta}\)を求めることができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{\displaystyle\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left\{\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)}\right\}{\mathrm{[rad]}}\tag{4-2}
\end{eqnarray}

周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C=\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\)より低い時は

\begin{eqnarray}
f&{\;}{\ll}{\;}&\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}&{\;}{\ll}{\;}&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}0&{\;}{\ll}{\;}&1-{\omega}^2LC\\
\end{eqnarray}

となるため、『実数\(\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)』が『プラス(+)』となります。この時、実数のベクトルが右向きになるため、位相\({\theta}\)は0°~-90°となります。

一方、周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C=\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\)より高い時は

\begin{eqnarray}
f&{\;}{\gg}{\;}&\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}&{\;}{\gg}{\;}&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}0&{\;}{\gg}{\;}&1-{\omega}^2LC\\
\end{eqnarray}

となるため、『実数\(\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)』が『マイナス(-)』となります。この時、実数のベクトルが左向きになるため、位相\({\theta}\)は-90°~-180°となります。

[rad]を[°(度)]に変換するためには、\(\displaystyle\frac{180}{{\pi}}\)を掛けます。

LCローパスフィルタの『周波数特性』

LCローパスフィルタの『周波数特性』

一例として、コイル\(L=10{\mathrm{[mH]}}\)、コンデンサ\(C=100{\mathrm{[μF]}}\)のLCローパスフィルタにおいて、負荷抵抗\(R\)を\(5{\mathrm{[{\Omega}]}},50{\mathrm{[{\Omega}]}},{\infty}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と変化させた時のゲイン\(|G(j{\omega})|\)と位相\({\theta}\)の周波数特性を上図に示しています。

LCローパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{10×10^{-3}×100×10^{-6}}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

カットオフ周波数\(f_C\)では、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)が直列共振しており、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加します。そのため、入力電圧\(V_{IN}\)が増幅されて出力されます。

ゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加具合は共振の鋭さ\(Q=R\sqrt{\displaystyle\frac{C}{L}}\)によって決まります。コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)の値は一定なので、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加具合は負荷抵抗\(R\)に依存します。負荷抵抗\(R\)が大きいとゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加が大きくなり、負荷抵抗\(R\)が小さいとゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加が抑えられます。

また、カットオフ周波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)で位相\({\theta}\)が-90°になっており、周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C\)より低い時は位相\({\theta}\)が0°~-90°、周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C\)より高い時は位相\({\theta}\)が-90°~-180°になっていることが分かります。

また、周波数\(f\)が高くて『\(1{\;}{\ll}{\;}{\omega}^2LC\)』とみなせる場合、『1』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\frac{R}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2({\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2{\omega}^4L^2C^2+{\omega}^2L^2}}\tag{5-2}
\end{eqnarray}

同じく、周波数\(f\)が高くて『\({\omega}^2L^2{\;}{\ll}{\;}R^2{\omega}^4L^2C^2\)』とみなせる場合、『\({\omega}^2L^2\)』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2{\omega}^4L^2C^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2{\omega}^4L^2C^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{\sqrt{{\omega}^4L^2C^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{{\omega}^2LC}
\end{eqnarray}

上式より、周波数\(f\)が10倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/1000になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{1000}=約-40{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、-40[dB/dec]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しています。

同様に、周波数fが2倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/4になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{4}=約-12{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、-12[dB/oct]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しているとも言います。

周波数fが2倍になることをoct(オクターブ)10倍になることをdec(ディケード)といいます。

LCローパスフィルタの『周波数特性』をLTspiceで描く方法

LCローパスフィルタの『周波数特性』をLTspiceで描く方法

『周波数特性』をLTspiceで描くためには『.ac解析』を用います。

上図にLTspiceで描いたLCローパスフィルタを示しています。コイル\(L=10{\mathrm{[mH]}}\)、コンデンサ\(C=100{\mathrm{[μF]}}\)のLCローパスフィルタにおいて、『.stepコマンド』を用いて、負荷抵抗\(R\)を\(5{\mathrm{[{\Omega}]}},50{\mathrm{[{\Omega}]}},1000000{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と変化させています。

VOUT端子の電圧をプロットすることで、周波数特性を出力することができるようになります。

.ac dec 100 10 10k』は『信号源(ここでは入力電圧\(V_{IN}\))の周波数を10Hz~10kHzに変化させる。この時、1ディケード(10倍)当たりのステップ数を100とする。』という意味です。

LTspiceでのAC解析の方法は下記の記事で説明していますので、ご参考にしてください。

【LTspice】周波数特性を観測する『.ac解析』の使い方と応用
【LTspice】周波数特性を観測する『.ac解析』の使い方と応用

続きを見る

また、LTspiceの『.stepコマンド』については下記の記事で説明していますので、ご参考にしてください。

measコマンドと組み合わせた時のシミュレーション結果
【LTspice】.stepコマンドとは

続きを見る

まとめ

この記事では『LCローパスフィルタ』について、以下の内容を説明しました。

  • LCローパスフィルタとは
  • LCローパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』
  • LCローパスフィルタの『周波数特性』

お読み頂きありがとうございました。

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