LCローパスフィルタの『伝達関数』や『周波数特性』について

この記事では『LCローパスフィルタ』について

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LCローパスフィルタとは

上図にLCローパスフィルタの回路構成を示しています。

LCローパスフィルタは、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)で構成されているローパスフィルタです。コンデンサ\(C\)は負荷(負荷抵抗\(R\))と並列に接続されています。入力電圧\(V_{IN}\)の低周波成分を通過させ、高周波成分を遮断します。

LCローパスフィルタは電力損失が小さいので、大電流を流す場合に向いています(理想的なコイルとコンデンサであれば、LCローパスフィルタで電力損失はありません)。

後ほど導出方法など詳細に説明しますが、LCローパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』の式と『周波数特性』をまとめると、下記のようになります。

LCローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

LCローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出方法について説明します。

『コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)』と『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)』と『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)』は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_L}&=&j{\omega}L\tag{2-1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2-2}\\
\\
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{2-3}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)と抵抗\(R\)は並列接続されています。コンデンサ\(C\)と抵抗\(R\)の並列インピーダンス\({\dot{Z}_{CR}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_{CR}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_C}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_R}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}+\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
&=&\frac{1}{j{\omega}C+\displaystyle\frac{1}{R}}\\
\\
&=&\frac{R}{1+j{\omega}CR}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

したがって、出力電圧\(V_{OUT}\)は入力電圧\(V_{IN}\)を\({\dot{Z}_L}\)と\({\dot{Z}_{CR}}\)で分圧しているので、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}&=&\frac{{\dot{Z}_{CR}}}{{\dot{Z}_L}+{\dot{Z}_{CR}}}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{R}{1+j{\omega}CR}}{j{\omega}L+\displaystyle\frac{R}{1+j{\omega}CR}}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{R}{j{\omega}L(1+j{\omega}CR)+R}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{R}{j{\omega}L-{\omega}^2LCR+R}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{R}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}V_{IN}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

LCローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-5)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{R}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

(2-6)式の分母には虚数単位\(j\)があります。ここで分子のみに虚数単位\(j\)がくるようにするために、分母と分子に『\(R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L\)』を掛けます。すると(2-6)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{R}{R(1-{\omega}^2LC)+j{\omega}L}×\frac{R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L}{R(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}L}\\
\\
&=&\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)-j{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\\
\\
&=&\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}-j\frac{{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がLCローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)となります。もう少し詳しく説明すると、LCローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)は(2-7)式において、『実部\(\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)の2乗』と『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができます。そのため、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}^2+\left\{\displaystyle\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{R^4(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2R^2}{\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{R^2\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}}{\left\{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{R^2}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\frac{R}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

なお、LCローパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル表示にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)とすると、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{R}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-9}
\end{eqnarray}

これで、LCローパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出は終わりです。

LCローパスフィルタの『伝達関数(ラプラス演算子を用いた場合)』

『ラプラス演算子\(s=j{\omega}\)』を用いると、伝達関数は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{R}{1+sCR}}{sL+\displaystyle\frac{R}{1+sCR}}\\
\\
&=&\frac{R}{sL(1+sCR)+R}\\
\\
&=&\frac{R}{s^2LCR+sL+R}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{1}{LC}}{s^2+\displaystyle\frac{1}{CR}s+\displaystyle\frac{1}{LC}}\tag{2-10}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)を上式で表している資料もよく見かけます。なお、分母の『ラプラス演算子\(s\)』の次数が2次なので、2次ローパスフィルタとなります。

一方、2次遅れ系の伝達関数は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\zeta}{\omega}_ns+{{\omega}_n}^2}\tag{2-11}
\end{eqnarray}

上式において\({\omega}_n\)は固有角周波数[rad/s]、\({\zeta}\)は減衰係数となります。

したがって、LCローパスフィルタの固有角周波数\({\omega}_n\)と減衰係数\({\zeta}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\omega}_n&=&\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{2-12}\\
\\
{\zeta}&=&\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}\tag{2-13}
\end{eqnarray}

また、共振の鋭さ\(Q\)と減衰係数\({\zeta}\)には『\({\zeta}=\displaystyle\frac{1}{2Q}\)』の関係があるので、共振の鋭さ\(Q\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Q&=&R\sqrt{\frac{C}{L}}\tag{2-14}
\end{eqnarray}

LCローパスフィルタの『カットオフ周波数』

LCローパスフィルタの『カットオフ周波数\(f_C\)』はコイル\(L\)とコンデンサ\(C\)の共振周波数であり、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
f_C=\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はLCローパスフィルタによって、カットオフ周波数\(f_C\)より低い成分の周波数はほとんど通過し、カットオフ周波数\(f_C\)より高い成分の周波数は減衰します。

LCローパスフィルタの『位相』

繰り返しになりますが、LCローパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}-j\frac{{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

複素平面(横軸は実数の目盛、縦軸は虚数の目盛であり、ガウス平面とも呼ばれている)上に(4-1)式のベクトルを描くと上図のようになります。このベクトル図よりLCローパスフィルタの位相\({\theta}\)を求めることができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{\displaystyle\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&=&\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left\{\frac{-{\omega}LR}{R^2(1-{\omega}^2LC)}\right\}{\mathrm{[rad]}}\tag{4-2}
\end{eqnarray}

周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C=\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\)より低い時は

\begin{eqnarray}
f&{\;}{\ll}{\;}&\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}&{\;}{\ll}{\;}&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}0&{\;}{\ll}{\;}&1-{\omega}^2LC\\
\end{eqnarray}

となるため、『実数\(\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)』が『プラス(+)』となります。この時、実数のベクトルが右向きになるため、位相\({\theta}\)は0°～－90°となります。

一方、周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C=\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\)より高い時は

\begin{eqnarray}
f&{\;}{\gg}{\;}&\displaystyle\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}&{\;}{\gg}{\;}&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}0&{\;}{\gg}{\;}&1-{\omega}^2LC\\
\end{eqnarray}

となるため、『実数\(\left\{\displaystyle\frac{R^2(1-{\omega}^2LC)}{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}\right\}\)』が『マイナス(-)』となります。この時、実数のベクトルが左向きになるため、位相\({\theta}\)は－90°～－180°となります。

LCローパスフィルタの『周波数特性』

一例として、コイル\(L=10{\mathrm{[mH]}}\)、コンデンサ\(C=100{\mathrm{[μF]}}\)のLCローパスフィルタにおいて、負荷抵抗\(R\)を\(5{\mathrm{[{\Omega}]}},50{\mathrm{[{\Omega}]}},{\infty}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と変化させた時のゲイン\(|G(j{\omega})|\)と位相\({\theta}\)の周波数特性を上図に示しています。

LCローパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{10×10^{-3}×100×10^{-6}}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

カットオフ周波数\(f_C\)では、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)が直列共振しており、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加します。そのため、入力電圧\(V_{IN}\)が増幅されて出力されます。

ゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加具合は共振の鋭さ\(Q=R\sqrt{\displaystyle\frac{C}{L}}\)によって決まります。コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)の値は一定なので、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加具合は負荷抵抗\(R\)に依存します。負荷抵抗\(R\)が大きいとゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加が大きくなり、負荷抵抗\(R\)が小さいとゲイン\(|G(j{\omega})|\)の増加が抑えられます。

また、カットオフ周波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)で位相\({\theta}\)が－90°になっており、周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C\)より低い時は位相\({\theta}\)が0°～－90°、周波数\(f\)がカットオフ周波数\(f_C\)より高い時は位相\({\theta}\)が－90°～－180°になっていることが分かります。

また、周波数\(f\)が高くて『\(1{\;}{\ll}{\;}{\omega}^2LC\)』とみなせる場合、『1』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\frac{R}{\sqrt{R^2(1-{\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2({\omega}^2LC)^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2{\omega}^4L^2C^2+{\omega}^2L^2}}\tag{5-2}
\end{eqnarray}

同じく、周波数\(f\)が高くて『\({\omega}^2L^2{\;}{\ll}{\;}R^2{\omega}^4L^2C^2\)』とみなせる場合、『\({\omega}^2L^2\)』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2{\omega}^4L^2C^2+{\omega}^2L^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{R}{\sqrt{R^2{\omega}^4L^2C^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{\sqrt{{\omega}^4L^2C^2}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{{\omega}^2LC}
\end{eqnarray}

上式より、周波数\(f\)が10倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/1000になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{1000}=約-40{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、－40[dB/dec]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しています。

同様に、周波数fが2倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が1/4になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}\displaystyle\frac{1}{4}=約-12{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が高い領域では、－12[dB/oct]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が減少しているとも言います。

LCローパスフィルタの『周波数特性』をLTspiceで描く方法

『周波数特性』をLTspiceで描くためには『.ac解析』を用います。

上図にLTspiceで描いたLCローパスフィルタを示しています。コイル\(L=10{\mathrm{[mH]}}\)、コンデンサ\(C=100{\mathrm{[μF]}}\)のLCローパスフィルタにおいて、『.stepコマンド』を用いて、負荷抵抗\(R\)を\(5{\mathrm{[{\Omega}]}},50{\mathrm{[{\Omega}]}},1000000{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と変化させています。

VOUT端子の電圧をプロットすることで、周波数特性を出力することができるようになります。

まとめ

この記事では『LCローパスフィルタ』について、以下の内容を説明しました。

お読み頂きありがとうございました。

当サイトでは電気に関する様々な情報を記載しています。当サイトの全記事一覧は以下のボタンから移動することができます。

全記事一覧

また、下記に当サイトの人気記事を記載しています。ご参考になれば幸いです。