• LC並列回路の『アドミタンス』の式・大きさ・ベクトル図・アドミタンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LC並列回路の『アドミタンス』

LC並列回路は上図に示すように、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(1)式と(2)式において、\(X_L\left(={\omega}L\right)\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

また、アドミタンスはインピーダンスの逆数なので、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)とコンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_L}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_L}}=\frac{1}{j{\omega}L}=-j\frac{1}{{\omega}L}\tag{3}\\
\\
{\dot{Y}_C}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_C}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}=j{\omega}C\tag{4}
\end{eqnarray}

LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)はそれぞれのアドミタンスを足したものなので次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&{\dot{Y}_L}+{\dot{Y}_C}\\
\\
&=&\frac{1}{j{\omega}L}+j{\omega}C\\
\\
&=&-j\frac{1}{{\omega}L}+j{\omega}C\\
\\
&=&j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)\\
\\
&=&j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)\tag{5}
\end{eqnarray}

以上より、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)は次式となります。

LC並列回路の『アドミタンス』の大きさ

先ほど次式で表されるアドミタンス\({\dot{Y}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right){\mathrm{[S]}}\\
\\
&=&j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right){\mathrm{[S]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

LC並列回路のアドミタンスの大きさ\(Y\)は(7)式のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、アドミタンスの大きさ\(Y\)は(7)式において、『虚部\(\left({\omega}C-\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}\right)\)の2乗』の平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

LC並列回路の『アドミタンス』のベクトル図

LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)の『ベクトル図』は下記のステップで描くことができます。

では各ステップについて順番に説明していきます。

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトルを描く

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_L}=-j\frac{1}{{\omega}L}\tag{9}
\end{eqnarray}

そのため、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトル方向は実軸を時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(-j\)』が付くとベクトルが時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_L=|{\dot{Y}_L}|=\displaystyle\sqrt{\left(\frac{1}{{\omega}L}\right)^2}=\frac{1}{{\omega}L}=\frac{1}{X_L}\tag{10}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルを描く

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C\tag{11}
\end{eqnarray}

そのため、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります(式に『\(+j\)』が付くとベクトルが反時計周りに90°回転します)。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

また、コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Y_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Y_C=|{\dot{Y}_C}|=\displaystyle\sqrt{\left({\omega}C\right)^2}={\omega}C=\frac{1}{X_C}\tag{12}
\end{eqnarray}

各ベクトルを合成する

『コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)』と『コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)』のベクトルの合成が LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル図となります。

繰り返しになりますが、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)とその大きさ\(Y\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)=j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)=j\left(Y_C-Y_L\right){\mathrm{[S]}}\tag{13}\\
\\
Y&=&\left|{\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right|=\left|\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right|=\left|Y_C-Y_L\right|{\mathrm{[S]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

上式において『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向が変わるので注意が必要です。

• \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
• \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
• \(X_L=X_C\)の時

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}{\;}{\gt}{\;}\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L{\;}{\lt}{\;}Y_C\tag{15}
\end{eqnarray}

『コイル\(L\)のアドミタンスの大きさ\(Y_L\)』の方が『コンデンサ\(C\)のアドミタンスの大きさ\(Y_C\)』よりも小さいため、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向は上向きになります。

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}{\;}{\lt}{\;}\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L{\;}{\gt}{\;}Y_C\tag{16}
\end{eqnarray}

『コイル\(L\)のアドミタンスの大きさ\(Y_L\)』の方が『コンデンサ\(C\)のアドミタンスの大きさ\(Y_C\)』よりも大きいため、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)のベクトル方向は下向きになります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L=X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&\frac{1}{Y_L}=\frac{1}{Y_C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_L=Y_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&Y_C-Y_L=0\tag{17}
\end{eqnarray}

この時、LC並列回路のアドミタンス\({\dot{Y}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}}&=&j\left({\omega}C-\frac{1}{{\omega}L}\right)\\
\\
&=&j\left(Y_C-Y_L\right)\\
\\
&=&j\left(0\right)\\
\\
&=&0\tag{18}
\end{eqnarray}

合成アドミタンス\({\dot{Y}}\)は『ゼロ』になるため、ベクトルがありません。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_C}=j{\omega}C\tag{19}
\end{eqnarray}

コンデンサ\(C\)のアドミタンス\({\dot{Y}_C}\)の式には『\(+j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Y}_C}\)の向きは実軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Y}_L}=-j\frac{1}{{\omega}L}\tag{20}
\end{eqnarray}

コイル\(L\)のアドミタンス\({\dot{Y}_L}\)の式には『\(-j\)』が付いているので、ベクトル\({\dot{Y}_L}\)の向きは実軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

LC並列回路の『アドミタンス角』

『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係によって、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)が異なります。

• \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は以下の値になります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}=\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{21}
    \end{eqnarray}
• \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』の方が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は以下の値になります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}=-\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{22}
    \end{eqnarray}
• \(X_L=X_C\)の場合
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、LC並列回路のアドミタンス角\({\theta}\)は以下の値になります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}=0{\mathrm{[rad]}}\tag{23}
    \end{eqnarray}

まとめ

この記事ではLC並列回路の『アドミタンス』について、以下の内容を説明しました。

• LC並列回路の『アドミタンス』の式・大きさ・ベクトル図・アドミタンス角

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この記事ではLC並列回路の『合成インピーダンス』について

• LC並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LC並列回路の『合成インピーダンス』

LC並列回路は上図に示すように、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続した回路です。

コイル\(L\)の自己インダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。この時、コイル\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}_L}\)とコンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_L&=&jX_L=j{\omega}L\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

(1)式と(2)式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(コイル\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

なお、リアクタンスについては下記の記事で詳しく説明していますので、参考になると幸いです。

『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_L}}+\frac{1}{{\dot{Z}_C}}\\
\\
&=&\frac{1}{j{\omega}L}+\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}}\\
\\
&=&\frac{1}{j{\omega}L}+j{\omega}C\\
\\
&=&\frac{1-{\omega}^2LC}{j{\omega}L}\tag{3}
\end{eqnarray}

(3)式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=\frac{j{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}=j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\tag{4}
\end{eqnarray}

以上より、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

なお、下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係によって、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)が「誘導性になるか？」「容量性になるか？」「無限大(∞)になるか」が決まります。

• \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
• \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合
• \(X_L=X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}L{\;}{\lt}{\;}\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}1\\
\\
{\Leftrightarrow}&&1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\tag{6}
\end{eqnarray}

この場合、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)が『正(プラス)』になるため(言い換えると、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『正(プラス)』になるため)、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は誘導性となります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}L{\;}{\gt}{\;}\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}1\\
\\
{\Leftrightarrow}&&1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0\tag{7}
\end{eqnarray}

この場合、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)が『負(マイナス)』になるため(言い換えると、虚数単位『\(j\)』にかかる値が『負(マイナス)』になるため)、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は容量性となります。

\(X_L=X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
&&X_L=X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}L=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&{\omega}^2LC=1\\
\\
{\Leftrightarrow}&&1-{\omega}^2LC=0\tag{8}
\end{eqnarray}

この場合、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\\
\\
&=&j\frac{{\omega}L}{0}\\
\\
&=&∞\tag{9}
\end{eqnarray}

このような『誘導性リアクタンス\(X_L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\)』が等しい場合、回路は並列共振している状態であり、コイル\(L\)とコンデンサ\(C\)の並列回路の部分は開放状態となります。そのため、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)が『\({\dot{Z}}=∞\)』になるのです。なお、並列共振が成り立つ時の角周波数\({\omega}\)及び周波数\(f\)は下記となります。

\begin{eqnarray}
X_L&=&X_C\\
\\
{\omega}L&=&\frac{1}{{\omega}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}&=&\frac{1}{\displaystyle\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}f&=&\frac{1}{2{\pi}\displaystyle\sqrt{LC}}\tag{10}
\end{eqnarray}

LC並列回路の『合成インピーダンス』の大きさ

先ほど次式で表される合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)を求めました。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\tag{11}
\end{eqnarray}

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(11)式の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の絶対値となります。

もう少し詳しく説明すると、合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は(11)式において、『虚部\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)の2乗』の平方根を取ることで求めることができ、式で表すと次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{\left(\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\right)^2}=\left|\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\right|\tag{12}
\end{eqnarray}

次に(12)式を『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』で表すために、分母と分子を\({\omega}L\)で割ります。

\begin{eqnarray}
Z&=&\left|\frac{\displaystyle\frac{{\omega}L}{{\omega}L}}{\displaystyle\frac{1-{\omega}^2LC}{{\omega}L}}\right|\\
\\
&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\omega}L}-{\omega}C}\right|\\
\\
&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}}\right|\tag{13}
\end{eqnarray}

以上より、LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。

LC並列回路の『合成インピーダンス』のベクトル図

繰り返しになりますが、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\tag{15}
\end{eqnarray}

また、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの大きさ(長さ)\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z&=&|{\dot{Z}}|\\
\\
&=&\left|\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\right|\tag{16}
\end{eqnarray}

LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向は下記に示している『誘導性リアクタンス\(X_L(={\omega}L)\)』と『容量性リアクタンス\(X_C\left(=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)\)』の大小関係により向きが異なります。

• \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合
• \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合は『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』となります。

したがって、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)が『正(プラス)』になるため、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向は実軸を反時計周りに90°回転した向きになります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

ゆえに、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向は上向きになります。

\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の場合

『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合は『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0\)』となります。

したがって、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\)が『負(マイナス)』になるため、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトル方向は実軸を時計周りに90°回転した向きになります。ベクトルの向きの決め方については後ほど詳しく説明します。

ゆえに、合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)のベクトルの方向下向きになります。

ベクトルの向きについて

ベクトルの向きの決め方についてもう少し詳しく説明します。

LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=j\frac{{\omega}L}{1-{\omega}^2LC}\tag{17}
\end{eqnarray}

『\(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)』の場合、『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\gt}{\;}0\)』になるため、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値が『正(プラス)』になります。したがって、ベクトル\({\dot{Z}}\)の向きは実軸を反時計周りに90°回転した向きとなります。

『\(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)』の場合、『\(1-{\omega}^2LC{\;}{\lt}{\;}0\)』になるため、LC並列回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)の虚数単位『\(j\)』にかかる値が『負(マイナス)』になります。したがって、ベクトル\({\dot{Z}}\)の向きは実軸を時計周りに90°回転した向きとなります。

LC並列回路の『インピーダンス角』

『誘導性リアクタンス\(X_L={\omega}L\)』と『容量性リアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)』の大小により、インピーダンス角\({\theta}\)が異なります。

• \(X_L{\;}{\lt}{\;}X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも小さい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}=\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{18}
    \end{eqnarray}
• \(X_L{\;}{\gt}{\;}X_C\)の時
  • 『誘導性リアクタンス\(X_L\)』が『容量性リアクタンス\(X_C\)』よりも大きい場合、インピーダンス角\({\theta}\)は以下の値となります。
    \begin{eqnarray}
    {\theta}=-\frac{{\pi}}{2}{\mathrm{[rad]}}\tag{19}
    \end{eqnarray}

まとめ

この記事ではLC並列回路の『合成インピーダンス』について、以下の内容を説明しました。

• LC並列回路の『合成インピーダンス』の式・大きさ・ベクトル図・インピーダンス角

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従来、これらの部品は、リード線で基板に接続されていました。しかし、この方法は、1枚の基板に多数の部品を搭載する小型の機器には適していません。そこで、新しい方法としてリード線を使わず、基板に直接部品を実装する「表面実装(SMT)」という方法があります。「表面実装」は現在ではプリント基板製造において、最も一般的に使用されている技術です。

この記事では『SMT(表面実装)』について

• 表面実装(SMT)とは
• 表面実装(SMT)のプロセス(ソルダペースト印刷、部品の配置、リフローはんだ付け、AOI)

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

表面実装(SMT)とは？

表面実装は、プリント基板に表面実装部品(SMD: Surface Mount Device)を直接実装する技術です。表面実装はSMT(Surface mount technology)とも呼ばれています。現在では、「リード線で基板に接続するスルーホール実装」よりも「表面実装」の方が広く使われていますが、同じ基板上に両方の方法を並行して使用することも可能です。

表面実装(SMT)の工程

表面実装(SMT)の組立工程は、下記のステップで行われています。

では順番に各工程について説明します。

工程1：ソルダペースト印刷

まず、プリント基板にソルダーペーストを印刷します。ソルダーペーストはクリーム状のはんだのことです。クリームはんだとも呼ばれています。プリント基板や電子機器メーカーで広く使われているのが、ソルダペースト印刷のためのステンシルです。ステンシルとは、表面実装(SMT)において、プリント基板上にハンダペーストを印刷する際に用いられる治具のことを指します。 

工程2：部品の配置

次に、表面実装の部品をチップマウンターで配置します。チップマウンターは、指定された場所に部品を配置するようにプログラムされます。上図に示している機械では、1時間に20000〜30000個の部品を実装することが可能です。 

工程3：リフローはんだ付け

ソルダペーストと部品を搭載したプリント基板は、リフロー炉に5〜7分通します。この時にはんだを溶かし固化させています。 

行程4：AOI(自動工学検査)

プリント基板の製造上の欠陥をチェックし評価するために、AOI(自動工学検査)を行います。AOI(自動工学検査)とは、カメラでプリント基板の外観を撮影する検査であり、「半田不良」、「寸法不良」、「部品配置不良」「異物付着」などを検出します。

まとめ

この記事では『SMT(表面実装)』について、以下の内容を説明しました。

• 表面実装(SMT)とは
• 表面実装(SMT)のプロセス(ソルダペースト印刷、部品の配置、リフローはんだ付け、AOI)

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などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

絶縁抵抗試験とは

絶縁抵抗試験は、絶縁物に直流電圧を印加した時に測定できる絶縁抵抗値が規定の数値以上であるかどうかを確認する試験です(規定の数値については後ほど説明します)。この試験では、漏電や感電に関して、十分な絶縁性能があるかを評価しています。

絶縁物の絶縁抵抗値を測定するときには、絶縁抵抗計(メガーとも呼ばれている)を用います。絶縁抵抗計で絶縁物に直流電圧を印加すると、非常に小さい電流(漏れ電流)が流れます。印加している直流電圧を\(V{\mathrm{[V]}}\)、この時に流れる直流電流を\(I{\mathrm{[μA]}}\)とすると、絶縁抵抗値\(R{\mathrm{[M{\Omega}]}}\)はオームの法則より次式となります。

\begin{eqnarray}
R{\mathrm{[M{\Omega}]}}=\frac{V{\mathrm{[V]}}}{I{\mathrm{[μA]}}}
\end{eqnarray}

絶縁抵抗試験の「測定方法・やり方」

絶縁抵抗の測定箇所は大きく分けて下記の2つがあります。

• 電路と大地間
• 電路の電線相互間

それぞれの測定方法を順番に説明します。

絶縁抵抗の測定方法(電路と大地間)

• 開閉器を開放状態(OFF)にして、電源側と負荷側(電子機器がつながる側)を切り離す。
• 負荷側を接続状態にする。
  • 例えば、負荷側に電球がある場合、電球を取り付けて、スイッチをONにします。また、電子機器(パソコンなど)がある場合、コンセントを挿した状態にします。
• 負荷側にある電路の2線を接続する。また、絶縁抵抗計のE端子(アース端子)を接地極に接続し、絶縁抵抗計のL端子(ライン端子)を電路に接続する。
• 絶縁抵抗計の測定ボタンを押して、絶縁抵抗を測定する。

絶縁抵抗の測定方法(電路の電線相互間)

• 開閉器を開放状態(OFF)にして、電源側と負荷側(電子機器がつながる側)を切り離す。
• 負荷側を開放状態にする。
  • 例えば、負荷側に電球がある場合、電球を取り外します(この時、スイッチはONのまま)。また、電子機器(パソコンなど)のコンセントは抜いた状態にします。
• 絶縁抵抗計のE端子(アース端子)とL端子(ライン端子)を電路に接続する。
• 絶縁抵抗計の測定ボタンを押して、絶縁抵抗を測定する。

絶縁抵抗試験の判定

絶縁抵抗を測定したら、その絶縁抵抗値がOKなのかNGなのかを判断する必要があります。絶縁抵抗値は「電気設備に関する技術基準を定める省令、第58条」において、規定されており、上表に示す絶縁抵抗値以上であることが必要です。

例えば、電路の電圧が300V以下で対地電圧が150V以下の場合(例えば、単相2線式など)、測定した絶縁抵抗値が「0.1MΩ以上だったらOK！」ということを意味しています。絶縁抵抗値が0.1MΩよりも小さい場合にはNGになります。

「絶縁抵抗試験」と「耐電圧試験(絶縁耐圧試験)」の違い

絶縁抵抗試験と耐電圧試験(絶縁耐力試験)はどちらも絶縁物の絶縁性能を確認するための試験です。ではこれらの違いは何でしょうか。

絶縁抵抗試験は、絶縁物に一定の直流電圧を印加することによって流れる小さな電流(漏れ電流)により、絶縁抵抗を算出し、絶縁抵抗値が規定の数値以上であるかを確認する試験です。一方、耐電圧試験は絶縁物に直流または交流の高電圧を印加した時に、絶縁破壊されないかを確認する試験です。

耐電圧試験では絶縁破壊する電圧を調べているので、測定対象に印加する電圧は絶縁抵抗試験よりも耐電圧試験の方が大きくなります。

まとめ

この記事では『絶縁抵抗試験』について、以下の内容を説明しました。

• 絶縁抵抗試験とは
• 絶縁抵抗試験の「測定方法」と「判定」
• 「絶縁抵抗試験」と「耐電圧試験(絶縁耐力試験)」の違い

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この記事では『RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について

• RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RLC並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力

上図に示しているのは抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続したRLC並列回路です。一例としてRLC並列回路のパラメータは下記としています。

• 電源電圧：\({\dot{V}}=100{\;}{\mathrm{[V]}}\)
• 電源電圧\({\dot{V}}\)の周波数：\(f=60{\;}{\mathrm{[Hz]}}\)
• 抵抗\(R\)の抵抗値：\(R=50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)
• インダクタ\(L\)のインダクタンス：\(L=66.4{\;}{\mathrm{[mH]}}\)
• コンデンサ\(C\)のキャパシタンス：\(C=53{\;}{\mathrm{[μF]}}\)

このRLC並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)は下記の手順(ステップ1～4)で求めることができます。

では、これから各手順について順番に説明します。上図に示している「図1：RLC並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力」を見ながらこの記事を読むと理解しやすくなると思います。

RLC並列回路のインピーダンスの大きさを求める

「抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)」と「インダクタ\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)」と「コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)」はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}\tag{3}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(インダクタ\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

ここで、誘導性リアクタンス\(X_L\)と容量性リアクタンス\(X_C\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X_L&=&{\omega}L=2{\pi}fL=2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}66.4×10^{-3}{\;}{\approx}{\;}25{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}\\
\\
X_C&=&\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{2{\pi}fC}=\frac{1}{2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}53×10^{-6}}{\;}{\approx}{\;}50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

ここで、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)の合成リアクタンス\(X\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}}\right|=\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{25}-\displaystyle\frac{1}{50}}\right|=50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_L}}+\frac{1}{{\dot{Z}_C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_L}+\frac{1}{-jX_C}\\
\\
&=&\frac{1}{R}-j\frac{1}{X_L}+j\frac{1}{X_C}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)\tag{7}
\end{eqnarray}

上式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_L}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_C}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)}\tag{8}
\end{eqnarray}

RLC並列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は(8)式で示した「\({\dot{Z}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)}\)」の絶対値であるため、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{50}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{50}-\displaystyle\frac{1}{25}\right)^2}}\\
\\
&=&25\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

RLC並列回路に流れる電流の大きさを求める

電源電圧の大きさ\(V\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V=|{\dot{V}}|=|100|=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

(9)式と(10)式より、RLC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{Z}=\frac{100}{25\sqrt{2}}=2\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

並列回路なので「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)」と「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」は「電源電圧の大きさ\(V\)」と等しくなり、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
V=V_R=V_L=V_C=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{12}
\end{eqnarray}

そのため、「抵抗\(R\)に流れる電流の大きさ\(I_R\)」と「インダクタ\(L\)に流れる電流の大きさ\(I_L\)」と「コンデンサ\(C\)に流れる電流の大きさ\(I_C\)」は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I_R&=&\frac{V_R}{R}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{13}\\
\\
I_L&=&\frac{V_L}{X_L}=\frac{100}{25}=4{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{14}\\
\\
I_C&=&\frac{V_C}{X_C}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{15}
\end{eqnarray}

また、合成リアクタンス\(X\)に流れる電流の大きさ\(I_X\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I_X=\frac{V}{X}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{16}
\end{eqnarray}

(16)式から分かるように、合成リアクタンス\(X\)に流れる電流の大きさ\(I_X\)は「インダクタ\(L\)に流れる電流の大きさ\(I_L\)」と「コンデンサ\(C\)に流れる電流の大きさ\(I_C\)」の差(\(|I_L-I_C|\))になります。

RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)を求める

RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「抵抗\(R\)」における「インピーダンスの大きさ\(Z\)」の比率であり、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{Z}{R}=\frac{25\sqrt{2}}{50}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{17}
\end{eqnarray}

RLC並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を求める

「電源電圧の大きさ\(V\)」、「RLC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」、「RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)」を求めれば、有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を計算することができます。

【RLC並列回路】皮相電力\(S\)の求め方

まず、皮相電力\(S\)から求めてみましょう。皮相電力\(S\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
S=VI=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}=200\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[VA]}}\tag{19}
\end{eqnarray}

【RLC並列回路】有効電力\(P\)の求め方

では次に、有効電力\(P\)を求めてみましょう。有効電力\(P\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
P=VI{\cos}{\theta}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\frac{1}{\sqrt{2}}=200{\;}{\mathrm{[W]}}\tag{22}
\end{eqnarray}

【RLC並列回路】無効電力\(Q\)の求め方

最後に、無効電力\(Q\)を求めてみましょう。無効電力\(Q\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Q=VI{\sin}{\theta}=VI\sqrt{1-{\cos}^2{\theta}}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=200{\;}{\mathrm{[var]}}\tag{25}
\end{eqnarray}

なお、RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「皮相電力\(S\)」における「有効電力\(P\)」の比率でも求めることができます。計算すると、次式のようになり、(17)式や(18)式と等しくなることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{P}{S}=\frac{200}{200\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{28}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について、以下の内容を説明しました。

• RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

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この記事では『RC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について

• RC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RC並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力

上図に示しているのは抵抗\(R\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続したRC並列回路です。一例としてRC並列回路のパラメータは下記としています。

• 電源電圧：\({\dot{V}}=100{\;}{\mathrm{[V]}}\)
• 電源電圧\({\dot{V}}\)の周波数：\(f=60{\;}{\mathrm{[Hz]}}\)
• 抵抗\(R\)の抵抗値：\(R=50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)
• コンデンサ\(C\)のキャパシタンス：\(C=53{\;}{\mathrm{[μF]}}\)

このRC並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)は下記の手順(ステップ1～4)で求めることができます。

では、これから各手順について順番に説明します。上図に示している「図1：RC並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力」を見ながらこの記事を読むと理解しやすくなると思います。

RC並列回路のインピーダンスの大きさを求める

「抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)」と「コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)」はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

ここで、容量性リアクタンス\(X_C\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X_C=\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{2{\pi}fC}&=&\frac{1}{2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}53×10^{-6}}\\
\\
&{\approx}&50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{-jX_C}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\frac{1}{X_C}\tag{4}
\end{eqnarray}

上式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_C}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\displaystyle\frac{1}{X_C}}\tag{5}
\end{eqnarray}

RC並列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は(5)式で示した「\({\dot{Z}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\displaystyle\frac{1}{X_C}}\)」の絶対値であるため、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{50}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{50}\right)^2}}\\
\\
&=&25\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

RC並列回路に流れる電流の大きさを求める

電源電圧の大きさ\(V\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V=|{\dot{V}}|=|100|=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

(6)式と(7)式より、RC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{Z}=\frac{100}{25\sqrt{2}}=2\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

並列回路なので「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」は「電源電圧の大きさ\(V\)」と等しくなり、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
V=V_R=V_C=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

そのため、「抵抗\(R\)に流れる電流の大きさ\(I_R\)」と「コンデンサ\(C\)に流れる電流の大きさ\(I_C\)」は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I_R&=&\frac{V_R}{R}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{10}\\
\\
I_C&=&\frac{V_C}{X_C}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

RC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)を求める

RC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「抵抗\(R\)」における「インピーダンスの大きさ\(Z\)」の比率であり、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{Z}{R}=\frac{25\sqrt{2}}{50}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{12}
\end{eqnarray}

RC並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を求める

「電源電圧の大きさ\(V\)」、「RC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」、「RC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)」を求めれば、有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を計算することができます。

【RC並列回路】皮相電力\(S\)の求め方

まず、皮相電力\(S\)から求めてみましょう。皮相電力\(S\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
S=VI=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}=200\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[VA]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

【RC並列回路】有効電力\(P\)の求め方

では次に、有効電力\(P\)を求めてみましょう。有効電力\(P\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
P=VI{\cos}{\theta}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\frac{1}{\sqrt{2}}=200{\;}{\mathrm{[W]}}\tag{17}
\end{eqnarray}

【RC並列回路】無効電力\(Q\)の求め方

最後に、無効電力\(Q\)を求めてみましょう。無効電力\(Q\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Q=VI{\sin}{\theta}=VI\sqrt{1-{\cos}^2{\theta}}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=200{\;}{\mathrm{[var]}}\tag{20}
\end{eqnarray}

なお、RC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「皮相電力\(S\)」における「有効電力\(P\)」の比率でも求めることができます。計算すると、次式のようになり、(12)式や(13)式と等しくなることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{P}{S}=\frac{200}{200\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{23}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『RC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について、以下の内容を説明しました。

• RC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

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この記事では『RL並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について

• RL並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RL並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力

上図に示しているのは抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)を並列に接続したRL並列回路です。一例としてRL並列回路のパラメータは下記としています。

• 電源電圧：\({\dot{V}}=100{\;}{\mathrm{[V]}}\)
• 電源電圧\({\dot{V}}\)の周波数：\(f=60{\;}{\mathrm{[Hz]}}\)
• 抵抗\(R\)の抵抗値：\(R=50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)
• インダクタ\(L\)のインダクタンス：\(L=132.7{\;}{\mathrm{[mH]}}\)

このRL並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)は下記の手順(ステップ1～4)で求めることができます。

では、これから各手順について順番に説明します。上図に示している「図1：RL並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力」を見ながらこの記事を読むと理解しやすくなると思います。

RL並列回路のインピーダンスの大きさを求める

「抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)」と「インダクタ\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)」はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(インダクタ\(L\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

ここで、誘導性リアクタンス\(X_L\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X_L={\omega}L=2{\pi}fL&=&2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}132.7×10^{-3}\\
\\
&{\approx}&50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RL並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_L}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_L}\\
\\
&=&\frac{1}{R}-j\frac{1}{X_L}\tag{4}
\end{eqnarray}

上式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_L}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}-j\displaystyle\frac{1}{X_L}}\tag{5}
\end{eqnarray}

RL並列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は(5)式で示した「\({\dot{Z}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}-j\displaystyle\frac{1}{X_L}}\)」の絶対値であるため、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{50}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{50}\right)^2}}\\
\\
&=&25\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

RL並列回路に流れる電流の大きさを求める

電源電圧の大きさ\(V\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V=|{\dot{V}}|=|100|=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

(6)式と(7)式より、RL並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{Z}=\frac{100}{25\sqrt{2}}=2\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

並列回路なので「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)」は「電源電圧の大きさ\(V\)」と等しくなり、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
V=V_R=V_L=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

そのため、「抵抗\(R\)に流れる電流の大きさ\(I_R\)」と「インダクタ\(L\)に流れる電流の大きさ\(I_L\)」は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I_R&=&\frac{V_R}{R}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{10}\\
\\
I_L&=&\frac{V_L}{X_L}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

RL並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)を求める

RL並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「抵抗\(R\)」における「インピーダンスの大きさ\(Z\)」の比率であり、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{Z}{R}=\frac{25\sqrt{2}}{50}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{12}
\end{eqnarray}

RL並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を求める

「電源電圧の大きさ\(V\)」、「RL並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」、「RL並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)」を求めれば、有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を計算することができます。

【RL並列回路】皮相電力\(S\)の求め方

まず、皮相電力\(S\)から求めてみましょう。皮相電力\(S\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
S=VI=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}=200\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[VA]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

【RL並列回路】有効電力\(P\)の求め方

では次に、有効電力\(P\)を求めてみましょう。有効電力\(P\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
P=VI{\cos}{\theta}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\frac{1}{\sqrt{2}}=200{\;}{\mathrm{[W]}}\tag{17}
\end{eqnarray}

【RL並列回路】無効電力\(Q\)の求め方

最後に、無効電力\(Q\)を求めてみましょう。無効電力\(Q\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Q=VI{\sin}{\theta}=VI\sqrt{1-{\cos}^2{\theta}}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=200{\;}{\mathrm{[var]}}\tag{20}
\end{eqnarray}

なお、RL並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「皮相電力\(S\)」における「有効電力\(P\)」の比率でも求めることができます。計算すると、次式のようになり、(12)式や(13)式と等しくなることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{P}{S}=\frac{200}{200\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{23}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『RL並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について、以下の内容を説明しました。

• RL並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

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この記事では『RLC直列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について

• RLC直列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RLC直列回路の有効電力・無効電力・皮相電力

上図に示しているのは抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列に接続したRLC直列回路です。一例としてRLC直列回路のパラメータは下記としています。

• 電源電圧：\({\dot{V}}=200{\;}{\mathrm{[V]}}\)
• 電源電圧\({\dot{V}}\)の周波数：\(f=60{\;}{\mathrm{[Hz]}}\)
• 抵抗\(R\)の抵抗値：\(R=50\sqrt{3}{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)
• インダクタ\(L\)のインダクタンス：\(L=265.4{\;}{\mathrm{[mH]}}\)
• コンデンサ\(C\)のキャパシタンス：\(C=53{\;}{\mathrm{[μF]}}\)

このRLC直列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)は下記の手順(ステップ1～4)で求めることができます。

では、これから各手順について順番に説明します。上図に示している「図1：RLC直列回路の有効電力・無効電力・皮相電力」を見ながらこの記事を読むと理解しやすくなると思います。

RLC直列回路のインピーダンスの大きさを求める

「抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)」と「インダクタ\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)」と「コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)」はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}\tag{3}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(インダクタ\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

ここで、誘導性リアクタンス\(X_L\)と容量性リアクタンス\(X_C\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X_L&=&{\omega}L=2{\pi}fL=2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}265.4×10^{-3}{\;}{\approx}{\;}100{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}\\
\\
X_C&=&\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{2{\pi}fC}=\frac{1}{2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}53×10^{-6}}{\;}{\approx}{\;}50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

誘導性リアクタンス\(X_L\)と容量性リアクタンス\(X_C\)の差を合成リアクタンス\(X\)といいます。合成リアクタンス\(X\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X&=&|X_L-X_C|=|100-50|=50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

RLC直列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)はそれぞれのインピーダンスを足したものなので、以下の式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&{\dot{Z}_R}+{\dot{Z}_L}+{\dot{Z}_C}\\
\\
&=&R+jX_L-jX_C\\
\\
&=&R+j(X_L-X_C)\\
\\
&=&50\sqrt{3}+j(100-50)\\
\\
&=&50\sqrt{3}+j50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

RLC直列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は(7)式で示した「\({\dot{Z}}=R+j(X_L-X_C)\)」の絶対値であるため、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|&=&\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\\
\\
&=&\sqrt{(50\sqrt{3})^2+(100-50)^2}\\
\\
&=&\sqrt{(50\sqrt{3})^2+50^2}\\
\\
&=&100{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

RLC直列回路に流れる電流の大きさを求める

電源電圧の大きさ\(V\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V=|{\dot{V}}|=|200|=200{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

(8)式と(9)式より、RLC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{Z}=\frac{200}{100}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

直列回路なので「抵抗\(R\)に流れる電流の大きさ\(I_R\)」と「インダクタ\(L\)に流れる電流の大きさ\(I_L\)」と「コンデンサ\(C\)に流れる電流の大きさ\(I_C\)」は「RLC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」と等しくなり、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I=I_R=I_L=I_C=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

そのため、「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)」と「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
V_R&=&I_RR=2{\;}{\cdot}{\;}50\sqrt{3}=100\sqrt{3}{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{12}\\
\\
V_L&=&I_LX_L=2{\;}{\cdot}{\;}100=200{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{13}\\
\\
V_C&=&I_CX_C=2{\;}{\cdot}{\;}50=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

また、合成リアクタンス\(X\)にかかる電圧の大きさ\(V_X\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
V_X=IX=2{\;}{\cdot}{\;}50=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{15}
\end{eqnarray}

(15)式から分かるように、合成リアクタンス\(X\)にかかる電圧の大きさ\(V_X\)は「インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)」と「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」の差(\(|V_L-V_C|\))になります。

RLC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)を求める

RLC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「インピーダンスの大きさ\(Z\)」における「抵抗\(R\)」の比率であり、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{R}{Z}=\frac{50\sqrt{3}}{100}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tag{16}
\end{eqnarray}

RLC直列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を求める

「電源電圧の大きさ\(V\)」、「RLC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」、「RLC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)」を求めれば、有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を計算することができます。

【RLC直列回路】皮相電力\(S\)の求め方

まず、皮相電力\(S\)から求めてみましょう。皮相電力\(S\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
S=VI=200{\;}{\cdot}{\;}2=400{\;}{\mathrm{[VA]}}\tag{18}
\end{eqnarray}

【RLC直列回路】有効電力\(P\)の求め方

では次に、有効電力\(P\)を求めてみましょう。有効電力\(P\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
P=VI{\cos}{\theta}=200{\;}{\cdot}{\;}2{\;}{\cdot}{\;}\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}{\;}{\mathrm{[W]}}\tag{21}
\end{eqnarray}

【RLC直列回路】無効電力\(Q\)の求め方

最後に、無効電力\(Q\)を求めてみましょう。無効電力\(Q\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Q=VI{\sin}{\theta}=VI\sqrt{1-{\cos}^2{\theta}}=200{\;}{\cdot}{\;}2{\;}{\cdot}{\;}\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=200{\;}{\mathrm{[var]}}\tag{24}
\end{eqnarray}

なお、RLC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「皮相電力\(S\)」における「有効電力\(P\)」の比率でも求めることができます。計算すると、次式のようになり、(16)式や(17)式と等しくなることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{P}{S}=\frac{200\sqrt{3}}{400}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tag{27}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『RLC直列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について、以下の内容を説明しました。

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この記事では『RC直列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について

• RC直列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RC直列回路の有効電力・無効電力・皮相電力

上図に示しているのは抵抗\(R\)とコンデンサ\(C\)を直列に接続したRC直列回路です。一例としてRC直列回路のパラメータは下記としています。

• 電源電圧：\({\dot{V}}=200{\;}{\mathrm{[V]}}\)
• 電源電圧\({\dot{V}}\)の周波数：\(f=60{\;}{\mathrm{[Hz]}}\)
• 抵抗\(R\)の抵抗値：\(R=50\sqrt{3}{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)
• コンデンサ\(C\)のキャパシタンス：\(C=53{\;}{\mathrm{[μF]}}\)

このRC直列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)は下記の手順(ステップ1～4)で求めることができます。

では、これから各手順について順番に説明します。上図に示している「図1：RC直列回路の有効電力・無効電力・皮相電力」を見ながらこの記事を読むと理解しやすくなると思います。

RC直列回路のインピーダンスの大きさを求める

「抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)」と「コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)」はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}\tag{2}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

ここで、容量性リアクタンス\(X_C\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X_C=\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{2{\pi}fC}&=&\frac{1}{2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}53×10^{-6}}\\
\\
&{\approx}&50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

RC直列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)はそれぞれのインピーダンスを足したものなので、以下の式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&{\dot{Z}_R}+{\dot{Z}_C}\\
\\
&=&R-jX_C\\
\\
&=&50\sqrt{3}-j50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

RC直列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は(4)式で示した「\({\dot{Z}}=R-jX_C\)」の絶対値であるため、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|&=&\sqrt{R^2+{X_C}^2}\\
\\
&=&\sqrt{(50\sqrt{3})^2+50^2}\\
\\
&=&100{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

RC直列回路に流れる電流の大きさを求める

電源電圧の大きさ\(V\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V=|{\dot{V}}|=|200|=200{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

(5)式と(6)式より、RC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{Z}=\frac{200}{100}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

直列回路なので「抵抗\(R\)に流れる電流の大きさ\(I_R\)」と「コンデンサ\(C\)に流れる電流の大きさ\(I_C\)」は「RC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」と等しくなり、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I=I_R=I_C=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

そのため、「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
V_R=I_RR=2{\;}{\cdot}{\;}50\sqrt{3}=100\sqrt{3}{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{9}\\
\\
V_C=I_CX_C=2{\;}{\cdot}{\;}50=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

RC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)を求める

RC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「インピーダンスの大きさ\(Z\)」における「抵抗\(R\)」の比率であり、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{R}{Z}=\frac{50\sqrt{3}}{100}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tag{11}
\end{eqnarray}

RC直列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を求める

「電源電圧の大きさ\(V\)」、「RC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」、「RC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)」を求めれば、有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を計算することができます。

【RC直列回路】皮相電力\(S\)の求め方

まず、皮相電力\(S\)から求めてみましょう。皮相電力\(S\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
S=VI=200{\;}{\cdot}{\;}2=400{\;}{\mathrm{[VA]}}\tag{13}
\end{eqnarray}

【RC直列回路】有効電力\(P\)の求め方

では次に、有効電力\(P\)を求めてみましょう。有効電力\(P\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
P=VI{\cos}{\theta}=200{\;}{\cdot}{\;}2{\;}{\cdot}{\;}\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}{\;}{\mathrm{[W]}}\tag{16}
\end{eqnarray}

【RC直列回路】無効電力\(Q\)の求め方

最後に、無効電力\(Q\)を求めてみましょう。無効電力\(Q\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Q=VI{\sin}{\theta}=VI\sqrt{1-{\cos}^2{\theta}}=200{\;}{\cdot}{\;}2{\;}{\cdot}{\;}\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=200{\;}{\mathrm{[var]}}\tag{19}
\end{eqnarray}

なお、RC直列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「皮相電力\(S\)」における「有効電力\(P\)」の比率でも求めることができます。計算すると、次式のようになり、(11)式や(12)式と等しくなることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{P}{S}=\frac{200\sqrt{3}}{400}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tag{22}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『RC直列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について、以下の内容を説明しました。

• RC直列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

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この記事では『デッドタイム生成回路』について

• LTspiceでデッドタイム生成回路を作る方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

LTspiceでデッドタイム生成回路を作る方法

デッドタイムはLTspiceのデジタルIC(buf,inv,and)を用いれば、簡単に作ることができます。

上図の左側にデッドタイム生成回路、右側にデッドタイム生成回路の各電圧波形を示しています。電圧\(v_H\)と電圧\(v_L\)がデッドタイム生成回路の出力波形です。電圧\(v_H\)と電圧\(v_L\)の波形を重ねたものを上図の右下に示しており、デッドタイム(電圧VHと電圧VLの両方がLow電圧の期間)が生成できていることが分かります。

一例として、入力電圧\(v_{IN}\)は方形波であり、

• 周期：\(T=1{\mathrm{[ms]}}\)
• オン時間：\(T_{ON}=0.5{\mathrm{[ms]}}\)
• オンデューティ比：\(D=0.5\)
• Highレベルの電圧：\(V_{high}=10{\mathrm{[V]}}\)
• Lowレベルの電圧：\(V_{low}=0{\mathrm{[V]}}\)

としています。

次に、次に各電圧波形(\(v_A\)～\(v_D\)、\(v_H\)、\(v_L\))の生成方法について説明します。

• 電圧\(v_A\)
  • 電圧\(v_A\)は入力電圧\(v_{IN}\)と等しくなります。
• 電圧\(v_B\)
  • 電圧\(v_B\)は入力電圧\(v_{IN}\)にバッファ(buf)を通しており、バッファ(buf)のパラメータで「Td=0.1m」と記載することで、入力電圧\(v_{IN}\)を0.1ms遅延させています。また、パラメータに「Vhigh=10」と「Vlow=0」を記載しているため、Highレベルの電圧が\(V_{high}=10{\mathrm{[V]}}\)、Lowレベルの電圧が\(V_{low}=0{\mathrm{[V]}}\)となります。
• 電圧\(v_H\)
  • 電圧\(v_H\)はAND回路(AND1)の出力となります。AND回路(AND1)には「電圧\(v_A\)」と「電圧\(v_B\)」を入力しています。電圧\(v_B\)を0.1ms遅延させているため、「電圧\(v_A\)」と「電圧\(v_B\)」のアンド(AND)である電圧\(v_H\)のオン時間は\(T_{ON}=0.4{\mathrm{[ms]}}\)となります。また、パラメータに「Vhigh=10」と「Vlow=0」を記載しているため、Highレベルの電圧が\(V_{high}=10{\mathrm{[V]}}\)、Lowレベルの電圧が\(V_{low}=0{\mathrm{[V]}}\)となります。
• 電圧\(v_C\)
  • 電圧\(v_C\)は入力電圧\(v_{IN}\)にインバータ(inv)を通すことで、入力電圧\(v_{IN}\)の波形を反転させています。なお、インバータ(inv) のパラメータで「Vhigh=10」と「Vlow=0」を記載しているため、Highレベルの電圧が\(V_{high}=10{\mathrm{[V]}}\)、Lowレベルの電圧が\(V_{low}=0{\mathrm{[V]}}\)となります。
• 電圧\(v_D\)
  • 電圧\(v_D\)は電圧\(v_C\)にバッファ(buf)を通しており、バッファ(buf)のパラメータで「Td=0.1m」と記載することで、電圧\(v_C\)を0.1ms遅延させています。また、パラメータに「Vhigh=10」と「Vlow=0」を記載しているため、Highレベルの電圧が\(V_{high}=10{\mathrm{[V]}}\)、Lowレベルの電圧が\(V_{low}=0{\mathrm{[V]}}\)となります。
• 電圧\(v_L\)
  • 電圧\(v_L\)はAND回路(AND2)の出力となります。AND回路(AND2)には「電圧\(v_C\)」と「電圧\(v_D\)」を入力しています。電圧\(v_D\)を0.1ms遅延させているため、「電圧\(v_C\)」と「電圧\(v_D\)」のアンド(AND)である電圧\(v_L\)のオン時間は\(T_{ON}=0.4{\mathrm{[ms]}}\)となります。また、パラメータに「Vhigh=10」と「Vlow=0」を記載しているため、Highレベルの電圧が\(V_{high}=10{\mathrm{[V]}}\)、Lowレベルの電圧が\(V_{low}=0{\mathrm{[V]}}\)となります。

電圧\(v_H\)と電圧\(v_L\)の波形を重ねるとデッドタイムが生成できていることが分かります。デッドタイムの生成回路には様々な種類がありますが、LTspiceのデジタルIC(buf,inv,and)を用いれば、「オンデューティ比：\(D=0.5\)」の方形波である入力電圧\(v_{IN}\)から簡単にデッドタイムを作ることができます。

まとめ

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• LTspiceでデッドタイム生成回路を作る方法

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