RLC並列回路の電力【有効電力・無効電力・皮相電力】

この記事では『RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について

• RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RLC並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力

上図に示しているのは抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を並列に接続したRLC並列回路です。一例としてRLC並列回路のパラメータは下記としています。

• 電源電圧：\({\dot{V}}=100{\;}{\mathrm{[V]}}\)
• 電源電圧\({\dot{V}}\)の周波数：\(f=60{\;}{\mathrm{[Hz]}}\)
• 抵抗\(R\)の抵抗値：\(R=50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\)
• インダクタ\(L\)のインダクタンス：\(L=66.4{\;}{\mathrm{[mH]}}\)
• コンデンサ\(C\)のキャパシタンス：\(C=53{\;}{\mathrm{[μF]}}\)

このRLC並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)は下記の手順(ステップ1～4)で求めることができます。

では、これから各手順について順番に説明します。上図に示している「図1：RLC並列回路の有効電力・無効電力・皮相電力」を見ながらこの記事を読むと理解しやすくなると思います。

RLC並列回路のインピーダンスの大きさを求める

「抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)」と「インダクタ\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)」と「コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)」はそれぞれ次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}_L}&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}\\
\\
{\dot{Z}_C}&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}\tag{3}
\end{eqnarray}

上式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(インダクタ\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサ\(C\)の抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

ここで、誘導性リアクタンス\(X_L\)と容量性リアクタンス\(X_C\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X_L&=&{\omega}L=2{\pi}fL=2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}66.4×10^{-3}{\;}{\approx}{\;}25{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}\\
\\
X_C&=&\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{2{\pi}fC}=\frac{1}{2{\pi}{\;}{\cdot}{\;}60{\;}{\cdot}{\;}53×10^{-6}}{\;}{\approx}{\;}50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

ここで、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)の合成リアクタンス\(X\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
X&=&\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{X_L}-\displaystyle\frac{1}{X_C}}\right|=\left|\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{25}-\displaystyle\frac{1}{50}}\right|=50{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

『それぞれのインピーダンスの逆数の和』が『RLC並列回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)の逆数』となるため、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{{\dot{Z}}}&=&\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\frac{1}{{\dot{Z}_L}}+\frac{1}{{\dot{Z}_C}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_L}+\frac{1}{-jX_C}\\
\\
&=&\frac{1}{R}-j\frac{1}{X_L}+j\frac{1}{X_C}\\
\\
&=&\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)\tag{7}
\end{eqnarray}

上式の分母と分子をひっくり返すと次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_R}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_L}}+\displaystyle\frac{1}{{\dot{Z}_C}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)}\tag{8}
\end{eqnarray}

RLC並列回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は(8)式で示した「\({\dot{Z}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)}\)」の絶対値であるため、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{X_C}-\displaystyle\frac{1}{X_L}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{50}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{50}-\displaystyle\frac{1}{25}\right)^2}}\\
\\
&=&25\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

RLC並列回路に流れる電流の大きさを求める

電源電圧の大きさ\(V\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V=|{\dot{V}}|=|100|=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

(9)式と(10)式より、RLC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{Z}=\frac{100}{25\sqrt{2}}=2\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

並列回路なので「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)」と「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」は「電源電圧の大きさ\(V\)」と等しくなり、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
V=V_R=V_L=V_C=100{\;}{\mathrm{[V]}}\tag{12}
\end{eqnarray}

そのため、「抵抗\(R\)に流れる電流の大きさ\(I_R\)」と「インダクタ\(L\)に流れる電流の大きさ\(I_L\)」と「コンデンサ\(C\)に流れる電流の大きさ\(I_C\)」は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I_R&=&\frac{V_R}{R}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{13}\\
\\
I_L&=&\frac{V_L}{X_L}=\frac{100}{25}=4{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{14}\\
\\
I_C&=&\frac{V_C}{X_C}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{15}
\end{eqnarray}

また、合成リアクタンス\(X\)に流れる電流の大きさ\(I_X\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
I_X=\frac{V}{X}=\frac{100}{50}=2{\;}{\mathrm{[A]}}\tag{16}
\end{eqnarray}

(16)式から分かるように、合成リアクタンス\(X\)に流れる電流の大きさ\(I_X\)は「インダクタ\(L\)に流れる電流の大きさ\(I_L\)」と「コンデンサ\(C\)に流れる電流の大きさ\(I_C\)」の差(\(|I_L-I_C|\))になります。

RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)を求める

RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「抵抗\(R\)」における「インピーダンスの大きさ\(Z\)」の比率であり、次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{Z}{R}=\frac{25\sqrt{2}}{50}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{17}
\end{eqnarray}

RLC並列回路の有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を求める

「電源電圧の大きさ\(V\)」、「RLC並列回路に流れる電流の大きさ\(I\)」、「RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)」を求めれば、有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)、皮相電力\(S\)を計算することができます。

【RLC並列回路】皮相電力\(S\)の求め方

まず、皮相電力\(S\)から求めてみましょう。皮相電力\(S\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
S=VI=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}=200\sqrt{2}{\;}{\mathrm{[VA]}}\tag{19}
\end{eqnarray}

【RLC並列回路】有効電力\(P\)の求め方

では次に、有効電力\(P\)を求めてみましょう。有効電力\(P\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
P=VI{\cos}{\theta}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\frac{1}{\sqrt{2}}=200{\;}{\mathrm{[W]}}\tag{22}
\end{eqnarray}

【RLC並列回路】無効電力\(Q\)の求め方

最後に、無効電力\(Q\)を求めてみましょう。無効電力\(Q\)は次式で求めることができます。

\begin{eqnarray}
Q=VI{\sin}{\theta}=VI\sqrt{1-{\cos}^2{\theta}}=100{\;}{\cdot}{\;}2\sqrt{2}{\;}{\cdot}{\;}\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=200{\;}{\mathrm{[var]}}\tag{25}
\end{eqnarray}

なお、RLC並列回路の力率\({\cos}{\theta}\)は「皮相電力\(S\)」における「有効電力\(P\)」の比率でも求めることができます。計算すると、次式のようになり、(17)式や(18)式と等しくなることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\cos}{\theta}=\frac{P}{S}=\frac{200}{200\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag{28}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では『RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)』について、以下の内容を説明しました。

• RLC並列回路の電力(有効電力・無効電力・皮相電力)の計算方法

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