【静電気力による位置エネルギー】『公式』・『導出方法』・『単位』など！

この記事では静電気力による位置エネルギーについて

『静電気力による位置エネルギー』の公式と単位
『静電気力による位置エネルギー』の導出方法
『重力による位置エネルギー』との関係

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

静電気力による位置エネルギーの公式

最初に静電気力による位置エネルギーの公式を以下に示します(後ほど公式の導出方法や意味について説明します)。

静電気力による位置エネルギーの公式

電位\(V{\mathrm{[V]}}\)の箇所に置かれている点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)がもつ位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)

\begin{eqnarray}
U=qV{\mathrm{[J]}}
\end{eqnarray}

2つの点電荷\(Q{\mathrm{[C]}}\),\(q{\mathrm{[C]}}\)が距離\(r{\mathrm{[m]}}\)離れて存在するときに各点電荷がもつ位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)

\begin{eqnarray}
U=k\frac{Qq}{r}{\mathrm{[J]}}
\end{eqnarray}

なお、位置エネルギーの基準点は無限遠となります。

補足

電位がプラスの場合、点電荷がプラスだと位置エネルギー\(U\)はプラスになりますが、点電荷がマイナスだと位置エネルギー\(U\)もマイナスになります。
位置エネルギーの単位は\({\mathrm{[J]}}\)(←ジュール)となります。

静電気力による位置エネルギーの導出方法

次に静電気力による位置エネルギーの公式『\(U=qV{\mathrm{[J]}}\)』,『\(U=k\displaystyle\frac{Qq}{r}{\mathrm{[J]}}\)』の導出方法について説明します。

導出方法については様々な方法がありますので、順番に説明してきます。

電位の定義から『静電気力による位置エネルギー』を導出する方法

静電気力による位置エネルギーの公式『\(U=qV{\mathrm{[J]}}\)』を導出してみます。

電位\(V{\mathrm{[V]}}\)は\(1{\mathrm{[C]}}\)の点電荷が持つ位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)となります。

そのため、\(1{\mathrm{[C]}}\)の点電荷がもつ位置エネルギーは『\(U=1×V=V{\mathrm{[J]}}\)』となります。

そのため、点電荷の電気量が\(2{\mathrm{[C]}},3{\mathrm{[C]}},・・・\)と増えていくと、位置エネルギー\(U\)は以下のように増えてきます。

\(2{\mathrm{[C]}}\)の点電荷がもつ位置エネルギー：\(U=2×V=2V{\mathrm{[J]}}\)
\(3{\mathrm{[C]}}\)の点電荷がもつ位置エネルギー：\(U=3×V=3V{\mathrm{[J]}}\)

このように考えると、\(q{\mathrm{[C]}}\)の点電荷がもつ位置エネルギーは『\(U=q×V=qV{\mathrm{[J]}}\)』となります。

なお、位置エネルギー\(U\)の単位は\({\mathrm{[J]}}\)(←ジュール)で点電荷\(q\)の単位は\({\mathrm{[C]}}\)(←クーロン)なので、電位\(V\)の単位は\({\mathrm{[J/C]}}\)で表すこともできます。

ただし、電位\(V\)の単位は\({\mathrm{[J/C]}}\)ではなく\({\mathrm{[V]}}\)(←ボルト)を用いる方が一般的です。

静電気力から位置エネルギーを導出する方法(その1)

静電気力による位置エネルギーの公式『\(U=qV{\mathrm{[J]}}\)』を導出してみます。

一様な電場\(E{\mathrm{[N/C]}}\)に置かれた点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)が受ける静電気力\(F{\mathrm{[N]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
F=qE{\mathrm{[N]}}\tag{1}
\end{eqnarray}

この点電荷を『基準点』から『A点』に動かすときの仕事量\(W{\mathrm{[J]}}\)は、『基準点』から『A点』までの距離が\(d{\mathrm{[m]}}\)なので、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
W=F×d=qE×d=qEd{\mathrm{[J]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

また、基準点から距離\(d{\mathrm{[m]}}\)離れた位置での電位\(V{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V=Ed{\mathrm{[V]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

したがって、(3)式を(2)式に代入すると、仕事量\(W{\mathrm{[J]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
W=qEd=qV{\mathrm{[J]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

ここで、位置エネルギーは、外力が物体(ここでは点電荷)を『基準点』から『ある位置』に動かすときの仕事の量なので、A点の位置での点電荷の位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)は次式になります。

\begin{eqnarray}
U=qEd=qV{\mathrm{[J]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

一様な電場とは、点電荷をどの地点に置いても、同じ方向、同じ大きさの静電気力が発生するような電場です。

静電気力から位置エネルギーを導出する方法(その2)

静電気力による位置エネルギーの公式『\(U=k\displaystyle\frac{Qq}{r}{\mathrm{[J]}}\)』を導出してみます。

点電荷\(Q{\mathrm{[C]}}\)から距離\(r{\mathrm{[m]}}\)離れた地点に点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)がある場合、点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)が受ける静電気力\(F{\mathrm{[N]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
F=k\frac{Qq}{r^2}{\mathrm{[N]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

外力が点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)を『無限遠の位置(基準点)』から『距離\(r{\mathrm{[m]}}\)』に動かすときの仕事の量が、距離\(r{\mathrm{[m]}}\)の箇所における位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)となります。

ただし、点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)が受ける静電気力\(F{\mathrm{[N]}}\)は距離が離れるにつれて小さくなります。そのため、位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)は以下のように積分計算で求めることが必要となります。

\begin{eqnarray}
U&=&{\displaystyle\int}_{\infty}^r \left(-k\frac{Qq}{r^2}\right) dr\\
&=&\left[k\frac{Qq}{r}\right]_{\infty}^r\\
&=&k\frac{Qq}{r}\tag{7}
\end{eqnarray}

補足

(7)式の『\(-k\displaystyle\frac{Qq}{r^2}{\mathrm{[J]}}\)』についているマイナスの符号は距離\(r{\mathrm{[m]}}\)の向きと外力の向きが逆なのでついています。

電位から位置エネルギーを導出する方法

点電荷\(Q{\mathrm{[C]}}\)から距離\(r{\mathrm{[m]}}\)離れた地点での電位\(V{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V=k\frac{Q}{r}{\mathrm{[V]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

したがって、点電荷\(Q{\mathrm{[C]}}\)から距離\(r{\mathrm{[m]}}\)離れた地点に点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)がある場合、点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)がもつ位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
U=qV=q×k\frac{Q}{r}=k\frac{Qq}{r}{\mathrm{[V]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

同様に考えると、点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)から距離\(r{\mathrm{[m]}}\)離れた地点での電位\(V{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V=k\frac{q}{r}{\mathrm{[V]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

したがって、点電荷\(q{\mathrm{[C]}}\)から距離\(r{\mathrm{[m]}}\)離れた地点に点電荷\(Q{\mathrm{[C]}}\)がある場合、点電荷\(Q{\mathrm{[C]}}\)がもつ位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
U=QV=Q×k\frac{q}{r}=k\frac{Qq}{r}{\mathrm{[V]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

すなわち、2つの点電荷\(Q{\mathrm{[C]}}\),\(q{\mathrm{[C]}}\)が距離\(r{\mathrm{[m]}}\)離れて存在するときに各点電荷がもつ位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
U=k\frac{Qq}{r}{\mathrm{[J]}}{\mathrm{[V]}}\tag{12}
\end{eqnarray}

『静電気力による位置エネルギー』と『重力による位置エネルギー』の関係

『重力による位置エネルギー』と比較すると『静電気力による位置エネルギー』が理解しやすくなると思います。

重力加速度\(g{\mathrm{[m/s^2]}}\)、高さ\(h{\mathrm{[m]}}\)の箇所におかれた質量\(m{\mathrm{[kg]}}\)の物体の重力による位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
U=mgh{\mathrm{[J]}}\tag{13}
\end{eqnarray}

一方、電場\(E{\mathrm{[N/C]}}\)、距離\(r{\mathrm{[m]}}\)の箇所におかれた電気量\(q{\mathrm{[C]}}\)の点電荷の静電気力による位置エネルギー\(U{\mathrm{[J]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
U=qEd{\mathrm{[J]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

上図を見ると、以下のように対応しており、『静電気力による位置エネルギー』と『重力による位置エネルギー』は似ていることが分かります。

位置エネルギーの対応

\begin{eqnarray}
電気量q{\mathrm{[C]}}&{\Leftrightarrow}&質量m{\mathrm{[kg]}}\\
電場E{\mathrm{[N/C]}}&{\Leftrightarrow}&重力加速度g{\mathrm{[m/s^2]}}\\
距離d{\mathrm{[m]}}&{\Leftrightarrow}&高さh{\mathrm{[m]}}\\
\end{eqnarray}