CRハイパスフィルタの『伝達関数』や『周波数特性』について

この記事では『CRハイパスフィルタ』について

CRハイパスフィルタとは
CRハイパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』
CRハイパスフィルタの『周波数特性』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

CRハイパスフィルタとは

上図にCRハイパスフィルタの回路構成を示しています。

CRハイパスフィルタは、コンデンサ\(C\)と抵抗\(R\)のみで構成されたハイパスフィルタです。入力電圧\(V_{IN}\)の高周波成分を通過させ、低周波成分を遮断します。

後ほど導出方法など詳細に説明しますが、CRハイパスフィルタの『伝達関数』,『ゲイン』,『カットオフ周波数』,『位相』の式と『周波数特性』をまとめると、下記のようになります。

CRハイパスフィルタのまとめ

伝達関数\(G(j{\omega})\)

→入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比が伝達関数\(G(j{\omega})\)であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}=\frac{j2{\pi}fCR}{1+j2{\pi}fCR}\tag{1-1}
\end{eqnarray}

ゲイン\(|G(j{\omega})|\)

→伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がゲイン\(|G(j{\omega})|\)であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}=\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\tag{1-2}
\end{eqnarray}

カットオフ周波数\(f_C\)

→ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる周波数がカットオフ周波数\(f_C\)であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
f_C=\frac{1}{2{\pi}CR}\tag{1-3}
\end{eqnarray}

位相\({\theta}\)

→入力電圧\(V_{IN}\)に対する出力電圧\(V_{OUT}\)の位相であり、次式となる。
\begin{eqnarray}
{\theta}={\tan}^{-1}\left(\frac{1}{{\omega}CR}\right)={\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}fCR}\right)\tag{1-4}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)の周波数が低い場合、コンデンサ\(C\)のインピーダンスが大きいので、出力電圧\(V_{OUT}\)が低くなる(すなわち、低周波成分を遮断する)ということは見当がつくと思います。

補足

ハイパスフィルタは『高域通過フィルタ』や『ローカットフィルタ』とも呼ばれています。

CRハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』

CRハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出方法について説明します。

『コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}_C}\)』と『抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}_R}\)』は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}_C}&=&\frac{1}{j{\omega}C}\tag{2-1}\\
\\
{\dot{Z}_R}&=&R\tag{2-2}
\end{eqnarray}

したがって、出力電圧\(V_{OUT}\)は入力電圧\(V_{IN}\)を\({\dot{Z}_C}\)と\({\dot{Z}_R}\)で分圧しているので、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}=\displaystyle\frac{{\dot{Z}_R}}{{\dot{Z}_C}+{\dot{Z}_R}}V_{IN}=\frac{R}{\displaystyle\frac{1}{j{\omega}C}+R}V_{IN}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}V_{IN}\tag{2-3}
\end{eqnarray}

CRハイパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(2-3)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}\tag{2-4}
\end{eqnarray}

(2-4)式の分母には虚数単位\(j\)があります。ここで分子のみに虚数単位\(j\)がくるようにするために、分母と分子に『\(1-j{\omega}CR\)』を掛けます。すると(2-4)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})&=&\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}×\frac{1-j{\omega}CR}{1-j{\omega}CR}\\
\\
&=&\frac{j{\omega}CR+({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\\
\\
&=&\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}+j\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\tag{2-5}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)の絶対値がCRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)となります。もう少し詳しく説明すると、CRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)は(2-5)式において、『実部\(\left\{\displaystyle\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\right\}\)の2乗』と『虚部\(\left\{\displaystyle\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\right\}\)の2乗』を足して、平方根を取ることで求めることができます。そのため、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\sqrt{\left\{\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}\right\}^2+\left\{\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\right\}^2}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{({\omega}CR)^2\left\{1+({\omega}CR)^2\right\}}{\left\{1+({\omega}CR)^2\right\}^2}}\\
\\
&=&\sqrt{\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}}\\
\\
&=&\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}\tag{2-6}
\end{eqnarray}

ここで、角周波数\({\omega}\)は\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があるので、(2-6)式の\({\omega}\)を\(2{\pi}f\)に書き換えると、次式となります。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|=\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\tag{2-7}
\end{eqnarray}

なお、CRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)をデシベル表示にしたものを\(G_{dB}(j{\omega})\)とすると、\(G_{dB}(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G_{dB}(j{\omega})&=&20{\log}_{10}|G(j{\omega})|\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{{\omega}CR}{\sqrt{1+({\omega}CR)^2}}{\mathrm{[dB]}}\\
\\
&=&20{\log}_{10}\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}{\mathrm{[dB]}}\tag{2-8}
\end{eqnarray}

これで、CRハイパスフィルタの『伝達関数』と『ゲイン』の導出は終わりです。

『ラプラス演算子\(s=j{\omega}\)』と『CRハイパスフィルタの時定数\({\tau}=RC\)』を用いると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{j{\omega}CR}{1+j{\omega}CR}=\frac{s{\tau}}{1+s{\tau}}
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)を上式で表している資料もよく見かけます。

CRハイパスフィルタの『カットオフ周波数』

カットオフ周波数\(f_C\)は、CRハイパスフィルタのゲイン\(|G(j{\omega})|\)が\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}({\;}{\approx}{\;}0.707)\)になる周波数であり、次式となります。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{2}}&=&|G(j{\omega})|\\
\\
&=&\frac{2{\pi}f_CCR}{\sqrt{1+(2{\pi}f_CCR)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{1+(2{\pi}f_CCR)^2}&=&\sqrt{2}×2{\pi}f_CCR\\
\\
1+(2{\pi}f_CCR)^2&=&2×(2{\pi}f_CCR)^2\\
\\
(2{\pi}f_CCR)^2&=&1\\
\\
2{\pi}f_CCR&=&1\\
\\
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR}\tag{3-1}
\end{eqnarray}

入力電圧\(V_{IN}\)はCRハイパスフィルタによって、カットオフ周波数\(f_C\)より高い成分の周波数はほとんど通過し、カットオフ周波数\(f_C\)より低い成分の周波数は減衰します。

CRハイパスフィルタの『位相』

繰り返しになりますが、CRハイパスフィルタの伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}+j\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}\tag{4-1}
\end{eqnarray}

複素平面(横軸は実数の目盛、縦軸は虚数の目盛であり、ガウス平面とも呼ばれている)上に(4-1)式のベクトルを描くと上図のようになります。このベクトル図よりCRハイパスフィルタの位相\({\theta}\)を求めることができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\tan}{\theta}&=&\frac{\displaystyle\frac{{\omega}CR}{1+({\omega}CR)^2}}{\displaystyle\frac{({\omega}CR)^2}{1+({\omega}CR)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{{\omega}CR}\\
\\
{\Leftrightarrow}{\theta}&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{{\omega}CR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}fCR}\right)\tag{4-2}
\end{eqnarray}

なお、カットオフ周波数\(f_C\)における位相\({\theta}_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}f_CCR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}\left(\frac{1}{2{\pi}×\displaystyle\frac{1}{2{\pi}CR}×CR}\right)\\
\\
&=&{\tan}^{-1}(1)\\
\\
&=&0.7853{\cdots}{\mathrm{[rad]}}\tag{4-3}
\end{eqnarray}

上式の単位は[rad](ラジアン)なので、[rad]を[°(度)]に変換すると、次式に示すように45°(度)となります。

\begin{eqnarray}
{\theta}_C&=&{\tan}^{-1}(1)×\frac{180}{{\pi}}\\
\\
&=&45{\mathrm{°}}\tag{4-4}
\end{eqnarray}

[rad]を[°(度)]に変換するためには、\(\displaystyle\frac{180}{{\pi}}\)を掛けます。

CRハイパスフィルタの『周波数特性』

一例として、コンデンサ\(C=1{\mathrm{[μF]}}\)、抵抗\(R=1{\mathrm{[kΩ]}}\)のCRハイパスフィルタにおいて、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)と位相\({\theta}\)の周波数特性を上図に示しています。

CRハイパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
f_C&=&\frac{1}{2{\pi}CR}\\
\\
&=&\frac{1}{2{\pi}×1×10^{-6}×1×10^{3}}\\
\\
&=&159.154{\cdots}\\
\\
&{\approx}&159{\mathrm{[Hz]}}\tag{5-1}
\end{eqnarray}

上図を見ると、カットオフ周波数\(f_C{\;}{\approx}{\;}159{\mathrm{[Hz]}}\)でゲイン\(|G(j{\omega})|\)が約－3dB、位相\({\theta}\)が45°になっていることが確認できます。

また、周波数\(f\)が低くて『\(1{\;}{\ll}{\;}\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}\)』とみなせる場合、『1』を無視すると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
|G(j{\omega})|&=&\frac{2{\pi}fCR}{\sqrt{1+(2{\pi}fCR)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}+1}}\\
\\
&{\approx}&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(2{\pi}fCR)^2}}}\\
\\
&{\approx}&2{\pi}fCR\tag{5-2}\\
\end{eqnarray}

上式より、周波数\(f\)が10倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が10倍になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}10=20{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が低い領域では、20[dB/dec]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加しています。

同様に、周波数fが2倍になると、ゲイン\(|G(j{\omega})|\)が2倍になります(デシベル表記では、『\(G_{dB}(j{\omega})=20{\log}_{10}2=6{\mathrm{[dB]}}\)』となります)。つまり、周波数が低い領域では、6[dB/oct]の傾きでゲイン\(|G(j{\omega})|\)が増加しているとも言います。

周波数fが2倍になることをoct(オクターブ)、10倍になることをdec(ディケード)といいます。