【コンデンサの並列接続】静電容量の『計算』と『証明』について！

この記事では『コンデンサの並列接続』について

並列接続されたコンデンサの合成静電容量の『計算方法』・『証明』・『例題』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

【コンデンサの並列接続】静電容量の『計算』

コンデンサ\(C_1\)とコンデンサ\(C_2\)を並列に接続することを「コンデンサの並列接続」といいます。

「静電容量が\(C_1{\mathrm{[F]}}\)のコンデンサ」と「静電容量が\(C_2{\mathrm{[F]}}\)のコンデンサ」が並列接続されている時、合成静電容量\(C\)は各コンデンサの静電容量の和で計算することができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
C=C_1+C_2{\mathrm{[F]}}\tag{1}
\end{eqnarray}

合成静電容量とは？

複数のコンデンサをまとめて1つのコンデンサとした時の静電容量を合成静電容量と呼びます。

合成静電容量は「合成容量」や「合成コンデンサの静電容量」などとも呼ばれています。

Nつのコンデンサが並列接続されている時

(1)式はコンデンサが3つ以上並列接続されている時にも成り立ちます。

上図に示しているのは、Nつのコンデンサ(各コンデンサの静電容量を\(C_1{\mathrm{[F]}}\),\(C_2{\mathrm{[F]}}\),・・・,\(C_N{\mathrm{[F]}}\)とする)が並列接続されている回路です。

この回路においても、合成静電容量\(C\)は各コンデンサの静電容量の和で計算することができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
C=C_1+C_2+{\cdots}+C_N{\mathrm{[F]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

例えば、3つのコンデンサ(各コンデンサの静電容量を\(C_1{\mathrm{[F]}}\),\(C_2{\mathrm{[F]}}\),\(C_3{\mathrm{[F]}}\)とする)が並列接続されている時の合成静電容量\(C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
C=C_1+C_2+C_3{\mathrm{[F]}}\tag{3}
\end{eqnarray}

【コンデンサの並列接続】静電容量の『証明』

上図に示すように、「静電容量が\(C_1{\mathrm{[F]}}\)のコンデンサ」と「静電容量が\(C_2{\mathrm{[F]}}\)のコンデンサ」を並列接続した後、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加して、2つのコンデンサを充電します。

この時、各コンデンサに蓄えられている電荷が下記であるとします。

コンデンサ\(C_1\)に蓄えられている電荷：\(Q_1{\mathrm{[C]}}\)
コンデンサ\(C_2\)に蓄えられている電荷：\(Q_2{\mathrm{[C]}}\)

各コンデンサにかかる電圧は電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)と等しいので、各コンデンサに蓄えられている電荷は「\(Q=CV\)」の公式より次式で表されます。

- コンデンサ\(C_1\)に蓄えられている電荷\(Q_1\)

\begin{eqnarray}
Q_1&=&C_1V\tag{4}
\end{eqnarray}

- コンデンサ\(C_2\)に蓄えられている電荷\(Q_2\)

\begin{eqnarray}
Q_2&=&C_2V\tag{5}
\end{eqnarray}

ポイント

コンデンサを並列接続した場合、静電容量の大きさに関わらず、各コンデンサにかかる電圧が同じとなります。

ここで、2つのコンデンサに蓄えられている電荷の合計を\(Q{\mathrm{[C]}}\)とすると、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
Q=Q_1+Q_2\tag{6}
\end{eqnarray}

2つのコンデンサの合成静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とすると、2つのコンデンサに蓄えられている電荷の合計が\(Q{\mathrm{[C]}}\)なので、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
Q=CV\tag{7}
\end{eqnarray}

(6)式に(4)式と(5)式を(7)式に代入すると、次式のようになり、合成静電容量\(C\)は各コンデンサの静電容量の和で計算できることが分かります。
\begin{eqnarray}
Q=Q_1+Q_2\\
\\
CV=C_1V+C_2V\\
\\
C=C_1+C_2{\mathrm{[F]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

【コンデンサの並列接続】静電容量を求める例題

例題

上図に示した回路において、コンデンサ\(C_1\)が\(6{\mathrm{[μF]}}\)、コンデンサ\(C_2\)が\(2{\mathrm{[μF]}}\)の時、コンデンサ\(C_1\)と\(C_2\)の合成静電容量\(C\)は何\({\mathrm{F}}\)でしょうか。

解答

各コンデンサの静電容量は「\(C_1=6{\mathrm{[μF]}}\)」と「\(C_2=2{\mathrm{[μF]}}\)」となっているので、まず単位を\({\mathrm{[μF]}}\)から\({\mathrm{[F]}}\)に変換します。

「\({\mathrm{μ}}\)(マイクロ)」は「\(10^{-6}\)」を表しているので、単位変換すると各コンデンサの静電容量は下記となります。

\begin{eqnarray}
C_1&=&6{\mathrm{[μF]}}=6×10^{-6}{\mathrm{[F]}}\tag{9}\\
\\
C_2&=&2{\mathrm{[μF]}}=2×10^{-6}{\mathrm{[F]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

(9)式と(10)式を(1)式に代入すると、コンデンサ\(C_1\)と\(C_2\)の合成静電容量\(C\)を求めることができ、下記の値となります。

\begin{eqnarray}
C=C_1+C_2=6×10^{-6}+2×10^{-6}=8×10^{-6}{\mathrm{[F]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

コンデンサを並列接続すると合成静電容量が大きくなる理由

コンデンサの並列接続についてもう少し深堀してみましょう。

コンデンサを並列接続した場合、合成静電容量\(C\)は各コンデンサの静電容量よりも大きくなります。これはなぜででしょうか。

面積\(S{\mathrm{[m^2]}}\)の2つの電極板の距離\(d{\mathrm{[m]}}\)離して平行においたコンデンサの静電容量\(C{\mathrm{[F]}}\)は面積\(S\)に比例し、距離\(d\)に反比例します。ここで誘電率を\({\varepsilon}\)とすると、コンデンサの静電容量\(C\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
C={\varepsilon}\frac{S}{d}{\mathrm{[F]}}\tag{12}
\end{eqnarray}

また、コンデンサ\(C_1\)の電極板の面積を\(S_1{\mathrm{[m^2]}}\)、コンデンサ\(C_2\)の電極板の面積を\(S_2{\mathrm{[m^2]}}\)とすると、コンデンサ\(C_1\)と\(C_2\)の静電容量は次式で表されます(各コンデンサの誘電率\({\varepsilon}\)と電極板の距離\(d\)が等しいとします)。

\begin{eqnarray}
C_1&=&{\varepsilon}\frac{S_1}{d}{\mathrm{[F]}}\tag{13}\\
\\
C_1&=&{\varepsilon}\frac{S_2}{d}{\mathrm{[F]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

(13)式と(14)式を(1)式に代入すると次式となります。

\begin{eqnarray}
C=C_1+C_2={\varepsilon}\frac{S_1}{d}+{\varepsilon}\frac{S_1}{d}={\varepsilon}\frac{S_1+S_2}{d}{\mathrm{[F]}}\tag{15}
\end{eqnarray}

上式より、コンデンサ\(C_1\)と\(C_2\)の誘電率\({\varepsilon}\)と電極板の距離\(d\)が同じ場合、コンデンサを並列接続すると、合成静電容量\(C\)は電極板の面積\(S\)が広くなった(\(S_1+S_2\))のと等価になります。電極板の面積\(S\)が広くなれば、(12)式より静電容量\(C\)が大きくなることはイメージできると思います。