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【降圧コンバータの設計】入力コンデンサに流れる電流の実効値(RMS)の計算

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降圧コンバータにおいて、入力コンデンサ\(C_{IN}\)に流れる電流\(i_{CIN}\)の実効値\(i_{CIN(RMS)}\)の計算方法について説明します。

入力コンデンサに流れる電流の実効値(RMS)の計算方法と式

入力コンデンサ\(C_{IN}\)に流れる電流\(i_{CIN}\)は上図のようになります。電流\(i_{CIN}\)の実効値\(i_{CIN(RMS)}\)を導出する前に、以下の式をあらかじめ使用します。

入力電流\(I_{IN}\)、出力電流\(I_{OUT}\)、オンデューティ比\(D\)の関係式
\begin{eqnarray}
\frac{I_{OUT}}{I_{IN}}=\frac{1}{D}
\end{eqnarray}

電流\(i_{CIN}\)の実効値\(i_{CIN(RMS)}\)はスイッチのオン時間を\(T_{ON}\)、オフ時間を\(T_{OFF}\)とすると、
\begin{eqnarray}
i_{CIN(RMS)}&=&\sqrt{\frac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T}{ i_{CIN}}^2dt}\\
&=&\sqrt{\frac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T_{OFF}}{ i_{CIN}}^2dt+\frac{1}{T}\displaystyle\int_{ T_{OFF}}^{T}{ i_{CIN}}^2dt}
\end{eqnarray}

となります。ここで、式が複雑になるので、以下のように\(A\)と\(B\)で分けて計算を行います。
\begin{eqnarray}
A&=&\frac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T_{OFF}}{ i_{CIN}}^2dt\\
B&=&\frac{1}{T}\displaystyle\int_{ T_{OFF}}^{T}{ i_{CIN}}^2dt\\
i_{CIN(RMS)}&=&\sqrt{A+B}
\end{eqnarray}

まず\(A\)から計算します。期間\(0\)~\(T_{OFF}\)では入力コンデンサ\(C_{IN}\)に流れる電流\(i_{CIN}\)は\({DI_{OUT}}\)となります。そのため、
\begin{eqnarray}
A&=&\frac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T_{OFF}}{i_{CIN}}^2dt\\
&=&\frac{T_{OFF}}{T}(DI_{OUT})^2\\
&=&\frac{T-T_{OON}}{T}(DI_{OUT})^2\\
&=&(1-D)×D^2×{I_{OUT}}^2
\end{eqnarray}

次に\(B\)を計算します。期間\(T_{OFF}\)~\(T\)では入力コンデンサ\(C_{IN}\)に流れる電流\(i_{CIN}\)は台形波となっています。台形波は出力電流\(I_{OUT}\)と入力電流\(I_{IN}\)の差分に対して、リプル\(di_{L}\)が合わさった波形となっています。そのため、
\begin{eqnarray}
B&=&\frac{1}{T}\displaystyle\int_{T_{OFF}}^{T}{i_{CIN}}^2dt\\
&=&\frac{T-T_{OFF}}{T}×\left(\left (I_{OUT}-I_{IN}\right)^2+\frac{1}{12}{di_{L}}^2\right)\\
&=&\frac{T_{ON}}{T}×\left(\left((1-D)I_{OUT}\right)^2+\frac{1}{12}{di_{L}}^2\right)\\
&=&D×\left( (1-D)^2{I_{OUT}}^2+\frac{1}{12}{di_{L}}^2\right)
\end{eqnarray}
なお、台形波の実行値の求め方は以下の記事に詳しく説明しています。
『台形波』の実効値・平均値の求め方

したがって、入力コンデンサ\(C_{IN}\)に流れる電流\(i_{CIN}\)の実効値\(i_{CIN(RMS)}\)は、

\begin{eqnarray}
i_{CIN(RMS)}&=&\sqrt{A+B}\\
&=&\sqrt{(1-D)×D^2×{I_{OUT}}^2+D×\left( (1-D)^2{I_{OUT}}^2+\frac{1}{12}{di_{L}}^2\right)}\\
&=&\sqrt{D\left((1-D)×D×{I_{OUT}}^2+(1-D)^2{I_{OUT}}^2+\frac{1}{12}{di_{L}}^2\right)}\\
&=&\sqrt{D\left((1-D){I_{OUT}}^2+\frac{1}{12}{di_{L}}^2\right)}
\end{eqnarray}

となります。

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