この記事では『RLC直列共振回路』について
- RLC直列共振回路とは
- RLC直列共振回路の「インピーダンス」と「共振周波数」
- RLC直列共振回路の「周波数特性」と「Q値」
などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。
RLC直列共振回路とは
RLC直列共振回路は、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列接続した回路です。
インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が直列接続されている回路は「ある周波数」で直列共振するため、RLC直列"共振"回路と呼ばれています。この「ある周波数」は共振周波数といいます。共振周波数の記号は\(f_0\)または\(f_R\)で表されていることが多いです(この記事では\(f_0\)で表しています)。
では、RLC直列共振回路において、共振周波数\(f_0\)で直列共振している時はどのような状態なのでしょうか？
最初に結論から言うと、RLC直列共振回路が共振周波数\(f_0\)で直列共振している時、インダクタ\(L\)のリアクタンス\(X_L={\omega}L\)とコンデンサ\(C\)のリアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)が打ち消し合っています(\(X_L=X_C\)になっているということ)。
また、共振周波数\(f_0\)の時、RLC直列共振回路のインピーダンスは\({\dot{Z}}=R\)、RLC直列共振回路に流れる電流は\({\dot{I}}=\displaystyle\frac{V}{R}\)となり、式からインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなります。すなわち、見かけ上、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなり、抵抗\(R\)のみが接続されている回路になります。
では、次に、上記の状態をRLC直列共振回路のインピーダンスの式から考えてみましょう。
RLC直列共振回路の「インピーダンス」と「共振周波数」
RLC直列共振回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列接続した回路です。
抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、インダクタ\(L\)のインダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とすると、抵抗\(R\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_R\)、インダクタ\(L\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_L\)、コンデンサ\(C\)のインピーダンス\({\dot{Z}}_C\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}_R&=&R\tag{1}\\
\\
{\dot{Z}}_L&=&jX_L=j{\omega}L\tag{2}\\
\\
{\dot{Z}}_C&=&-jX_C=-j\frac{1}{{\omega}C}=\frac{1}{j{\omega}C}\tag{3}
\end{eqnarray}
(2)式と(3)式において、\(X_L\)は誘導性リアクタンス(インダクタ\(L\)の抵抗成分)、\(X_C\)は容量性リアクタンス(コンデンサの抵抗成分)と呼ばれています。また、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。
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RLC直列共振回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)はそれぞれのインピーダンスを足したものなので次式となります。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&{\dot{Z}}_R+{\dot{Z}}_L+{\dot{Z}}_C\\
\\
&=&R+jX_L-jX_C\\
\\
&=&R+j\left(X_L-X_C\right)\\
\\
&=&R+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)\tag{4}
\end{eqnarray}
また、RLC直列共振回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。
\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{5}
\end{eqnarray}
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RLC直列共振回路は、インダクタ\(L\)のリアクタンス\(X_L={\omega}L\)とコンデンサ\(C\)のリアクタンス\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)が打ち消し合っている時(\(X_L=X_C\)の時)、直列共振しています。この時の角周波数\({\omega}\)を共振角周波数\({\omega}_0\)とすると、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
X_L&=&X_C\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}L&=&\frac{1}{{{\omega}_0}C}\tag{6}\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}L-\frac{1}{{{\omega}_0}C}&=&0\tag{7}
\end{eqnarray}
(6)式を用いると、RLC直列共振回路の共振角周波数\({\omega}_0\)と共振周波数\(f_0\)を求めることができ、次式となります。
\begin{eqnarray}
{{\omega}_0}L&=&\frac{1}{{{\omega}_0}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}^2LC&=&1\\
\\
{\Leftrightarrow}{\omega}_0&=&\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{8}\\
\\
{\Leftrightarrow}f_0&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}\tag{9}
\end{eqnarray}
(8)式と(9)式から、RLC直列共振回路の共振角周波数\({\omega}_0\)と共振周波数\(f_0\)はインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)によって決まり、抵抗の抵抗値\(R\)は無関係ということが分かります。
また、(7)式を用いると、共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、RLC直列共振回路のインピーダンス\({\dot{Z}}\)とその大きさ\(Z\)は次式となります。
\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}&=&R+j\left({\omega}_0L-\frac{1}{{\omega}_0C}\right)=R+j0=R\tag{10}\\
\\
Z&=&\sqrt{R^2+\left({\omega}_0L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}_0C}\right)^2}=\sqrt{R^2+0^2}=R\tag{11}
\end{eqnarray}
(10)式と(11)式を見てみましょう。共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、RLC直列共振回路のインピーダンスの式からインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなっています。すなわち、共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、RLC直列共振回路はインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が無くなり、抵抗\(R\)のみが接続されている回路と見なすことができます。
補足
- RLC直列共振回路の場合には、共振周波数のことを「直列共振周波数」と呼ぶこともあります。逆に、RLC並列共振回路の場合には、共振周波数のことを「並列共振周波数」と呼ぶこともあります。
RLC直列共振回路の「周波数特性」と「Q値」
(5)式で表しているRLC直列共振回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)の周波数特性は上図のようになります。
周波数特性から分かるように、RLC直列共振回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)は、共振周波数\(f_0\)の時に最小値\(Z_{MIN}=R\)となり、共振周波数\(f_0\)から離れるほど、大きくなります。そのため、共振周波数\(f_0\)の時、RLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が最大値\(I_{MAX}\)となり、\(I_{MAX}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_{MAX}&=&\frac{V}{Z_{MIN}}\\
\\
&=&\frac{V}{R}\tag{12}
\end{eqnarray}
また、共振回路にはQ値と呼ばれる値があります。Q値は周波数特性の鋭さを表す値であり、Q値が大きいほど特性が鋭くなり、小さいほど特性が緩やかになります。
RLC直列共振回路の場合、Q値は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{{\omega}_0L}{R}=\frac{1}{{\omega}_0CR}\tag{13}
\end{eqnarray}
抵抗\(R\)の抵抗値が小さいほど、インダクタ\(L\)のインダクタンスが大きいほど、コンデンサ\(C\)の静電容量が小さいほど、Q値が大きくなるので、周波数特性が鋭くなります。
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まとめ
この記事では『RLC直列共振回路』について、以下の内容を説明しました。
- RLC直列共振回路とは
- RLC直列共振回路の「インピーダンス」と「共振周波数」
- RLC直列共振回路の「周波数特性」と「Q値」
お読み頂きありがとうございました。
本記事のポイント
- RLC直列共振回路の共振角周波数\({\omega}_0\)と共振周波数\(f_0\)は次式で表される。
\begin{eqnarray}
{\omega}_0&=&\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
f_0&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}
\end{eqnarray}
- 共振周波数\(f_0\)(共振角周波数\({\omega}_0\))の時、インピーダンスの大きさ\(Z\)が最小値\(Z_{MIN}=R\)となるので、RLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が最大値\(I_{MAX}=\displaystyle\frac{V}{R}\)となる。
- RLC直列共振回路のインピーダンスの大きさ\(Z\)の周波数特性の鋭さはQ値によって決まる。
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