RLC直列共振回路の『Q値』とは?導出方法などを解説!

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この記事では『RLC直列共振回路』について

  • RLC直列共振回路のQ値とは
  • RLC直列共振回路のQ値の「導出方法」
  • 「Q値」と「インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)にかかる電圧」の関係
  • 半値全幅(半値幅)の意味

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RLC直列共振回路のQ値とは

RLC直列共振回路のQ値とは

Q値とは周波数特性の鋭さ(尖鋭度)を表す値です。Q値が大きいと特性が鋭くなり、小さいと特性が緩やかになります。

上図にRLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)の周波数特性を示しています。RLC直列共振回路は、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列接続した回路であり、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が共振する角周波数\({\omega}_0\left(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\)で電流の大きさ\(I\)が最大値\(I_{MAX}\)になります。

このRLC直列共振回路において、Q値は次式で表されます(次式の導出方法については後ほど説明します)。

RLC直列共振回路の『Q値』

\begin{eqnarray}
Q=\frac{{\omega}_0}{{\Delta}{\omega}}=\frac{{\omega}_0}{{\omega}_2-{\omega}_1}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{{\omega}_0L}{R}=\frac{1}{{\omega}_0CR}\tag{1}
\end{eqnarray}

上式において、\({\omega}_0\)は共振角周波数、\({\omega}_1\)と\({\omega}_2\)はRLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が\(I_{MAX}\)の\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)倍の大きさになる時の角周波数(\({\omega}_1{<}{\omega}_2\))、\(R\)は抵抗の抵抗値、\(L\)はインダクタの自己インダクタンス、\(C\)はコンデンサの静電容量となります。

(1)式より、\({\Delta}{\omega}(={\omega}_2-{\omega}_1)\)が小さいほど(周波数特性が鋭くなるほど)、Q値が大きくなります。

補足

  • Qは「Quality factor(品質要素)」のQからとった記号です。
  • Q値は「共振回路の良さ(共振回路の損失の少なさ)」を表す指標です。RLC直列共振回路の場合、抵抗値\(R\)が小さいほど、Q値が大きくなります。それは、抵抗値\(R\)が小さいほど、抵抗で生じる損失が小さくなるからです。

RLC直列共振回路のQ値の導出

RLC直列共振回路のQ値の導出

RLC直列共振回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列接続した回路です。抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、インダクタ\(L\)のインダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。

この時、RLC直列共振回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)\tag{2}
\end{eqnarray}

上式において、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

また、RLC直列共振回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{3}
\end{eqnarray}

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RLC直列共振回路の合成インピーダンス』については下記の記事で詳しく説明しています。興味のある方は下記のリンクからぜひチェックをしてみてください。

したがって、RLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)は、電源電圧の大きさを\(V\)とすると次式で表されます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{Z}=\frac{V}{\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}}\tag{4}
\end{eqnarray}

インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が共振する角周波数(共振角周波数)\({\omega}_0\left(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\)の時、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
{\omega}_0&=&\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}^2&=&\frac{1}{LC}\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}L&=&\frac{1}{{{\omega}_0}C}\\
\\
{\Leftrightarrow}{{\omega}_0}L-\frac{1}{{{\omega}_0}C}&=&0\tag{5}
\end{eqnarray}

インダクタ\(L\)のリアクタンス\(X_L\)は\(X_L={\omega}L\)です。一方、コンデンサ\(C\)のリアクタンス\(X_C\)は\(X_C=\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\)です。(5)式から分かるように、共振角周波数\({\omega}_0\)では「インダクタ\(L\)のリアクタンス\(X_L\)」と「コンデンサ\(C\)のリアクタンス\(X_C\)」が等しくなります。

共振角周波数\({\omega}_0\)の時、RLC直列回路に流れる電流の大きさ\(I\)が最大値\(I_{MAX}\)となり、\(I_{MAX}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
I_{MAX}&=&\frac{V}{\sqrt{R^2+\left({\omega}_0L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}_0C}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{V}{\sqrt{R^2+0^2}}\\
\\
&=&\frac{V}{R}\tag{6}
\end{eqnarray}

(4)式と(6)式より次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{I}{I_{MAX}}&=&\frac{\displaystyle\frac{V}{\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}}}{\displaystyle\frac{V}{R}}\\
\\
&=&\frac{R}{\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}\right)^2}}\tag{7}
\end{eqnarray}

ここで、「RLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)」が「共振時に流れる電流の大きさ\(I_{MAX}\)」の\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)倍の大きさになる時(\(I=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}I_{MAX}\)になる時)、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}I_{MAX}}{I_{MAX}}&=&\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}\right)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\frac{1}{\sqrt{2}}&=&\frac{1}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}\right)^2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}\frac{{\omega}L}{R}-\frac{1}{{\omega}CR}&=&±1\tag{8}
\end{eqnarray}

(8)式を用いれば、「\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=1\)」の時「\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=-1\)」の時における角周波数\({\omega}\)を求めることができます。

「\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=1\)」の時

「\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=1\)」を変形すると、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=1\\
\\
{\Leftrightarrow}LC{\omega}^2-RC{\omega}-1=0\tag{9}
\end{eqnarray}

(9)式を解くと、角周波数\({\omega}\)は次式となります。\({\omega}{>}0\)を考慮しているので、ルート(√)の前が「+(プラス)」になっています。

\begin{eqnarray}
{\omega}=\frac{RC+\sqrt{(RC)^2+4LC}}{2LC}\tag{10}
\end{eqnarray}

(10)式の\({\omega}\)を\({\omega}_2\)とします。

「\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=-1\)」の時

「\(\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=-1\)」を変形すると、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\frac{{\omega}L}{R}-\displaystyle\frac{1}{{\omega}CR}=-1\\
\\
{\Leftrightarrow}LC{\omega}^2+RC{\omega}-1=0\tag{11}
\end{eqnarray}

(11)式を解くと、角周波数\({\omega}\)は次式となります。\({\omega}{>}0\)を考慮しているので、ルート(√)の前が「+(プラス)」になっています。

\begin{eqnarray}
{\omega}=\frac{-RC+\sqrt{(RC)^2+4LC}}{2LC}\tag{12}
\end{eqnarray}

(12)式の\({\omega}\)を\({\omega}_2\)とします。

したがって、\({\Delta}{\omega}(={\omega}_2-{\omega}_1)\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\Delta}{\omega}&=&{\omega}_2-{\omega}_1\\
\\
&=&\frac{RC+\sqrt{(RC)^2+4LC}}{2LC}-\frac{-RC+\sqrt{(RC)^2+4LC}}{2LC}\\
\\
&=&\frac{R}{L}\tag{13}
\end{eqnarray}

なお、\({\Delta}{\omega}\)は半値全幅半値幅帯域幅と呼ばれています。

以上より、RLC直列共振回路のQ値は次式となります。

\begin{eqnarray}
Q=\frac{{\omega}_0}{{\Delta}{\omega}}=\frac{{\omega}_0}{{\omega}_2-{\omega}_1}&=&\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}}{\displaystyle\frac{R}{L}}\\
\\
&=&\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\tag{14}
\end{eqnarray}

なお、\(\displaystyle\frac{{\omega}_0}{{\Delta}{\omega}}\)は比帯域幅と呼ばれています。また、(14)式において「\({\omega}_0=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\)」を用いると次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{{\omega}_0L}{R}=\frac{1}{{\omega}_0CR}\tag{15}
\end{eqnarray}

これで、RLC直列共振回路のQ値の導出を終わります。

Q値に関してもう少し詳しく見てみましょう。

共振角周波数\({\omega}_0\)の時、RLC直列共振回路に流れている電流は\(I_{MAX}\)なので、「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)」と「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」は次式となります。

\begin{eqnarray}
V_R&=&R×I_{MAX}\tag{16}\\
\\
V_L&=&{\omega}_0L×I_{MAX}\tag{17}\\
\\
V_C&=&\frac{1}{{\omega}_0C}×I_{MAX}\tag{18}
\end{eqnarray}

(16)式~(18)式よりQ値は次式のように変形できます。

\begin{eqnarray}
Q&=&\frac{{\omega}_0L}{R}=\frac{{\omega}_0L×I_{MAX}}{R×I_{MAX}}=\frac{V_L}{V_R}\tag{19}\\
\\
Q&=&\frac{1}{{\omega}_0CR}=\frac{{\omega}_0L×I_{MAX}}{R×I_{MAX}}=\frac{V_C}{V_R}\tag{20}
\end{eqnarray}

したがって、Q値は「抵抗\(R\)にかかる電圧の大きさ\(V_R\)」と「インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)」または「コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)」の比とも言えます。

「Q値」と「インダクタLとコンデンサCにかかる電圧」の関係

「Q値」と「インダクタLとコンデンサCにかかる電圧」の関係

共振角周波数\({\omega}_0\)の時、RLC直列共振回路に流れている電流の大きさは\(I_{MAX}\)なので、インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
V_L={\omega}_0L×I_{MAX}={\omega}_0L×\frac{V}{R}=\frac{{\omega}_0L}{R}×V=Q×V\tag{21}
\end{eqnarray}

同様に、コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
V_C=\frac{1}{{\omega}_0C}×I_{MAX}=\frac{1}{{\omega}_0C}×\frac{V}{R}=\frac{1}{{\omega}_0CR}×V=Q×V\tag{22}
\end{eqnarray}

したがって、Q値は電源電圧の大きさ\(V\)の何倍の電圧がインダクタ\(L\)またはコンデンサ\(C\)にかかっているかを表す値でもあります。Q値が大きければ大きいほど、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)にかかる電圧が大きくなります。

半値全幅(半値幅)の意味

半値全幅(半値幅)の意味

\({\Delta}{\omega}\)は半値全幅半値幅などと言われていますが、なぜ「」が付いているのでしょうか。

共振角周波数\({\omega}_0\)の時、RLC直列共振回路に流れている電流の大きさは\(I_{MAX}\)なので、抵抗\(R\)で消費する電力\(P_{R0}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
P_{R0}=(I_{MAX})^2R\tag{23}
\end{eqnarray}

一方、RLC直列共振回路の角周波数\({\omega}\)が\({\omega}_1\)(または\({\omega}_2\))の時、RLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が\(I_{MAX}\)の\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)倍になるので、抵抗\(R\)で消費する電力\(P_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
P_{R}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}I_{MAX}\right)^2R=\frac{1}{2}(I_{MAX})^2R=\frac{1}{2}P_{R0}\tag{24}
\end{eqnarray}

以上より、RLC直列共振回路の角周波数\({\omega}\)が\({\omega}_1\)(または\({\omega}_2\))の時に抵抗\(R\)で消費する電力\(P_R\)は\(P_{R0}\)の半分(1/2)になるので\({\Delta}{\omega}(={\omega}_2-{\omega}_1)\)は半値全幅半値幅といいます。

まとめ

この記事では『RLC直列共振回路』について、以下の内容を説明しました。

  • RLC直列共振回路のQ値とは
  • RLC直列共振回路のQ値の「導出方法」
  • 「Q値」と「インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)にかかる電圧」の関係
  • 半値全幅(半値幅)の意味

お読み頂きありがとうございました。

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