抵抗の直並列接続！合成抵抗の『式』や『例題』などを解説！

この記事では『抵抗の直並列接続』について

直並列接続された抵抗の合成抵抗の『求め方』と『例題』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

抵抗の直並列接続

図1に示す回路は、抵抗\(R_2\)と抵抗\(R_3\)が並列接続され、それに抵抗\(R_1\)が直列接続されています。このような接続方法を「抵抗の直並列接続」といいます。

ポイント

『直列接続』と『並列接続』を組み合わせた接続方法が『直並列接続』です。

上図に示しているような直並列接続された抵抗の場合、合成抵抗\(R\)は以下の手順(ステップ1,2)で求めることができます。

合成抵抗Rを求める手順

並列接続されている抵抗\(R_2\)と\(R_3\)の合成抵抗\(R_{23}\)を求める。
抵抗\(R_1\)と合成抵抗\(R_{23}\)の合成抵抗\(R\)を求める

ステップ1

まず、並列接続されている抵抗\(R_2\)と\(R_3\)の合成抵抗\(R_{23}\)を求めます。

並列接続された抵抗の場合、合成抵抗\(R_{23}\)の逆数\(\displaystyle\frac{1}{R_{23}}\)は各抵抗の逆数の和で計算することができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{R_{23}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\tag{1}
\end{eqnarray}

上式を変形すると、合成抵抗\(R_{23}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R_{23}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_2}+\displaystyle\frac{1}{R_3}}=\frac{R_2×R_3}{R_2+R_3}\tag{2}
\end{eqnarray}

合成抵抗\(R_{23}\)は1つの抵抗と見なせるので、図2のように変形することができます。このように変形すると、抵抗\(R_1\)と合成抵抗\(R_{23}\)が直列接続されているようになります。

ステップ2

次に、抵抗\(R_1\)と合成抵抗\(R_{23}\)の合成抵抗\(R\)を求めます。

直列接続された抵抗の場合、合成抵抗\(R\)は各抵抗の和で計算することができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_{23}=R_1+\frac{R_2×R_3}{R_2+R_3}\tag{3}
\end{eqnarray}

合成抵抗って何？

回路に複数の抵抗がある時、複数の抵抗をまとめて1つの抵抗と見なしたものを「合成抵抗」といいます。

抵抗の直並列接続の例題

例題

上図に示した回路において、電源電圧\(V\)が\(60{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(6{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(6{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_3\)が\(12{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)と抵抗\(R_3\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
回路に流れる電流\(I\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。
抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。

解答

抵抗\(R_2\)と\(R_3\)の合成抵抗\(R_{23}\)は以下の値となります。

\begin{eqnarray}
R_{23}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_2}+\displaystyle\frac{1}{R_3}}\\
\\
&=&\frac{R_2×R_3}{R_2+R_3}\\
\\
&=&\frac{6×12}{6+12}\\
\\
&=&4{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

抵抗\(R_1\)と合成抵抗\(R_{23}\)は直接接続されているので、合成抵抗\(R\)は各抵抗の和で計算することができ、以下の値となります。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_{23}=6+4=10{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

したがって、回路に流れる電流\(I\)はオームの法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{R}=\frac{60}{10}=6{\mathrm{[A]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

また、抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2\)は分流の法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
I_2=\frac{R_3}{R_2+R_3}I=\frac{12}{6+12}×6=4{\mathrm{[A]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1\)はオームの法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V_1=R_1I=6×6=36{\mathrm{[V]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2\)はオームの法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
V_2=R_2I_2=6×4=24{\mathrm{[V]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

まとめ

この記事では、『抵抗の直並列接続』について、以下の内容を説明しました。