この記事では『抵抗の直列接続』について
- 直列接続された抵抗の合成抵抗の『求め方』と『例題』
などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。
抵抗の直列接続
上図に示すように、抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)を直列に接続することを「抵抗の直列接続」といいます。
直列接続された抵抗の場合、合成抵抗\(R\)は各抵抗の和で計算することができます。
上図の場合、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2\tag{1}
\end{eqnarray}
合成抵抗って何？
回路に複数の抵抗がある時、複数の抵抗をまとめて1つの抵抗と見なしたものを「合成抵抗」といいます。
2つの抵抗を直列接続した時の合成抵抗
上図に示しているのは2つの抵抗(\(R_1\)と\(R_2\))が直列接続されている回路です。この回路において、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。
R=R_1+R_2\tag{2}
\end{eqnarray}
証明
電源電圧を\(V{\mathrm{[V]}}\)、回路に流れる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧を\(V_1{\mathrm{[V]}}\)、\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧を\(V_2{\mathrm{[V]}}\)、合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とした時、オームの法則より次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
V=RI\tag{3}
\end{eqnarray}
また、抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)に流れる電流は\(I{\mathrm{[A]}}\)なので、オームの法則より次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
V_1&=&R_1I\tag{4}\\
\\
V_2&=&R_2I\tag{5}
\end{eqnarray}
直列接続された回路の場合、2つの抵抗(\(R_1\)と\(R_2\))に流れる電流は等しくなります。
そして、キルヒホッフの第2法則より、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
V=V_1+V_2\tag{6}
\end{eqnarray}
(6)式に(3)式～(5)式を代入すると、次式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
V&=&V_1+V_2\\
\\
{\Leftrightarrow}RI&=&R_1I+R_2I\\
\\
{\Leftrightarrow}R&=&R_1+R_2\tag{7}
\end{eqnarray}
すなわち、直列接続された抵抗の場合、合成抵抗\(R\)は各抵抗の和で計算すればいいことが分かります。
N個の抵抗を直列接続した時の合成抵抗
上図に示しているのは、\(N\)個の抵抗(\(R_1\),\(R_2\),・・・,\(R_N\))が直列接続されている回路です。この回路において、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。
R=R_1+R_2+{\cdots}+R_N\tag{8}
\end{eqnarray}
このように、直列接続されている抵抗が\(N\)個になっても、合成抵抗\(R\)は各抵抗の和で計算することができます。
また、上式から分かるように、直列接続された抵抗の場合、各抵抗の値が大きくなればなるほど、抵抗の数が増えれば増えるほど、合成抵抗\(R\)の大きさが大きくなることも分かります。
抵抗の直列接続の例題
例題
上図に示した回路において、電源電圧\(V\)が\(20{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(8{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、
- 抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
- 回路に流れる電流\(I\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
- \(A\)点の電位\(V_A\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
解答
直列接続された回路の場合、合成抵抗\(R\)は各抵抗の和で計算することでできるので、以下の値となります。
\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2=8+2=10{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{9}
\end{eqnarray}
抵抗の直列接続のイメージ
電流を流さないようにする役目を持つ抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)が、直列接続しているということは、さらに電流を流しにくくしている状態なので、合成抵抗\(R\)が大きくなるのです。
したがって、回路に流れる電流\(I\)はオームの法則より以下の値となります。
\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{R}=\frac{20}{10}=2{\mathrm{[A]}}\tag{10}
\end{eqnarray}
また、\(A\)点の電位\(V_A\)は抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2\)と等しいため、以下の値となります。
\begin{eqnarray}
V_A=V_2=R_2I=2×2=4{\mathrm{[V]}}\tag{11}
\end{eqnarray}
まとめ
この記事では、『抵抗の直列接続』について、以下の内容を説明しました。
- 直列接続された抵抗の合成抵抗の『求め方』と『例題』
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