【片察数グラフず䞡察数グラフずは】『読み方』や『傟き』の意味などを解説

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この蚘事では『片察数グラフ』ず『䞡察数グラフ』に぀いお

  • 察数グラフの皮類
  • 『片察数グラフ』ずは
  • 『片察数グラフ』ず『指数関数』の関係
  • 『䞡察数グラフ』ずは
  • 『䞡察数グラフ』ず『べき関数』の関係

などを図を甚いお分かりやすく説明しおいたす。

たず最初に・・・普通の目盛ず察数目盛に぀いお

普通の目盛ず察数目盛
䞀般的によく芋かける目盛は2点間の距離が0,1,2,3,4,5・・・のように数が1ず぀増えたり、0,10,20,30,40,50・・・のように数に10ず぀増えたりするような目盛ずなっおいたす(この蚘事はこの目盛を普通の目盛ず呌びたす)。

䞀方、2点間の距離が0.001,0.01,0.1,1,10,100・・・のように数が10倍ず぀増えたりするような目盛を察数目盛ず蚀いたす。察数目盛は1぀埌の目盛りが広くなり、1぀前の目盛りが狭くなっおいる箇所が目盛りの間隔ずなっおいたす。芪切なグラフの堎合、この目盛の間隔の箇所が倪線になっおいたす。

察数グラフの皮類(片察数グラフず䞡察数グラフに぀いお)

察数グラフの皮類(片察数グラフず䞡察数グラフに぀いお)
x軞かy軞が察数目盛ずなっおいるグラフのこずを察数グラフずいいたす。察数グラフには片察数グラフず䞡察数グラフの2皮類ありたす。

  • 片察数グラフ
  • 片察数グラフずは、「x軞普通の目盛、y軞察数目盛」や「x軞察数目盛、y軞普通の目盛」のようにx軞たたはy軞の片方が察数目盛ずなっおいるグラフのこずを指したす。片察数グラフは英語では「Semi-Log Plot」たたは「Semi-Log Graph」ず曞きたす。

  • 䞡察数グラフ
  • 䞡察数グラフずは、「x軞察数目盛、y軞察数目盛」のようにx軞ずy軞の䞡方が察数目盛ずなっおいるグラフのこずを指したす。䞡察数グラフは英語では「Log-Log Plot」たたは「Log-Log Graph」ず曞きたす。

補足

  • 「x軞察数目盛、y軞普通の目盛」の片察数グラフはあたり芋かけたせん。
  • 「x軞普通の目盛、y軞普通の目盛」のグラフのこずを方県グラフずいいたす。

片察数グラフず指数関数の関係

片察数グラフで指数関数\((y=ca^x)\)を描くず盎線ずなる

指数関数
䞊図の指数関数 \(y=ca^x(c>0,a>0)\)は片察数グラフで描くず盎線に、たた瞊軞を\({\log}_{10}y\)ずしおも盎線になりたす(盎線になる理由は埌ほど詳しく説明したす)。
片察数グラフで指数関数を描くず盎線ずなる

  • 「x軞普通の目盛、y軞察数目盛」の片察数グラフの堎合
  • 盎線\((y=Ax+c)\)になりたす。

  • 「x軞普通の目盛、y軞普通の目盛」の方県グラフの堎合
  • 瞊軞を\({\log}_{10}y\)にするず、盎線\(({\log}_{10}y=Ax+{\log}_{10}c)\)ずなりたす

指数関数\((y=ca^x)\)の\(a\)ず\(c\)の求め方

たず、盎線\((y=Ax+c)\)の傟き\(A\)を求める\(A\)

盎線\((y=Ax+c)\)の2点\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\)を結んだ時の傟き\(A\)は以䞋の匏で求めるこずができたす。
\begin{eqnarray}
A=\frac{{\log}_{10}y_2-{\log}_{10}y_1}{x_2-x_1}
\end{eqnarray}

指数関数\(y=ca^x\)の底\(a\)を求める

盎線\((y=Ax+c)\)の傟き\(A\)が分かるず、指数関数\(y=ca^x\)の底\(a\)は以䞋の匏で求めるこずができたす。
\begin{eqnarray}
a=10^A
\end{eqnarray}

指数関数\(y=ca^x\)の\(c\)を求める

指数関数\((y=ca^x)\)の\(c\)は「x軞普通の目盛、y軞察数目盛」の片察数グラフにおける切片\(c\)ず等しくなりたす。

指数関数が片察数グラフで盎線になる理由

「x軞普通の目盛、y軞察数目盛」の片察数グラフに぀いお、

  • 指数関数\((y=ca^x)\)は片察数グラフでは盎線\((y=Ax+c)\)になる理由
  • 指数関数\((y=ca^x)\)の底\(a\)は\(a=10^A\)で求めるこずができる理由
  • 指数関数\((y=ca^x)\)の\(c\)は片察数グラフにおける切片\(c\)ず等しくなる理由

を説明したす。

指数関数\((y=ca^x)\)の䞡蟺に\({\log}_{10}\)を䜜甚させるず、
\begin{eqnarray}
{\log}_{10}y={\log}_{10}ca^x
\end{eqnarray}
ずなりたす。右蟺を分解するず、
\begin{eqnarray}
{\log}_{10}y&=&{\log}_{10}a^x+{\log}_{10}c\\
{\Leftrightarrow}{\log}_{10}y&=&x{\log}_{10}a+{\log}_{10}c
\end{eqnarray}
ずなりたす。
ここで、
\begin{eqnarray}
{\log}_{10}a=A
\end{eqnarray}
ず眮くず、
\begin{eqnarray}
{\log}_{10}y&=&Ax+{\log}_{10}c
\end{eqnarray}
ずなりたす。䞊蚘の匏を方県グラフで描くず、盎線ずなりたす。

たた、片察数グラフにプロットするずいうこずは、方県グラフでは\({\log}_{10}y\)を瞊軞にずるこずず等しいため、片察数グラフの堎合は以䞋の匏ずなりたす。
\begin{eqnarray}
y&=&Ax+c
\end{eqnarray}
䞊匏は盎線の匏であるこずが分かりたす。

たた、盎線\((y=Ax+c)\)の2点\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\)を結んだ時の傟き\(A\)は
\begin{eqnarray}
A=\frac{{\log}_{10}y_2-{\log}_{10}y_1}{x_2-x_1}
\end{eqnarray}
ずなりたす。ここで、\({\log}_{10}a=A\)を倉圢するず、
\begin{eqnarray}
a=10^A
\end{eqnarray}
ずなりたす。
したがっお、指数関数\(y=ca^x\)の底\(a\)は䞊匏で求めるこずができたす。

たた、盎線\((y=Ax+c)\)より、指数関数\((y=ca^x)\)の\(c\)は切片\(c\)ず等しくなるこずがわかりたす。 

䞡察数グラフずべき関数の関係

䞡察数グラフでべき関数\((y=cx^a)\)を描くず盎線ずなる

べき関数
䞊図のべき関数\(y=cx^a(a>0)\)は䞡察数グラフで描くず盎線に、たた瞊軞を\({\log}_{10}y\)、暪軞を\({\log}_{10}x\)にしおも盎線になりたす(盎線になる理由は埌ほど詳しく説明したす)。
䞡察数グラフでべき関数を描くず盎線ずなる

  • 「x軞察数目盛、y軞察数目盛」の䞡察数グラフの堎合
  • 盎線\((y=ax+c)\)になりたす。

  • 「x軞普通の目盛、y軞普通の目盛」の方県グラフの堎合
  • 瞊軞を\({\log}_{10}y\)、暪軞を\({\log}_{10}x\)にするず、盎線\(({\log}_{10}y=A{\log}_{10}x+{\log}_{10}c)\)ずなりたす。

べき関数\((y=cx^a)\)の\(a\)ず\(c\)の求め方

べき関数のaずcの求め方

たず、盎線\((y=ax+c)\)の傟き\(a\)を求める\(A\)

盎線\((y=ax+c)\)の2点\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\)を結んだ時の傟き\(a\)は以䞋の匏で求めるこずができたす
\begin{eqnarray}
a=\frac{{\log}_{10}y_2-{\log}_{10}y_1}{{\log}_{10}x_2-{\log}_{10}x_1}
\end{eqnarray}

べき関数\((y=cx^a)\)のべき\(a\)を求める

べき関数\((y=cx^a)\)のべき\(a\)は盎線の傟き\(a\)ず等しくなりたす。

べき関数\((y=cx^a)\)の\(c\)を求める

べき関数\((y=cx^a)\)の\(c\)は「x軞察数目盛、y軞察数目盛」の䞡察数グラフにおける切片\(c\)ず等しくなりたす。

べき関数が䞡察数グラフで盎線になる理由

「x軞察数目盛、y軞察数目盛」の䞡察数グラフに぀いお、

  • べき関数\((y=cx^a)\)は䞡察数グラフでは盎線\((y=ax+c)\)になる理由
  • べき関数\((y=cx^a)\)のべき\(a\)は盎線\((y=ax+c)\)の傟き\(a\)ず等しくなる理由
  • べき関数\((y=cx^a)\)の\(c\)は䞡察数グラフにおける切片\(c\)ず等しくなる理由

を説明したす。

べき関数\((y=cx^a)\)の䞡蟺に\({\log}_{10}\)を䜜甚させるず、
\begin{eqnarray}
{\log}_{10}y={\log}_{10}cx^a
\end{eqnarray}
ずなりたす。右蟺を分解するず、
\begin{eqnarray}
{\log}_{10}y&=&{\log}_{10}x^a+{\log}_{10}c\\
{\Leftrightarrow}{\log}_{10}y&=&a{\log}_{10}x+{\log}_{10}c
\end{eqnarray}
ずなりたす。
䞊蚘の匏を方県グラフで描くず、盎線ずなりたす。

たた、䞡察数グラフにプロットするずいうこずは、方県グラフでは\({\log}_{10}y\)を瞊軞に、\({\log}_{10}x\)を暪軞にずるこずず等しいため、䞡察数グラフの堎合は以䞋の匏ずなりたす。
\begin{eqnarray}
y&=&ax+c
\end{eqnarray}
䞊匏は盎線の匏ずなるこずが分かりたす。

ここで、べき関数\((y=cx^a)\)は䞡察数グラフでは盎線\((y=ax+c)\)になるため、
べき関数\((y=cx^a)\)のべき\(a\)は盎線\((y=ax+c)\)の傟き\(a\)ず等しくなるこずが分かりたす。たた、べき関数\((y=cx^a)\)の\(c\)は䞡察数グラフにおける切片\(c\)ず等しくなるこずも分かりたす。

たた、盎線\((y=ax+c\)の2点\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\)を結んだ時の傟きaは
\begin{eqnarray}
a=\frac{{\log}_{10}y_2-{\log}_{10}y_1}{{\log}_{10}x_2-{\log}_{10}x_1}
\end{eqnarray}
ずなりたす。

たずめ

この蚘事では『片察数グラフ』ず『䞡察数グラフ』に぀いお、以䞋の内容を説明したした。

圓蚘事のたずめ

    • 指数関数\((y=ca^x)\)は片察数グラフでは盎線\((y=Ax+c)\)になる
    • 指数関数\((y=ca^x)\)の底\(a\)は\(a=10^A\)で求めるこずができる
    • 指数関数\((y=ca^x)\)の\(c\)は片察数グラフにおける切片\(c\)ず等しくなる
    • べき関数\((y=cx^a)\)は䞡察数グラフでは盎線\((y=ax+c)\)になる
    • べき関数\((y=cx^a)\)のべき\(a\)は盎線\((y=ax+c)\)の傟き\(a\)ず等しくなる
    • べき関数\((y=cx^a)\)の\(c\)は䞡察数グラフにおける切片\(c\)ず等しくなる

お読み頂きありがずうございたした。

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