『サレンキー型ローパスフィルタ』とは？伝達関数や周波数特性を解説！

この記事では『サレンキー型ローパスフィルタ』について

サレンキー型ローパスフィルタとは
サレンキー型ローパスフィルタの『伝達関数』,『カットオフ周波数』,『Q値』
サレンキー型ローパスフィルタの『周波数特性』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

サレンキー型ローパスフィルタ

上図にサレンキー型ローパスフィルタの回路構成を示しています。

サレンキー型ローパスフィルタは、オペアンプと抵抗\(R_1,R_2\)とコンデンサ\(C_1,C_2\)で構成されている2次ローパスフィルタです。入力電圧\(V_{IN}\)の低周波成分を通過させ、高周波成分を遮断します。

後ほど導出方法など詳細に説明しますが、サレンキー型ローパスフィルタの『伝達関数』,『カットオフ周波数』,『Q値』の式と『周波数特性』をまとめると、下記のようになります。

サレンキー型ローパスフィルタのまとめ

伝達関数\(G(j{\omega})\)

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}}{s^2+s\left(\displaystyle\frac{1}{R_1C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2C_1}\right)+\displaystyle\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}}
\end{eqnarray}

カットオフ周波数\(f_C\)

\begin{eqnarray}
f_C=\frac{1}{2{\pi}\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}
\end{eqnarray}

Q値

\begin{eqnarray}
Q=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{R_2C_2}{R_1C_1}}+\sqrt{\displaystyle\frac{R_1C_2}{R_2C_1}}}
\end{eqnarray}

サレンキー型ローパスフィルタの伝達関数

上図に示すように、抵抗\(R_1\)に流れる電流を\(I_1\)、コンデンサ\(C_1\)に流れる電流を\(I_2\)、抵抗\(R_2\)とコンデンサ\(C_2\)に流れる電流を\(I_3\)と置き、抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の接続点の電圧を電圧\(V_x\)とし、抵抗\(R_1\)のインピーダンス、コンデンサ\(C_1\)のインピーダンス、抵抗\(R_2\)のインピーダンス、コンデンサ\(C_2\)のインピーダンスをそれぞれ\(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4\)とすると、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I_1&=&\frac{V_{IN}-V_x}{Z_1}\tag{1}\\
\\
I_2&=&\frac{V_{OUT}-V_x}{Z_2}\tag{2}\\
\\
I_3&=&\frac{V_x}{Z_3+Z_4}\tag{3}\\
\\
I_3&=&\frac{V_{OUT}}{Z_4}\tag{4}\\
\\
I_3&=&I_1+I_2\tag{5}
\end{eqnarray}

(3)式と(4)式を用いると、電圧\(V_x\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
&&\frac{V_x}{Z_3+Z_4}=\frac{V_{OUT}}{Z_4}\\
\\
{\Leftrightarrow}&&V_x=\frac{Z_3+Z_4}{Z_4}V_{OUT}\tag{6}
\end{eqnarray}

(6)式を(1)式と(2)式に代入すると、電流\(I_1\)と\(I_2\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
I_1&=&\frac{V_{IN}-\displaystyle\frac{Z_3+Z_4}{Z_4}V_{OUT}}{Z_1}=\frac{Z_4V_{IN}-(Z_3+Z_4)V_{OUT}}{Z_1Z_4}\tag{7}\\
\\
I_2&=&\frac{V_{OUT}-\displaystyle\frac{Z_3+Z_4}{Z_4}V_{OUT}}{Z_2}=\frac{Z_4V_{OUT}-(Z_3+Z_4)V_{OUT}}{Z_2Z_4}=-\frac{Z_3}{Z_2Z_4}V_{OUT}\tag{8}
\end{eqnarray}

(4)式,(7)式,(8)式を(5)式に代入すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
\frac{V_{OUT}}{Z_4}=\frac{Z_4V_{IN}-(Z_3+Z_4)V_{OUT}}{Z_1Z_4}-\frac{Z_3}{Z_2Z_4}V_{OUT}\tag{9}
\end{eqnarray}

(9)式の両辺に『\(Z_1Z_2Z_4\)』を掛けると、電圧\(V_{OUT}\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
Z_1Z_2V_{OUT}&=&Z_2Z_4V_{IN}-Z_2(Z_3+Z_4)V_{OUT}-Z_1Z_3V_{OUT}\\
\\
&=&Z_2Z_4V_{IN}-Z_2Z_3V_{OUT}-Z_2Z_4V_{OUT}-Z_1Z_3V_{OUT}\\
\\
{\Leftrightarrow}(Z_1Z_3+Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_2Z_4)V_{OUT}&=&Z_2Z_4V_{IN}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_{OUT}&=&\frac{Z_2Z_4}{Z_1Z_3+Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_2Z_4}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{Z_1Z_3}{Z_2Z_4}+\displaystyle\frac{Z_1+Z_3}{Z_4}+1}V_{IN}\tag{10}
\end{eqnarray}

ここで、インピーダンス\(Z_1～Z_4\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
Z_1&=&R_1\\
\\
Z_2&=&\frac{1}{j{\omega}C_1}=\frac{1}{sC_1}\\
\\
Z_3&=&R_2\\
\\
Z_4&=&\frac{1}{j{\omega}C_2}=\frac{1}{sC_2}\\
\end{eqnarray}

上記のインピーダンスを(10)式に代入すると、電圧\(V_{OUT}\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
V_{OUT}&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{R_1R_2}{\displaystyle\frac{1}{sC_1}{\;}{\cdot}{\;}\displaystyle\frac{1}{sC_2}}+\displaystyle\frac{R_1+R_2}{\displaystyle\frac{1}{sC_2}}+1}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{1}{s^2R_1R_2C_1C_2+sC_2(R_1+R_2)+1}V_{IN}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}}{s^2+s\left(\displaystyle\frac{1}{R_1C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2C_1}\right)+\displaystyle\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}}V_{IN}\tag{11}\\
\end{eqnarray}

伝達関数\(G(j{\omega})\)は入力電圧\(V_{IN}\)と出力電圧\(V_{OUT}\)の比です。そのため、(11)式を変形すると、伝達関数\(G(j{\omega})\)は次式で表すことができます。

サレンキー型ローパスフィルタのカットオフ周波数とQ値

2次系の伝達関数は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{{{\omega}_n}^2}{s^2+2{\zeta}{\omega}_ns+{{\omega}_n}^2}\tag{13}
\end{eqnarray}

上式において\({\omega}_n\)は固有角周波数[rad/s]、\({\zeta}\)は減衰係数となります。

また、共振の鋭さ\(Q\)と減衰係数\({\zeta}\)には『\({\zeta}=\displaystyle\frac{1}{2Q}\)』の関係があるので、(13)式は次式に変形することができます。

\begin{eqnarray}
G(j{\omega})=\frac{{{\omega}_n}^2}{s^2+\displaystyle\frac{{\omega}_n}{Q}s+{{\omega}_n}^2}\tag{14}
\end{eqnarray}

(11)式と(14)式より、固有角周波数\({\omega}_n\)は次式で表されることが分かります。

\begin{eqnarray}
{\omega}_n=\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}\tag{15}
\end{eqnarray}

上式で表される固有角周波数\({\omega}_n\)はサレンキー型ローパスフィルタのカットオフ角周波数\({\omega}_C\)となります。したがって、サレンキー型ローパスフィルタのカットオフ周波数\(f_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\omega}_n={\omega}_C&=&\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}f_C&=&\frac{1}{2{\pi}\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}\tag{16}
\end{eqnarray}

また、(11)式と(14)式と(15)式を用いると、サレンキー型ローパスフィルタのQ値は次式で表されることが分かります。

\begin{eqnarray}
\frac{{\omega}_n}{Q}&=&\frac{1}{R_1C_1}+\frac{1}{R_2C_1}\\
\\
{\Leftrightarrow}Q&=&\frac{{\omega}_n}{\displaystyle\frac{1}{R_1C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2C_1}}\\
\\
&=&\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}}{\displaystyle\frac{1}{R_1C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2C_1}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{R_2C_2}{R_1C_1}}+\sqrt{\displaystyle\frac{R_1C_2}{R_2C_1}}}\tag{17}
\end{eqnarray}

サレンキー型ローパスフィルタの設計

設計を簡単にするために、この記事では抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)は等しい抵抗値\(R\)を用いて設計します(\(R_1=R_2=R\))。

『\(R_1=R_2=R\)』とすると、(16)式は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
{\omega}_C=\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}=\frac{1}{R\sqrt{C_1C_2}}\tag{18}
\end{eqnarray}

また、(17)式は以下に示すように変形することができるようになります。

\begin{eqnarray}
Q&=&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{R_2C_2}{R_1C_1}}+\sqrt{\displaystyle\frac{R_1C_2}{R_2C_1}}}\\
\\
&=&\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{RC_2}{RC_1}}+\sqrt{\displaystyle\frac{RC_2}{RC_1}}}\\
\\
&=&\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{C_2}{C_1}}}\\
\\
&=&\frac{1}{2}\sqrt{\displaystyle\frac{C_1}{C_2}}\tag{19}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{C_2}&=&\frac{\sqrt{C_1}}{2Q}\tag{20}\\
\\
{\Leftrightarrow}\sqrt{C_1}&=&2Q\sqrt{C_2}\tag{21}\\
\end{eqnarray}

ここで、(20)式を(18)式に代入すると、コンデンサ\(C_1\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\omega}_C&=&\frac{1}{R\sqrt{C_1}×\displaystyle\frac{\sqrt{C_1}}{2Q}}\\
\\
{\Leftrightarrow}C_1&=&\frac{2Q}{{\omega}_CR}\tag{22}
\end{eqnarray}

同様に、(21)式を(18)式に代入すると、コンデンサ\(C_2\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
{\omega}_C&=&\frac{1}{R×2Q\sqrt{C_2}×\sqrt{C_2}}\\
\\
{\Leftrightarrow}C_2&=&\frac{1}{2Q{\omega}_CR}\tag{23}
\end{eqnarray}

ここで、『\({\omega}_C=\displaystyle\frac{1}{C_fR}\)』と置くと、コンデンサ\(C_1\)とコンデンサ\(C_2\)は次式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
C_1&=&2QC_f\tag{24}\\
\\
C_2&=&\frac{C_f}{2Q}\tag{25}
\end{eqnarray}

以上をまとめると、『\(R_1=R_2=R\)』とすれば、

\begin{eqnarray}
C_1&=&\frac{2Q}{{\omega}_CR}=\frac{2Q}{2{\pi}f_C×R}=2QC_f\\
\\
C_2&=&\frac{1}{2Q{\omega}_CR}=\frac{1}{2Q×2{\pi}f_C×R}=\frac{C_f}{2Q}
\end{eqnarray}

となり、抵抗\(R\)とカットオフ周波数\(f_C\)とQ値を設定すれば、コンデンサ\(C_1\)とコンデンサ\(C_2\)の値を求めることができます。