『三角波』の実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

この記事では『三角波』について

実効値・平均値・波形率・波高率の求め方

などを図を用いて分かりやすく説明しています。

三角波の実効値・平均値・波形率・波高率

最初に三角波(最大値$V_M$、周期$T$)の実効値・平均値・波形率・波高率を上図に示します。
これから各値がどのように求まるのかを説明します(できるだけ途中式を多くするよう心がけています)。

三角波の波形式

三角波の実効値・平均値を求めるためには、最初に三角波を式で表す必要があります。

三角波は2つの直線で表すことができます。

上図では三角波を赤色の直線と青色の直線で分けています。

赤色の直線の領域は「$0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}$」、青色の直線の領域は「$\displaystyle \frac{T}{2} \leq t \lt T$」となっています。

各直線の式を求めます。

赤色の直線

「$0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}$」の領域が赤色の直線です。

赤色の直線の傾きは、時間$\displaystyle \frac{T}{2}$で$2V_M$増加しているため、
\begin{eqnarray}
赤色の直線の傾き=\displaystyle \frac{2V_M}{\displaystyle \frac{T}{2}}=\displaystyle \frac{4V_M}{T}
\end{eqnarray}
となります。

切片はy軸と交わる点なので、
\begin{eqnarray}
赤色の直線の接点=-V_M
\end{eqnarray}
となります。

そのため、赤色の直線の式は

\begin{eqnarray}
v(t) =　\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-V_M
\end{eqnarray}

で表すことができます。

青色の直線

「$\displaystyle \frac{T}{2} \leq t \lt T$」の領域が青色の直線です。

青色の直線部分は傾きは、時間$\displaystyle \frac{T}{2}$で$2V_M$減少しているため、
\begin{eqnarray}
青色の直線の傾き=\displaystyle \frac{-2V_M}{\displaystyle \frac{T}{2}}=-\displaystyle \frac{4V_M}{T}
\end{eqnarray}
となります。

切片は青色の直線を伸ばしてy軸と交わる点です(図では点線で表しています)。

切片は式を解いて求める必要があります。

切片を$A$と置くと、青色の直線の式は、
\begin{eqnarray}
v(t) = -\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+A
\end{eqnarray}
となります。

青色の直線は$ \left(t,v(t)\right)=\left(\displaystyle \frac{T}{2},V_M\right)$を通っているので、これを代入すると
\begin{eqnarray}
V_M = -\displaystyle \frac{4V_M}{T}\displaystyle \frac{T}{2}+A \iff A=3V_M
\end{eqnarray}
となります。

したがって、青色の直線部分の式は

\begin{eqnarray}
v(t) = -\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+3V_M
\end{eqnarray}

となります。

赤色の直線と青色の直線を合わせると、

\begin{eqnarray}
v(t) = \begin{cases}
\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-V_M & \left(0 \leq t \lt \displaystyle \frac{2}{T}\right) \\
-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+3V_M & \left(\displaystyle \frac{2}{T} \leq t \lt T\right)
\end{cases}
\end{eqnarray}

となります。これが三角波の式です。

正弦波や矩形波と比較して三角波は式が少し複雑になります。

三角波の実効値

波形$v(t)$の実効値$V_{RMS}$は、$v(t)$を2乗して平均した値の平方根なので、

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}v(t)^2dt}
\end{eqnarray}

と表されます。

赤色の直線の領域は「$0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}$」、青色の直線の領域は「$\displaystyle \frac{T}{2} \leq t \lt T$」です。

絶対値を求める式において、赤色の直線と青色の直線を分けると、
\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(\displaystyle \int_{0}^{T/2}v(t)^2dt+\displaystyle \int_{T/2}^{T}v(t)^2dt\right )}
\end{eqnarray}
となります。

このまま上式を解くと式が長くなり計算がしにくくなります。

そのため、
\begin{eqnarray}
X &=& \displaystyle \int_{0}^{T/2}v(t)^2dt\\
Y &=& \displaystyle \int_{T/2}^{T}v(t)^2dt\\
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(X+Y\right )}
\end{eqnarray}
と置き、$X$と$Y$の各値を別々に求めていきます。

\begin{eqnarray}
X&=&\displaystyle \int_{0}^{T/2}v(t)^2dt\\
&=& \displaystyle \int_{0}^{T/2}\left(\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-V_M \right)^2dt \\
&=&\displaystyle \int_{0}^{T/2}\left(\displaystyle \frac{16V_M^2}{T^2}t^2-\displaystyle\frac{8V_M^2}{T}t +V_M^2 \right)dt \\
&=&V_M^2 \left[ \displaystyle \frac{16}{3T^2}t^3-\displaystyle\frac{4}{T}t^2 +t \right]_{0}^{T/2}\\
&=&V_M^2 \left(\displaystyle \frac{16}{3T^2}\displaystyle \frac{T}{8}^3-\displaystyle \frac{4}{T}\displaystyle \frac{T}{4}^2+\displaystyle \frac{T}{2} \right)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{6}TV_M^2\\
Y&=&\displaystyle \int_{T/2}^{T}v(t)^2dt\\
&=& \displaystyle \int_{T/2}^{T}\left(-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+3V_M \right)^2dt \\
&=&\displaystyle \int_{T/2}^{T}\left(\displaystyle \frac{16V_M^2}{T^2}t^2-\displaystyle\frac{24V_M^2}{T}t +9V_M^2 \right)dt \\
&=&V_M^2 \left[ \displaystyle \frac{16}{3T^2}t^3-\displaystyle\frac{12}{T}t^2 +9t \right]_{0}^{T/2}\\
&=&V_M^2\left(\displaystyle \frac{16}{3T^2}T^3-\displaystyle \frac{12}{T}T^2+9T-\displaystyle \frac{16}{3T^2}\displaystyle \frac{T}{8}^3+\displaystyle \frac{12}{T}\displaystyle \frac{T}{4}^2-9\displaystyle \frac{T}{2}\right)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{6}TV_M^2
\end{eqnarray}

以上より、三角波の実効値$V_{RMS}$は、

\begin{eqnarray}
V_{RMS} &=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(X+Y\right )}\\
&=& \sqrt{\displaystyle\frac{1}{T} \left(\displaystyle \frac{1}{6}TV_M^2+\displaystyle \frac{1}{6}TV_M^2\right )}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}V_M
\end{eqnarray}

となります。

三角波の平均値

波形$v(t)$の平均値$V_{AVE}$は、$v(t)$の絶対値$|v(t)|$を平均した値なので、

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}|v(t)|dt
\end{eqnarray}

と表されます。

この平均値を求める式は$v(t)$の絶対値$|v(t)|$を使用します。

そのため、波形のマイナスの領域(薄い青の箇所)はプラス(薄い赤の箇所)になるように変換する必要があります。

領域$\left(0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{4}\right)$と領域$\left(\displaystyle \frac{3T}{4} \leq t \lt T\right)$は波形$v(t)$がマイナスなので、プラスになるように式にマイナスをかけます。

領域$\left(\displaystyle \frac{T}{4} \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}\right)$と領域$\left(\displaystyle \frac{3T}{4} \leq t \lt T\right)$は波形$v(t)$がプラスなので、何も変換しません。

したがって、$v(t)$の絶対値$|v(t)|$の式は

$$
|v(t)| = \begin{cases}
-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+V_M & \left(0 \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{4}\right) \\
\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-V_M & \left(\displaystyle \frac{T}{4} \leq t \lt \displaystyle \frac{T}{2}\right)\\
-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+3V_M & \left(\displaystyle \frac{T}{2} \leq t \lt \displaystyle \frac{3T}{4}\right)\\
\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-3V_M & \left(\displaystyle \frac{3T}{4} \leq t \lt T\right)\\
\end{cases}
$$

となります。

平均値を求める式において、各式を分けると、
\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=& \displaystyle\frac{1}{T} \displaystyle \int_{0}^{T}|v(t)|dt\\
&=& \displaystyle\frac{1}{T}\left(\displaystyle \int_{0}^{T/4}\left(-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+V_M\right)dt+ \displaystyle \int_{T/4}^{T/2}\left(\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-V_M\right)dt \right. \\
&&\qquad +\left.\displaystyle \int_{T/2}^{3T/4}\left(-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+3V_M\right)dt+ \displaystyle \int_{3T/4}^{T}\left(\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-3V_M\right)dt \right)
\end{eqnarray}
となります。

このまま上式を解くと式が長くなり計算がしにくくなります。

そのため、
\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=&\displaystyle\frac{1}{T}\left(A+B+C+D\right)\\
A &=& \displaystyle \int_{0}^{T/4}\left(-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+V_M\right)dt\\
B &=& \displaystyle \int_{T/4}^{T/2}\left(\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-V_M\right)dt\\
C &=& \displaystyle \int_{T/2}^{3T/4}\left(-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+3V_M\right)dt\\
D &=& \displaystyle \int_{3T/4}^{T}\left(\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-3V_M\right)dt\\
\end{eqnarray}
と置き、$A$、$B$、$C$、$D$の各値を別々に求めていきます。

\begin{eqnarray}
A &=& \displaystyle \int_{0}^{T/4}\left(-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+V_M\right)dt\\
&=& V_M \left[ -\displaystyle \frac{4}{2T}t^2+t \right]_{0}^{T/4}\\
&=& V_M \left( -\displaystyle \frac{4}{2T}\displaystyle \frac{T^2}{16}+\displaystyle \frac{T}{4} \right)\\
&=& \displaystyle \frac{1}{8}V_MT\\
B &=& \displaystyle \int_{T/4}^{T/2}\left(\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-V_M\right)dt\\
&=& V_M \left[\displaystyle \frac{4}{2T}t^2-t \right]_{T/4}^{T/2}\\
&=& V_M \left(\displaystyle \frac{4}{2T}\displaystyle \frac{T^2}{4}-\displaystyle \frac{T}{2}-\displaystyle \frac{4}{2T}\displaystyle \frac{T^2}{16}+\displaystyle \frac{T}{4} \right)\\
&=& \displaystyle \frac{1}{8}V_MT\\
C &=& \displaystyle \int_{T/2}^{3T/4}\left(-\displaystyle \frac{4V_M}{T}t+3V_M\right)dt\\
&=& V_M \left[-\displaystyle \frac{4}{2T}t^2+3t \right]_{T/2}^{3T/4}\\
&=& V_M \left(-\displaystyle \frac{4}{2T}\displaystyle \frac{9T^2}{16}+\displaystyle \frac{9T}{4}+\displaystyle \frac{4}{2T}\displaystyle \frac{T^2}{4}-\displaystyle \frac{3T}{2} \right)\\
&=& \displaystyle \frac{1}{8}V_MT\\
D &=& \displaystyle \int_{3T/4}^{T}\left(\displaystyle \frac{4V_M}{T}t-3V_M\right)dt\\
&=& V_M \left[\displaystyle \frac{4}{2T}t^2-3t \right]_{3T/4}^{T}\\
&=& V_M \left(\displaystyle \frac{4}{2T}T^2-3T-\displaystyle \frac{4}{2T}\displaystyle \frac{9T^2}{16}+\displaystyle \frac{9T}{4} \right)\\
&=& \displaystyle \frac{1}{8}V_MT\\
\end{eqnarray}

以上より、三角波の平均値$V_{AVE}$は、

\begin{eqnarray}
V_{AVE} &=&\displaystyle\frac{1}{T}\left(A+B+C+D\right)\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}V_MT
\end{eqnarray}

となります。

三角波の波形率

波形率は以下の式で表すことができます。

\begin{eqnarray}
波形率 &=& \displaystyle\frac{実効値V_{RMS}}{平均値V_{AVE}}
\end{eqnarray}

三角波の実効値$V_{RMS}$と平均値$V_{AVE}$は求まっているので、この式に代入することで三角波の波形率を求めることができます。

\begin{eqnarray}
波形率 = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}V_M}{\displaystyle\frac{1}{2}V_M} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray}