RLC直列共振回路の『Q値』とは？導出方法などを解説！

この記事では『RLC直列共振回路』について

RLC直列共振回路のQ値とは
RLC直列共振回路のQ値の「導出方法」
「Q値」と「インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)にかかる電圧」の関係
半値全幅(半値幅)の意味

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

RLC直列共振回路のQ値とは

Q値とは周波数特性の鋭さ(尖鋭度)を表す値です。Q値が大きいと特性が鋭くなり、小さいと特性が緩やかになります。

上図にRLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)の周波数特性を示しています。RLC直列共振回路は、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列接続した回路であり、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)が共振する角周波数\({\omega}_0\left(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\)で電流の大きさ\(I\)が最大値\(I_{MAX}\)になります。

このRLC直列共振回路において、Q値は次式で表されます(次式の導出方法については後ほど説明します)。

RLC直列共振回路の『Q値』

\begin{eqnarray}
Q=\frac{{\omega}_0}{{\Delta}{\omega}}=\frac{{\omega}_0}{{\omega}_2-{\omega}_1}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{{\omega}_0L}{R}=\frac{1}{{\omega}_0CR}\tag{1}
\end{eqnarray}

上式において、\({\omega}_0\)は共振角周波数、\({\omega}_1\)と\({\omega}_2\)はRLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が\(I_{MAX}\)の\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)倍の大きさになる時の角周波数(\({\omega}_1{<}{\omega}_2\))、\(R\)は抵抗の抵抗値、\(L\)はインダクタの自己インダクタンス、\(C\)はコンデンサの静電容量となります。

(1)式より、\({\Delta}{\omega}(={\omega}_2-{\omega}_1)\)が小さいほど(周波数特性が鋭くなるほど)、Q値が大きくなります。

補足

Qは「Quality factor(品質要素)」のQからとった記号です。
Q値は「共振回路の良さ(共振回路の損失の少なさ)」を表す指標です。RLC直列共振回路の場合、抵抗値\(R\)が小さいほど、Q値が大きくなります。それは、抵抗値\(R\)が小さいほど、抵抗で生じる損失が小さくなるからです。

RLC直列共振回路のQ値の導出

RLC直列共振回路は上図に示すように、抵抗\(R\)とインダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)を直列接続した回路です。抵抗\(R\)の抵抗値を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、インダクタ\(L\)のインダクタンスを\(L{\mathrm{[H]}}\)、コンデンサ\(C\)の静電容量を\(C{\mathrm{[F]}}\)とします。

この時、RLC直列共振回路の合成インピーダンス\({\dot{Z}}\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
{\dot{Z}}=R+j\left({\omega}L-\frac{1}{{\omega}C}\right)\tag{2}
\end{eqnarray}

上式において、\({\omega}\)は角周波数(角速度とも呼ばれる)であり、\({\omega}=2{\pi}f\)の関係があります。

また、RLC直列共振回路の合成インピーダンスの大きさ\(Z\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
Z=|{\dot{Z}}|=\sqrt{R^2+\left({\omega}L-\displaystyle\frac{1}{{\omega}C}\right)^2}\tag{3}
\end{eqnarray}

「Q値」と「インダクタLとコンデンサCにかかる電圧」の関係

共振角周波数\({\omega}_0\)の時、RLC直列共振回路に流れている電流の大きさは\(I_{MAX}\)なので、インダクタ\(L\)にかかる電圧の大きさ\(V_L\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
V_L={\omega}_0L×I_{MAX}={\omega}_0L×\frac{V}{R}=\frac{{\omega}_0L}{R}×V=Q×V\tag{21}
\end{eqnarray}

同様に、コンデンサ\(C\)にかかる電圧の大きさ\(V_C\)は次式となります。

\begin{eqnarray}
V_C=\frac{1}{{\omega}_0C}×I_{MAX}=\frac{1}{{\omega}_0C}×\frac{V}{R}=\frac{1}{{\omega}_0CR}×V=Q×V\tag{22}
\end{eqnarray}

したがって、Q値は電源電圧の大きさ\(V\)の何倍の電圧がインダクタ\(L\)またはコンデンサ\(C\)にかかっているかを表す値でもあります。Q値が大きければ大きいほど、インダクタ\(L\)とコンデンサ\(C\)にかかる電圧が大きくなります。

半値全幅(半値幅)の意味

\({\Delta}{\omega}\)は半値全幅や半値幅などと言われていますが、なぜ「半」が付いているのでしょうか。

共振角周波数\({\omega}_0\)の時、RLC直列共振回路に流れている電流の大きさは\(I_{MAX}\)なので、抵抗\(R\)で消費する電力\(P_{R0}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
P_{R0}=(I_{MAX})^2R\tag{23}
\end{eqnarray}

一方、RLC直列共振回路の角周波数\({\omega}\)が\({\omega}_1\)(または\({\omega}_2\))の時、RLC直列共振回路に流れる電流の大きさ\(I\)が\(I_{MAX}\)の\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)倍になるので、抵抗\(R\)で消費する電力\(P_R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
P_{R}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}I_{MAX}\right)^2R=\frac{1}{2}(I_{MAX})^2R=\frac{1}{2}P_{R0}\tag{24}
\end{eqnarray}

以上より、RLC直列共振回路の角周波数\({\omega}\)が\({\omega}_1\)(または\({\omega}_2\))の時に抵抗\(R\)で消費する電力\(P_R\)は\(P_{R0}\)の半分(1/2)になるので\({\Delta}{\omega}(={\omega}_2-{\omega}_1)\)は半値全幅や半値幅といいます。