抵抗の並列接続！合成抵抗の『式』や『証明』などを解説！

この記事では『抵抗の並列接続』について

並列接続された抵抗の合成抵抗の『求め方』と『例題』

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

抵抗の並列接続

上図に示すように、抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)を並列に接続することを「抵抗の並列接続」といいます。

並列接続された抵抗の場合、合成抵抗\(R\)の逆数\(\displaystyle\frac{1}{R}\)は各抵抗の逆数の和で計算することができ、次式で表されます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\tag{1}
\end{eqnarray}

したがって、上式を変形すると、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}\tag{2}
\end{eqnarray}

並列接続は「和分の積」で合成抵抗を求められる

並列接続されている2つの抵抗の合成抵抗を求める時、次式で示すような「和分の積」で求めることができます。

\begin{eqnarray}
R=\frac{\mbox{2つの抵抗の積(かけ算)}}{\mbox{2つの抵抗の和(足し算)}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}\tag{3}
\end{eqnarray}

(3)式は分母が和、分子が積になっているので、和分の積と呼ばれています。

ただし、注意があります。

「和分の積が使えるのは、2つの抵抗が並列接続されている時のみ！」です。

「3つ以上の抵抗が並列接続されている時」には「和分の積」は使えません。

合成抵抗って何？

回路に複数の抵抗がある時、複数の抵抗をまとめて1つの抵抗と見なしたものを「合成抵抗」といいます。

2つの抵抗を並列接続した時の合成抵抗

上図に示しているのは2つの抵抗(\(R_1\)と\(R_2\))が並列接続されている回路です。この回路において、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}\tag{4}
\end{eqnarray}

証明

電源電圧を\(V{\mathrm{[V]}}\)、回路に流れる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流を\(I_1{\mathrm{[A]}}\)、\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流を\(I_2{\mathrm{[A]}}\)、合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とした時、オームの法則より次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{R}\tag{5}
\end{eqnarray}

また、抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)にかかる電圧は\(V{\mathrm{[V]}}\)なので、オームの法則より次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I_1&=&\frac{V}{R_1}\tag{6}\\
\\
I_2&=&\frac{V}{R_2}\tag{7}
\end{eqnarray}

並列接続された回路の場合、2つの抵抗(\(R_1\)と\(R_2\))にかかる電圧は等しくなります。

そして、キルヒホッフの第1法則より、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I=I_1+I_2\tag{8}
\end{eqnarray}

(8)式に(5)式～(7)式を代入すると、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I&=&I_1+I_2\\
\\
{\Leftrightarrow}\frac{V}{R}&=&\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}\\
\\
{\Leftrightarrow}\frac{1}{R}&=&\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\tag{9}
\end{eqnarray}

すなわち、並列接続された抵抗の場合、合成抵抗\(R\)の逆数\(\displaystyle\frac{1}{R}\)は「各抵抗の逆数の和」で計算すればいいことが分かります。

(9)式を変形すると、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}\tag{10}
\end{eqnarray}

N個の抵抗を並列接続した時の合成抵抗

上図に示しているのは、\(N\)個の抵抗(\(R_1\),\(R_2\),・・・,\(R_N\))が並列接続されている回路です。この回路において、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+{\cdots}+\frac{1}{R_N}\tag{11}
\end{eqnarray}

このように、並列接続されている抵抗が\(N\)個になっても、合成抵抗\(R\)の逆数\(\displaystyle\frac{1}{R}\)は「各抵抗の逆数の和」で計算することができます。

抵抗の並列接続の例題

例題

上図に示した回路において、電源電圧\(V\)が\(24{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(4{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(6{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
回路に流れる電流\(I\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。

解答

並列接続された回路の場合、合成抵抗\(R\)の逆数\(\displaystyle\frac{1}{R}\)は「各抵抗の逆数の和」で計算することでできるので、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\tag{12}
\end{eqnarray}

(12)式を変形すると、合成抵抗\(R\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}=\frac{4×6}{4+6}=2.4{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{13}
\end{eqnarray}

抵抗の並列接続のイメージ

並列接続された抵抗の合成抵抗\(R\)は、接続されている各抵抗の値よりも小さくなります。

並列接続された抵抗の場合、各抵抗に電流が流れているため、回路に流れる電流は抵抗が1つの時よりも大きくなります。そのため、並列接続された抵抗の合成抵抗\(R\)は接続されている各抵抗の値よりも小さくなるのです。

したがって、回路に流れる電流\(I\)はオームの法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{R}=\frac{24}{2.4}=10{\mathrm{[A]}}\tag{14}
\end{eqnarray}

また、抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1\)はオームの法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
I_1=\frac{V}{R_1}=\frac{24}{4}=6{\mathrm{[A]}}\tag{15}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2\)はオームの法則より以下の値となります。

\begin{eqnarray}
I_2=\frac{V}{R_2}=\frac{24}{6}=4{\mathrm{[A]}}\tag{16}
\end{eqnarray}

「抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1\)」と「抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2\)」の和が「回路に流れる電流\(I\)」と等しくなっていますね。

まとめ

この記事では、『抵抗の並列接続』について、以下の内容を説明しました。