【分圧の法則とは】直列接続された抵抗にかかる電圧について

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この記事では『分圧の法則』について

  • 分圧の法則とは
  • 分圧の法則の『公式』・『公式の導出方法』・『例題』
  • 「分圧の法則」と「分流の公式」の違い

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

分圧の法則とは

分圧の法則とは

分圧の法則は、抵抗が直列接続されている時に、各抵抗にかかる電圧を求める法則です。

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&\frac{R_1}{R}×V=\frac{R_1}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{1}\\
\\
V_2&=&\frac{R_2}{R}×V=\frac{R_2}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

(1)式と(2)式が分圧の公式となります。

抵抗\(R_1\)と\(R_2\)によって、電圧\(V\)が\(V_1\)と\(V_2\)に分けられています。つまり、分圧されているということになります。

なお、(1)式と(2)式を日本語で説明すると、次式のようになります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}=\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\tag{3}
\end{eqnarray}

分圧の法則の「導出方法」

分圧の法則の「導出方法」

(1)式と(2)式の導出方法について説明します。

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

したがって、オームの法則より、この回路に流れる電流\(I{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{R}=\frac{V}{R_1+R_2}{\mathrm{[A]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

また、オームの法則より、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&R_1×I{\mathrm{[V]}}\tag{6}\\
\\
V_2&=&R_2×I{\mathrm{[V]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

(6)式と(7)式に(5)式を代入すると、次式のようになり、(1)式と(2)式を導出することができます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&R_1×\frac{V}{R_1+R_2}\\
\\
&=&\frac{R_1}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{8}\\
\\
V_2&=&R_2×\frac{V}{R_1+R_2}\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

分圧の法則の例題(抵抗が2つ直列接続されている時)

例題

分圧の法則の例題(抵抗が2つ直列接続されている時)

上図に示した回路において、電源電圧\(V\)が\(10{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、

  • 抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
  • 抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。
  • 抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。

解答

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2=2+3=5{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

したがって、抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_1&=&\frac{R_1}{R}×V\\
\\
&=&\frac{2}{5}×10\\
\\
&=&4{\mathrm{[V]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_2&=&\frac{R_2}{R}×V\\
\\
&=&\frac{3}{5}×10\\
\\
&=&6{\mathrm{[V]}}\tag{12}
\end{eqnarray}

【分圧の法則】抵抗が3つ直列接続されている時

【分圧の法則】抵抗が3つ直列接続されている時

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_3{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&\frac{R_1}{R}×V=\frac{R_1}{R_1+R_2+R_3}×V{\mathrm{[V]}}\tag{13}\\
\\
V_2&=&\frac{R_2}{R}×V=\frac{R_2}{R_1+R_2+R_3}×V{\mathrm{[V]}}\tag{14}\\
\\
V_3&=&\frac{R_3}{R}×V=\frac{R_3}{R_1+R_2+R_3}×V{\mathrm{[V]}}\tag{15}
\end{eqnarray}

分圧の法則の例題(抵抗が3つ直列接続されている時)

例題

分圧の法則の例題(抵抗が3つ直列接続されている時)

上図に示した回路において、電源電圧\(V\)が\(10{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_3\)が\(5{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、

  • 抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
  • 抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。
  • 抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。
  • 抵抗\(R_3\)にかかる電圧\(V_3\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。

解答

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)と抵抗\(R_3\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2+R_3=2+3+5=10{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{16}
\end{eqnarray}

したがって、抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_1&=&\frac{R_1}{R}×V\\
\\
&=&\frac{2}{10}×10\\
\\
&=&2{\mathrm{[V]}}\tag{17}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_2&=&\frac{R_2}{R}×V\\
\\
&=&\frac{3}{10}×10\\
\\
&=&3{\mathrm{[V]}}\tag{18}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_3\)にかかる電圧\(V_3{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_3&=&\frac{R_3}{R}×V\\
\\
&=&\frac{5}{10}×10\\
\\
&=&5{\mathrm{[V]}}\tag{19}
\end{eqnarray}

【分圧の法則】抵抗がNつ直列接続されている時

【分圧の法則】抵抗がNつ直列接続されている時

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)~抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_N{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&\frac{R_1}{R}×V=\frac{R_1}{R_1+R_2+{\;}{\cdots}{\;}+R_N}×V{\mathrm{[V]}}\tag{20}\\
\\
V_2&=&\frac{R_2}{R}×V=\frac{R_2}{R_1+R_2+{\;}{\cdots}{\;}+R_N}×V{\mathrm{[V]}}\tag{21}\\
\\
V_N&=&\frac{R_N}{R}×V=\frac{R_N}{R_1+R_2+{\;}{\cdots}{\;}+R_N}×V{\mathrm{[V]}}\tag{22}
\end{eqnarray}

「分圧の法則」と「分流の法則」の違い

「分圧の法則」と「分流の法則」の違い

分圧の法則」と「分流の法則」は公式が非常に似ています。

分圧の法則

分圧の法則は、抵抗が直列接続されている時に、各抵抗にかかる電圧を求める法則です。

並列接続されている抵抗の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、直列回路にかかる電圧を\(V{\mathrm{[V]}}\)とすると、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_N{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_N=\frac{R_N}{R}×V{\mathrm{[V]}}\tag{23}
\end{eqnarray}

分流の法則

分流の法則は、抵抗が並列接続されている時に、各抵抗に流れる電流を求める法則です。

並列接続されている抵抗の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)とすると、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_N{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
I_N=\frac{R}{R_N}×I{\mathrm{[A]}}\tag{24}
\end{eqnarray}

(23)式と(24)式は似ていますね。「分圧の法則」では抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)が分子「分流の法則」では抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)が分母にある点に注意してください。

あわせて読みたい

分流の法則』については下記の記事で詳しく説明しています。興味のある方は下記のリンクからぜひチェックをしてみてください。

まとめ

この記事では『分圧の法則』について、以下の内容を説明しました。

  • 分圧の法則とは
  • 分圧の法則の『公式』・『公式の導出方法』・『例題』
  • 「分圧の法則」と「分流の公式」の違い

お読み頂きありがとうございました。

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