抵抗を並列につないだとき、それぞれの抵抗には何アンペアの電流が流れるのでしょうか。この電流を、抵抗値の比から求められるのが「分流の法則」です。
この記事では「分流の法則」について、以下の内容を図を用いてわかりやすく説明します。
- 分流の法則とは
- 分流の法則の「公式」・「公式の導出方法」・「例題」
- 「分流の法則」と「分圧の法則」の違い
分流の法則とは
分流の法則とは、抵抗が並列接続されている時に、各抵抗に流れる電流を求める法則です。
上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を並列接続した回路を示しています。
この回路において、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)、合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_1&=&\frac{R}{R_1}×I=\frac{R_2}{R_1+R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{1}\\
\\
I_2&=&\frac{R}{R_2}×I=\frac{R_1}{R_1+R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{2}
\end{eqnarray}
(1)式と(2)式が分流の公式です。分母には、電流を求めたい抵抗の抵抗値を入れます。
抵抗\(R_1\)と\(R_2\)によって、電流\(I\)が\(I_1\)と\(I_2\)に分けられています。つまり、分流されているということになります。
なお、(1)式と(2)式を日本語で説明すると、次式のようになります。分流の公式は次式で導出することができます。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}=\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\tag{3}
\end{eqnarray}
合成抵抗とは、複数の抵抗を1つの抵抗に置き換えたときの抵抗値です。(1)式と(2)式では、\(R_1\)と\(R_2\)が各抵抗の抵抗値、\(R\)が並列回路全体の合成抵抗です。
分流の法則の「導出方法」
では実際に(3)式から(1)式と(2)式を導出してみましょう。
抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}
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抵抗の並列接続！合成抵抗の『式』や『証明』などを解説！
(4)式を(3)式に代入すると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は次式となり、(1)式を導出することができます。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{\displaystyle\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}}{R_1}×I\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1+R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{5}
\end{eqnarray}
同様に、(4)式を(3)式に代入すると、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は次式となり、(2)式を導出することができます。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_2&=&\frac{\displaystyle\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}}{R_2}×I\\
\\
&=&\frac{R_1}{R_1+R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{6}
\end{eqnarray}
このように、抵抗が並列接続されている場合は、次式で各抵抗に流れる電流を求めることができます。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}=\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\tag{7}
\end{eqnarray}
この式を覚えておけば、並列接続されている抵抗が3つ以上でも、合成抵抗を求めて各抵抗に流れる電流を計算できます。
分流の法則は英語では「Current Divider Rule」と書きます。
分流の法則の例題(抵抗が2つ並列接続されている時)
例題
上図に示した回路において、並列回路に入ってくる電流\(I\)が\(10{\mathrm{[A]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(4{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(6{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、
- 抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
- 抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
- 抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}=\frac{4×6}{4+6}=2.4{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{8}
\end{eqnarray}
したがって、抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{2.4}{4}×10\\
\\
&=&6{\mathrm{[A]}}\tag{9}
\end{eqnarray}
同様に、抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_2&=&\frac{2.4}{6}×10\\
\\
&=&4{\mathrm{[A]}}\tag{10}
\end{eqnarray}
答えは、合成抵抗が\(2.4{\mathrm{[\Omega]}}\)、\(I_1\)が\(6{\mathrm{[A]}}\)、\(I_2\)が\(4{\mathrm{[A]}}\)です。抵抗値が小さい\(R_1\)の方に大きな電流が流れ、2つの電流を足すと並列回路に入ってくる電流の\(10{\mathrm{[A]}}\)になることも確認できます。
【分流の法則】抵抗が3つ並列接続されている時
上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を並列接続した回路を示しています。
この回路において、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)、3つの抵抗の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_3{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_1&=&\frac{R}{R_1}×I=\frac{R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{11}\\
\\
I_2&=&\frac{R}{R_2}×I=\frac{R_1×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{12}\\
\\
I_3&=&\frac{R}{R_3}×I=\frac{R_1×R_2}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{13}
\end{eqnarray}
(11)式～(13)式も、次式に並列回路全体の合成抵抗を代入すると導出できます。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}=\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\tag{14}
\end{eqnarray}
では実際に、(14)式から(11)式を導出してみましょう。
抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
R&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}+\displaystyle\frac{1}{R_3}}\\
\\
&=&\frac{R_1×R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}\tag{15}
\end{eqnarray}
(15)式を(14)式に代入すると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は次式となり、(11)式を導出することができます。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{\displaystyle\frac{R_1×R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}}{R_1}×I\\
\\
&=&\frac{R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{16}
\end{eqnarray}
(12)式と(13)式も、同じ方法で導出することができます。
分流の法則の例題(抵抗が3つ並列接続されている時)
例題
上図に示した回路において、並列回路に入ってくる電流\(I\)が\(10{\mathrm{[A]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(10{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(50{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_3\)が\(200{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、
- 抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)と抵抗\(R_3\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
- 抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
- 抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
- 抵抗\(R_3\)に流れる電流\(I_3\)は何\({\mathrm{A}}\)でしょうか。
抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)と抵抗\(R_3\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
R&=&\frac{R_1×R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}\\
\\
&=&\frac{10×50×200}{50×200+10×200+10×50}\\
\\
&=&8{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{17}
\end{eqnarray}
したがって、抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{8}{10}×10\\
\\
&=&8{\mathrm{[A]}}\tag{18}
\end{eqnarray}
同様に、抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_2&=&\frac{8}{50}×10\\
\\
&=&1.6{\mathrm{[A]}}\tag{19}
\end{eqnarray}
同様に、抵抗\(R_3\)に流れる電流\(I_3{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_3&=&\frac{8}{200}×10\\
\\
&=&0.4{\mathrm{[A]}}\tag{20}
\end{eqnarray}
答えは、合成抵抗が\(8{\mathrm{[\Omega]}}\)、各電流が順に\(8{\mathrm{[A]}}\)、\(1.6{\mathrm{[A]}}\)、\(0.4{\mathrm{[A]}}\)です。抵抗が3つでも、並列回路全体の合成抵抗を求めれば同じように計算できます。3つの電流の合計は、並列回路に入ってくる電流の\(10{\mathrm{[A]}}\)です。
【分流の法則】抵抗がNつ並列接続されている時
上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を並列接続した回路を示しています。
この回路において、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)、合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、各抵抗に流れる電流は次式で求めることができます。
\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}=\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\tag{21}
\end{eqnarray}
したがって、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_N{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_1&=&\frac{R}{R_1}×I{\mathrm{[A]}}\tag{22}\\
\\
I_2&=&\frac{R}{R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{23}\\
\\
I_N&=&\frac{R}{R_N}×I{\mathrm{[A]}}\tag{24}
\end{eqnarray}
ここで、\(N\)は並列接続された抵抗の個数です。抵抗が何個でも、分子には並列回路全体の合成抵抗、分母には電流を求めたい抵抗の抵抗値を入れます。各抵抗に流れる電流をすべて足すと、並列回路に入ってくる電流\(I\)になります。
「分流の法則」と「分圧の法則」の違い
「分流の法則」と「分圧の法則」は公式が非常に似ています。
分流の法則は並列回路の電流、分圧の法則は直列回路の電圧を求める法則です。公式は似ていますが、対象となる回路の接続方法と求める量が異なります。
分流の法則
分流の法則は、抵抗が並列接続されている時に、各抵抗に流れる電流を求める法則です。
並列接続されている抵抗の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)とすると、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_N{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
I_N=\frac{R}{R_N}×I{\mathrm{[A]}}\tag{25}
\end{eqnarray}
分圧の法則
分圧の法則は、抵抗が直列接続されている時に、各抵抗にかかる電圧を求める法則です。
直列接続されている抵抗の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、直列回路にかかる電圧を\(V{\mathrm{[V]}}\)とすると、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_N{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。
\begin{eqnarray}
V_N=\frac{R_N}{R}×V{\mathrm{[V]}}\tag{26}
\end{eqnarray}
2つの式で使われる\(R\)は、同じ合成抵抗を表しているわけではありません。(25)式の\(R\)は並列回路の合成抵抗、(26)式の\(R\)は直列回路の合成抵抗です。
(25)式と(26)式は似ていますね。「分流の法則」では抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)が分母、「分圧の法則」では抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)が分子にある点に注意してください。
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【分圧の法則とは】直列接続された抵抗にかかる電圧について
本記事のまとめ
この記事では「分流の法則」について、以下の内容を説明しました。
- 分流の法則は、並列接続された抵抗に流れる電流を求める法則である。
- 各抵抗に流れる電流は、並列回路に入ってくる電流に「並列回路全体の合成抵抗÷対象の抵抗値」を掛けて求める。
- 並列回路では同じ電圧がかかるため、抵抗値が小さい抵抗ほど大きな電流が流れる。
- 分流は並列回路の電流、分圧は直列回路の電圧を求めるときに使う。
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