【分圧の法則とは】直列接続された抵抗にかかる電圧について

この記事では『分圧の法則』について

分圧の法則とは
分圧の法則の『公式』・『公式の導出方法』・『例題』
「分圧の法則」と「分流の公式」の違い

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

分圧の法則とは

分圧の法則は、抵抗が直列接続されている時に、各抵抗にかかる電圧を求める法則です。

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&\frac{R_1}{R}×V=\frac{R_1}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{1}\\
\\
V_2&=&\frac{R_2}{R}×V=\frac{R_2}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{2}
\end{eqnarray}

(1)式と(2)式が分圧の公式となります。

抵抗\(R_1\)と\(R_2\)によって、電圧\(V\)が\(V_1\)と\(V_2\)に分けられています。つまり、分圧されているということになります。

なお、(1)式と(2)式を日本語で説明すると、次式のようになります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}=\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\tag{3}
\end{eqnarray}

分圧の法則の「導出方法」

(1)式と(2)式の導出方法について説明します。

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

したがって、オームの法則より、この回路に流れる電流\(I{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
I=\frac{V}{R}=\frac{V}{R_1+R_2}{\mathrm{[A]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

また、オームの法則より、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&R_1×I{\mathrm{[V]}}\tag{6}\\
\\
V_2&=&R_2×I{\mathrm{[V]}}\tag{7}
\end{eqnarray}

(6)式と(7)式に(5)式を代入すると、次式のようになり、(1)式と(2)式を導出することができます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&R_1×\frac{V}{R_1+R_2}\\
\\
&=&\frac{R_1}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{8}\\
\\
V_2&=&R_2×\frac{V}{R_1+R_2}\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1+R_2}×V{\mathrm{[V]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

分圧の法則の例題(抵抗が2つ直列接続されている時)

例題

上図に示した回路において、電源電圧\(V\)が\(10{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。
抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。

解答

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2=2+3=5{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

したがって、抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_1&=&\frac{R_1}{R}×V\\
\\
&=&\frac{2}{5}×10\\
\\
&=&4{\mathrm{[V]}}\tag{11}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_2&=&\frac{R_2}{R}×V\\
\\
&=&\frac{3}{5}×10\\
\\
&=&6{\mathrm{[V]}}\tag{12}
\end{eqnarray}

【分圧の法則】抵抗が3つ直列接続されている時

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_3{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&\frac{R_1}{R}×V=\frac{R_1}{R_1+R_2+R_3}×V{\mathrm{[V]}}\tag{13}\\
\\
V_2&=&\frac{R_2}{R}×V=\frac{R_2}{R_1+R_2+R_3}×V{\mathrm{[V]}}\tag{14}\\
\\
V_3&=&\frac{R_3}{R}×V=\frac{R_3}{R_1+R_2+R_3}×V{\mathrm{[V]}}\tag{15}
\end{eqnarray}

分圧の法則の例題(抵抗が3つ直列接続されている時)

例題

上図に示した回路において、電源電圧\(V\)が\(10{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_1\)が\(2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2\)が\(3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_3\)が\(5{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の時、

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R\)は何\({\mathrm{{\Omega}}}\)でしょうか。
抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。
抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。
抵抗\(R_3\)にかかる電圧\(V_3\)は何\({\mathrm{V}}\)でしょうか。

解答

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)と抵抗\(R_3\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=R_1+R_2+R_3=2+3+5=10{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{16}
\end{eqnarray}

したがって、抵抗\(R_1\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_1&=&\frac{R_1}{R}×V\\
\\
&=&\frac{2}{10}×10\\
\\
&=&2{\mathrm{[V]}}\tag{17}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_2&=&\frac{R_2}{R}×V\\
\\
&=&\frac{3}{10}×10\\
\\
&=&3{\mathrm{[V]}}\tag{18}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_3\)にかかる電圧\(V_3{\mathrm{[V]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電圧}&=&\frac{\mbox{求めたい電圧がかかる抵抗の抵抗値}}{\mbox{合成抵抗}}×\mbox{直列回路にかかる電圧}\\
\\
{\Leftrightarrow}V_3&=&\frac{R_3}{R}×V\\
\\
&=&\frac{5}{10}×10\\
\\
&=&5{\mathrm{[V]}}\tag{19}
\end{eqnarray}

【分圧の法則】抵抗がNつ直列接続されている時

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を直列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)～抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_1{\mathrm{[V]}}\)、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_2{\mathrm{[V]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)にかかる電圧\(V_N{\mathrm{[V]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
V_1&=&\frac{R_1}{R}×V=\frac{R_1}{R_1+R_2+{\;}{\cdots}{\;}+R_N}×V{\mathrm{[V]}}\tag{20}\\
\\
V_2&=&\frac{R_2}{R}×V=\frac{R_2}{R_1+R_2+{\;}{\cdots}{\;}+R_N}×V{\mathrm{[V]}}\tag{21}\\
\\
V_N&=&\frac{R_N}{R}×V=\frac{R_N}{R_1+R_2+{\;}{\cdots}{\;}+R_N}×V{\mathrm{[V]}}\tag{22}
\end{eqnarray}