【分流の法則とは】並列接続された抵抗に流れる電流について

この記事では『分流の法則』について

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

分流の法則とは

分流の法則は、抵抗が並列接続されている時に、各抵抗に流れる電流を求める法則です。

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を並列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)、合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。

(1)式と(2)式が分流の公式となります。

抵抗\(R_1\)と\(R_2\)によって、電流\(I\)が\(I_1\)と\(I_2\)に分けられています。つまり、分流されているということになります。

分流の公式は次式で導出することができます。

では実際に(3)式から(1)式と(2)式を導出してみましょう。

抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{4}
\end{eqnarray}

(4)式を(3)式に代入すると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は次式となり、(1)式を導出することができます。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{\displaystyle\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}}{R_1}×I\\
\\
&=&\frac{R_2}{R_1+R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{5}
\end{eqnarray}

同様に、(4)式を(3)式に代入すると、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は次式となり、(2)式を導出することができます。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_2&=&\frac{\displaystyle\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}}{R_2}×I\\
\\
&=&\frac{R_1}{R_1+R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{6}
\end{eqnarray}

このように、抵抗が並列接続されている場合、

を用いて、各抵抗に流れる電流を求めることをオススメします。この上式を覚えておけば、並列接続されている抵抗が3つ以上でも分流の公式を導出することができますよ。

分流の法則の例題(抵抗が2つ並列接続されている時)

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1×R_2}{R_1+R_2}=\frac{4×6}{4+6}=2.4{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{8}
\end{eqnarray}

したがって、抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{2.4}{4}×10\\
\\
&=&6{\mathrm{[A]}}\tag{9}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_2&=&\frac{2.4}{6}×10\\
\\
&=&4{\mathrm{[A]}}\tag{10}
\end{eqnarray}

【分流の法則】抵抗が3つ並列接続されている時

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を並列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)とすると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_3{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。

上式も同様に

で導出することができます。では実際に(14)式から(11)式を導出してみましょう。

抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)と抵抗\(R_3{\mathrm{[{\Omega}]}}\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R&=&\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}+\displaystyle\frac{1}{R_3}}\\
\\
&=&\frac{R_1×R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}\tag{15}
\end{eqnarray}

(15)式を(14)式に代入すると、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は次式となり、(11)式を導出することができます。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{\displaystyle\frac{R_1×R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}}{R_1}×I\\
\\
&=&\frac{R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}×I{\mathrm{[A]}}\tag{16}
\end{eqnarray}

(15)式と(16)式も上記に示したような方法で導出することができます。

分流の法則の例題(抵抗が3つ並列接続されている時)

抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)と抵抗\(R_3\)の合成抵抗\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)は次式で表されます。

\begin{eqnarray}
R&=&\frac{R_1×R_2×R_3}{R_2×R_3+R_1×R_3+R_1×R_2}\\
\\
&=&\frac{10×50×200}{50×200+10×200+10×50}\\
\\
&=&8{\mathrm{[{\Omega}]}}\tag{17}
\end{eqnarray}

したがって、抵抗\(R_1\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1&=&\frac{8}{10}×10\\
\\
&=&8{\mathrm{[A]}}\tag{18}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_2\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_2&=&\frac{8}{50}×10\\
\\
&=&1.6{\mathrm{[A]}}\tag{19}
\end{eqnarray}

同様に、抵抗\(R_3\)に流れる電流\(I_3{\mathrm{[A]}}\)は以下の値になります。

\begin{eqnarray}
\mbox{求めたい電流}&=&\frac{\mbox{合成抵抗}}{\mbox{求めたい電流が流れる抵抗の抵抗値}}×\mbox{並列回路に入ってくる電流}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_3&=&\frac{8}{200}×10\\
\\
&=&0.4{\mathrm{[A]}}\tag{20}
\end{eqnarray}

【分流の法則】抵抗がNつ並列接続されている時

上図に抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)を並列接続し、電源電圧\(V{\mathrm{[V]}}\)を印加した回路を示しています。

この回路において、並列回路に入ってくる電流を\(I{\mathrm{[A]}}\)、合成抵抗を\(R{\mathrm{[{\Omega}]}}\)とすると、各抵抗に流れる電流は

で求めることができるので、抵抗\(R_1{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_1{\mathrm{[A]}}\)と抵抗\(R_2{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_2{\mathrm{[A]}}\)、・・・、抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)に流れる電流\(I_N{\mathrm{[A]}}\)は次式で表されます。

「分流の法則」と「分圧の法則」の違い

「分流の法則」と「分圧の法則」は公式が非常に似ています。

(25)式と(26)式は似ていますね。「分流の法則」では抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)が分母、「分圧の法則」では抵抗\(R_N{\mathrm{[{\Omega}]}}\)が分子にある点に注意してください。

まとめ

この記事では『分流の法則』について、以下の内容を説明しました。

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