キルヒホッフの法則(第1法則・第2法則)とは？

この記事では『キルヒホッフの法則』について

キルヒホッフの法則(第1法則・第2法則)とは
キルヒホッフの第1法則の説明
キルヒホッフの第2法則の説明

などを図を用いて分かりやすく説明するように心掛けています。ご参考になれば幸いです。

キルヒホッフの法則とは

キルヒホッフの法則は、すべての電気回路で使用することのできる万能の法則です。

キルヒホッフの法則には「第1法則」と「第2法則」があります。

後ほど各法則について詳しく説明しますが、簡単にまとめると下記のようになります。

キルヒホッフの第1法則

電流に関する法則です。

回路の任意の点(上図の場合はA点)において、「流れ込む電流の総和」と「流れ出す電流の総和」が等しい。

キルヒホッフの第2法則

電圧に関する法則です。

任意の閉回路(上図の場合は閉回路Ａ)において、「起電力の総和」と「電圧降下の総和」が等しい。

ではこれから「キルヒホッフの第1法則」と「キルヒホッフの第2法則」について個別に説明していきます(キルヒホッフの法則を用いる際の注意点なども詳しく説明します)。

キルヒホッフの第1法則

キルヒホッフの第1法則は電流に関する法則です。

キルヒホッフの第1法則

回路の任意の点(上図の場合はA点)において、「流れ込む電流の総和」と「流れ出す電流の総和」が等しい。

例えば、上図のように、「A点に流れ込んでいる電流が\(I_1\)と\(I_2\)」で「A点から流れ出している電流が\(I_3\)と\(I_4\)」の場合、キルヒホッフの第1法則より、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\mbox{A点に流れ込む電流の総和}&=&\mbox{A点から流れ出す電流の総和}\\
\\
{\Leftrightarrow}I_1+I_2&=&I_3+I_4\tag{1-1}
\end{eqnarray}

ここで、(1-1)式を変形してみます。(1-1)式の右辺を左辺に移行すると、次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
I_1+I_2-I_3-I_4=0\tag{1-2}
\end{eqnarray}

(1-2)式より、キルヒホッフの第1法則は、以下のように言い換えることもできます。

回路の任意の点(上図の場合はA点)において、「流れ込む電流をプラス(+)」とし「流れ出す電流をマイナス(－)」とすると、回路の任意の点(上図の場合はA点)の電流の総合計は0である。

【キルヒホッフの第1法則】電流の向きが分からない時にはどうするか？

キルヒホッフの第1法則を用いる時、複雑な回路だと、回路の任意の点において、電流が流れ込むのか流れ出すのか分からない場合があります。

この場合、どちらか("流れ込むか"or"流れ出すか")を仮定して式を書きます。

例えば、上図のような回路において、A点への電流の向きが分からなかった場合を考えてみましょう。

抵抗\(R_1\)からの電流\(I_1\)を流入電流、抵抗\(R_2\)からの電流\(I_2\)を流入電流、抵抗\(R_3\)からの電流\(I_3\)を流出電流と仮定すると、キルヒホッフの第1法則より次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\mbox{A点に流れ込む電流の総和}&=&\mbox{A点から流れ出す電流の総和}\\
\\
{\Leftrightarrow}
I_1+I_2&=&I_3\tag{1-3}
\end{eqnarray}

抵抗\(R_1\)からの電流\(I_1\)を流入電流、抵抗\(R_2\)からの電流\(I_2\)を流入電流、抵抗\(R_3\)からの電流\(I_3\)を流入電流と仮定すると、キルヒホッフの第1法則より次式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\mbox{A点に流れ込む電流の総和}&=&\mbox{A点から流れ出す電流の総和}\\
\\
{\Leftrightarrow}
I_1+I_2+I_3&=&0\tag{1-4}
\end{eqnarray}

キルヒホッフの第1法則を用いる時、(1-3)式を用いても(1-4)式を用いてもOKです。計算した結果、マイナス(－)の値となったら、仮定した電流の向きの方向と「逆向き」の電流が流れているということになります。

例えば、(1-4)式では、抵抗\(R_3\)からの電流\(I_3\)を流入電流と仮定して計算していますが、計算した結果、電流\(I_3\)の値がマイナス(－)の値になったら、抵抗\(R_3\)からの電流\(I_3\)はA点からの流出電流であるということになります。

流入電流と流出電流について

流入電流は「任意の点に流れ込む電流」、流出電流は「任意の点から流れ出す電流」のことを指します。

キルヒホッフの第2法則

キルヒホッフの第2法則は電圧に関する法則です。

キルヒホッフの第2法則

任意の閉回路(上図の場合は閉回路Ａ)において、「起電力の総和」と「電圧降下の総和」が等しい。

例えば、上図に示す回路において、閉回路A(オレンジ色の閉回路)に関してキルヒホッフの第2法則を用いて式を導出すると、次式となります。

\begin{eqnarray}
\mbox{起電力の総和}&=&\mbox{電圧降下の総和}\\
\\
V_1-V_2&=&I_1R_1-I_2R_2\tag{2-1}
\end{eqnarray}

(2-1)式をキルヒホッフの第2法則を用いて式を導出する手順は下記となります。

手順

閉回路をたどる向きを決める
各抵抗に流れる電流の向きを仮に決める
起電力の総和を求める
電圧降下の総和を求める
「キルヒホッフの第2法則」に当てはめる

ではこれから、各手順について順番に説明していきます。

【STEP1】閉回路をたどる向きを決める

まず、閉回路をたどる向きを決めます。閉回路をたどる方向は自由に設定して頂いてOKです。今回は、時計回りの向きに閉回路Aをたどりましょう。

閉回路とは

閉回路は、回路の任意の出発点から、任意の経路を通って、出発点に戻る一巡の回路のことを指します。例えば、上図に示す回路の場合、閉回路は3つあります。

閉回路A
- a点を出発点とし、「a→b→c→f→a」と一巡したものが閉回路Aとなります。
閉回路B
- f点を出発点とし、「f→c→d→e→f」と一巡したものが閉回路Bとなります。
閉回路C
- a点を出発点とし、「a→b→c→d→e→f→a」と一巡したものが閉回路Cとなります。

【STEP2】各抵抗に流れる電流の向きを仮に決める

次に、各抵抗に流れる電流の向きを仮に決めます。今回は、上図に示すような向きに電流\(I_1\)～\(I_3\)を決めました。

【STEP3】起電力の総和を求める

次に、起電力の総和を求めます。上図に示す回路の場合、起電力は電源電圧のことを指しています。

閉回路Aの経路を見ると、電源が2つあります(\(V_1\)と\(V_2\))。ここで注意点があります。

注意点

起電力の総和を単に足し算して「\(V_1+V_2\)」としてはいけません。

電源電圧(起電力)の総和を求める際、起電力の極性(正or負)を考える必要があります。

【STEP1】において決めた「閉回路をたどる向き」と「起電力の向き」が同じ場合には、起電力が「正(＋)」となり、逆の場合には、起電力が「負(－)」となります。

上図に示す回路において、閉回路Aを見ると、電源電圧\(V_1\)は「閉回路をたどる向き」と同じなので「正(＋)」、電源電圧\(V_2\)は「閉回路をたどる向き」と逆なので「負(－)」となります。そのため、起電力の総和は次式となります。

\begin{eqnarray}
\mbox{起電力の総和}=V_1-V_2\tag{2-2}
\end{eqnarray}

【STEP4】電圧降下の総和を求める

閉回路Aにおいて、電圧降下は2つあります(「抵抗\(R_1\)による電圧降下\(I_1R_1\)」と「抵抗\(R_2\)による電圧降下\(I_2R_2\)」)。ここでも注意点があります。

注意点

電圧降下の総和を単に足し算して「\(I_1R_1+I_2R_2\)」としてはいけません。

電圧降下の総和を求める際、電圧降下の向き(正or負)を考える必要があります。

【STEP1】において決めた「閉回路をたどる向き」と【STEP2】で決めた「電流の向き」が同じ場合には、電圧降下が「正(＋)」、逆の場合には、電圧降下が「負(－)」となります。

に示す回路において、閉回路Aを見ると、電流\(I_1\)は「閉回路をたどる向き」と同じなので「抵抗\(R_1\)による電圧降下\(I_1R_1\)」は「正(＋)」、電流\(I_2\)は「閉回路をたどる向き」と逆なので「抵抗\(R_2\)による電圧降下\(I_2R_2\)」は「負(－)」となります。そのため、電圧降下の総和は次式となります。

\begin{eqnarray}
\mbox{電圧降下の総和}=I_1R_1-I_2R_2\tag{2-3}
\end{eqnarray}